2025年中考数学一轮复习课件：第十三讲反比例函数的综合应用

第十三讲　反比例函数的综合应用 考点1　反比例函数的实际应用 例1 (2023·台州中考)科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时,h=20 cm. (1)求h关于ρ的函数解析式; (2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ. 高频考点·释疑难 【解析】(1)设h关于ρ的函数解析式为h=, 把ρ=1,h=20代入解析式,得k=1×20=20, ∴h关于ρ的函数解析式为h=; (2)把h=25代入h=,得25=, 解得ρ=0.8. 答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 【跟踪训练】 1.(2023·丽水中考)如果100 N的压力F作用于物体上,产生的压强p要大于1 000 Pa, 则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是 ( ) A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2 C.S小于10 m2 D.S大于10 m2 A 2.(2023·南充中考)小伟用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 000 N 和0.6 m,当动力臂由1.5 m增加到2 m时,撬动这块石头可以节省_________N的力.  (杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂) 　100　 【名师点金】 应用反比例函数解决实际问题的“三步骤” 【特别提醒】常见的反比例函数在物理知识中应用实例: ①t=(s是常数); ②F=(W是常数); ③p=(F是常数); ④I=(U是常数). 考点2　一次函数与反比例函数的综合 【一题多设问】 例2 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图 象交于A(2,6),B(n,3)两点. (1)求解析式:求一次函数和反比例函数的解析式; 联想模板:看到求反比例函数的解析式→联想找一点坐标或等积性,看到求一次函数的解析式→联想找两点坐标代入构建方程组求解. 【解析】∵点A(2,6)在反比例函数y=(x>0)的图象上, ∴m=2×6=12, ∴反比例函数的解析式为y=. ∵点B(n,3)也在反比例函数y=的图象上,∴n==4,即B(4,3). 把点A(2,6),点B(4,3)代入一次函数y=kx+b中, 得解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+9. (2)求面积:求△AOB的面积; 联想模板:看到求三角形的面积→联想确定直线与坐标轴的交点,把三角形面积进行分割,转化为两个底在坐标轴上的三角形的面积之差. 【解析】令y=0,则0=-x+9,解得x=6,∴D(6,0). ∴S△AOB=S△AOD-S△BOD=×6×(6-3)=9. (3)解不等式:根据函数图象,直接写出关于x的不等式kx+b>的解集; 联想模板:看到求不等式解集→联想数形结合、函数性质. 【解析】观察图象可知,当kx+b->0时,2<x<4. (4)由最值求坐标:若点P是x轴上一动点,当PA+PB的值最小时,求此时点P的坐标. 联想模板:看到两线段之和→联想数形结合、“将军饮马”模型. 【解析】作点A关于x轴的对称点P'(2,-6),连接P'B交x轴于点P(图略).设P'B的解析式为y=cx+d, 把P'(2,-6),B(4,3)代入y=cx+d,得 解得∴直线P'B的解析式为y=x-15.令y=0,解得x=,∴P(,0). (5)由面积求坐标:若直线y=kx+b与y轴的交点为C,在y轴上取一点M,当△ACM的面积为3时,求点M的坐标; 联想模板:看到取一点→联想数形结合、分类讨论,列方程求解. 【解析】∵一次函数y=-x+9与y轴的交点为C,∴C(0,9).设点M(0,e),∴S△ACM=×|9-e|×2=3,解得e=6或e=12. ∴M(0,6)或(0,12). (6)由面积求坐标:若点H在线段OB上,连接AH,将△AOB的面积分成1∶3两部分,求此时点H的坐标; 联想模板:看到面积之比→联想数形结合、分类讨论,列方程求解. 【解析】∵AH将△AOB的面积分成1∶3两部分, ∴OH∶HB=1∶3或OH∶HB=3∶1. 求得直线OB的解析式为y=x. 过点H作HT⊥x轴于点T,过点B作BQ⊥x轴于点Q,则HT∥BQ(图略).∴△OHT∽△OBQ,∴=. 当==时,此时HT=, ∴H(1,);当==时,此时HT=,∴H. 综上所述,点H的坐标为(1,)或(3,). (7)由几何图形求坐标:若点G在x轴上,当以O,B,G为顶点的三角形为等腰三角形时,请直接写出点G的坐标. 联想模板:看到特殊三角形→联想数形结合、分类讨论,旋转求解. 【解析】OB==5,若OB=OG,则G(5,0)或(-5,0); 若OB=GB,则点G(8,0); 若OG=GB,此时点G在OB的垂直平分线上,此时G(,0). 综上所述,点G的坐标为(5,0)或(-5,0)或(8,0)或(,0). 【满分技法】 1.确定函数解析式 当两个函数解析式均未知时,将交点坐标代入y=可求得k;由y=确定另一交点的坐标,由两交点坐标并利用待定系数法可求y=ax+b. 2.求交点坐标 联立一次函数与反比例函数构建方程组,方程组的解即为交点坐标. 3.与不等式结合 (1)找交点; (2)分区:过两个函数图象的交点分别作y轴的平行线,连同y轴, 将平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ; (3)观察函数图象找答案:根据函数图象上方的函数值总比函数图象下方的函数值大,在各区域内找相应的x的取值范围. ①Ⅰ,Ⅲ区域内:>ax+b,自变量的取值范围为x<xB或0<x<xA; ②Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b>,自变量的取值范围为xB<x<0或x>xA. 4.求面积 充分利用“数形结合”的思想,即用“坐标”求“线段”,用“线段”求“坐标”. ①S△AOB=OB·AD ②S△ADB=S△ACD+S△BDC ③S△ABO=S△ACO+S△BOC=S△AOD+S△BOD 1.(2022·遵义中考)反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=x-1交于点A(3,n),则k的值 为_______.  贵州3年真题 　6　 2.(2024·贵州中考)已知点(1,3)在反比例函数y=的图象上. (1)求反比例函数的解析式; (2)点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由. 【解析】(1)将点(1,3)代入y=,得k=3, ∴y=; (2)方法一:由图象得:b>c>a; 方法二:将点(-3,a),(1,b),(3,c)代入y=,得a=-1,b=3,c=1,∴b>c>a. 3.(2023·贵州中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且点D为AB的中点. (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标; (2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),直接写出m的取值范围. 【解析】(1)∵四边形OABC是矩形,点D(4,1),且点D为AB的中点,∴点B(4,2), ∴点E的纵坐标为2, ∵反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,∴k=4×1=4, ∴反比例函数解析式为y=(x>0),把y=2代入得,2=,解得x=2,∴点E的坐标为(2,2); (2)把D(4,1)代入y=x+m得,1=4+m,解得m=-3,把E(2,2)代入y=x+m得,2=2+m,解得m=0,∴m的取值范围是-3≤m≤0. 4.(2022·贵阳中考)一次函数y=-x-3的图象与反比例函数y=的图象相交于 A(-4,m),B(n,-4)两点. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围. 【解析】(1)∵一次函数y=-x-3过点A(-4,m),∴m=-(-4)-3=1. ∴点A的坐标为(-4,1). ∵反比例函数y=的图象过点A, ∴k=xy=-4×1=-4. ∴反比例函数的表达式为y=-. (2)∵反比例函数y=-过点B(n,-4). ∴-4=-,解得n=1. ∵一次函数值小于反比例函数值, ∴一次函数图象在反比例函数图象的下方. ∴在第二象限时,-4<x<0;在第四象限时,x>1.∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为-4<x<0或x>1. $$