2025年中考数学一轮复习课件：第十九讲 全等三角形

第十九讲　全等三角形 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.全等三角形的概念 能够______________的两个三角形.  　完全重合　 【对点练习】 1.下列说法正确的是( ) A.两个面积相等的图形一定是全等图形 B.两个全等图形形状一定相同 C.两个周长相等的图形一定是全等图形 D.两个正三角形一定是全等图形 B 【知识要点】 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边__________,对应角__________.  　相等　 　相等　 【对点练习】 2.如图,△ABC≌△DEF,若BC=15,CE=5,则线段CF的长是( ) A.8 B.10 C.15 D.20 B 【知识要点】 3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别__________的两个三角形全等(简写成“边边边”或“_________”).  (2)两边和它们的夹角分别__________的两个三角形全等(简写成“边角边”或 “_________”).  (3)两角和它们的夹边分别__________的两个三角形全等(简写成“角边角”或 “__________”).  (4)两角和其中一个角的对边分别__________的两个三角形全等(简写成“角角边” 或“__________”).  (5)斜边和一条直角边分别__________的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直 角边”或“________”).  　相等　 　SSS　 　相等　 　SAS　 　相等　 　ASA　 　相等　 　AAS　 　相等　 　HL　 【对点练习】 3.(教材再开发·人教八上P44T9改编)如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌ △DEF,需添加的条件不能是( ) A.∠A=∠D B.BC=EF C.AC=DF D.∠ACB=∠F C 【知识要点】 4.角平分线的性质与判定 (1)性质:角平分线上的点到角两边的__________相等.  (2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的____________上.  　距离　 　平分线　 【对点练习】 4.(1)如图,点P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则P到边 OA的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,CD=DE,∠CBD=26°,则∠A的度数为 ( ) A.40° B.34° C.36° D.38° B D 【知识要点】 5.尺规作图: 用无刻度直尺和圆规作图,常见的有角平分线和线段垂直平分线的作法. 【对点练习】 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点B为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AB, BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作 射线BP交边AC于点D.若CD=2,AB=12,则△ABD的面积为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 B 考点1　全等三角形的性质与判定 【例1】(2024·连云港中考)如图,AB与CD相交于点E,EC=ED,AC∥BD. (1)求证:△AEC≌△BED; (2)用无刻度的直尺和圆规作图:求作菱形DMCN,使得点M在AC上,点N在BD上.(不写作法,保留作图痕迹,标明字母) 高频考点·释疑难 【解析】(1)∵AC∥BD, ∴∠A=∠B,∠C=∠D. 在△AEC和△BED中,, ∴△AEC≌△BED(AAS); (2)∵MN是CD的垂直平分线, ∴MD=MC,DN=CN, 由(1)的结论可知,∠A=∠B,AE=BE, 又∵∠AEM=∠BEN, 则△AEM≌△BEN,∴ME=NE, ∵CD⊥MN,∴CD是MN的垂直平分线, ∴DM=DN,CM=CN,∴DM=DN=CN=CM,∴四边形DMCN是菱形, 如图所示,菱形DMCN为所求. 【跟踪训练】 1. (2023·凉山州中考)如图,点E,点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能 证明△ABF≌△DCE的是( ) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE D 2.(2024·盐城中考)已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AE∥BF,AE=BF. 若_________,则AB=CD.  请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由. 【解析】①或③. 选择①CE∥DF; ∵AE∥BF,CE∥DF, ∴∠A=∠FBD,∠ECA=∠D, ∵AE=BF,∴△AEC≌△BFD(AAS), ∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD; 选择②CE=DF; 无法证明△AEC≌△BFD, 无法得出AB=CD; 选择③∠E=∠F; ∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD, ∵AE=BF,∠E=∠F, ∴△AEC≌△BFD(ASA), ∴AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD. 答案:①或③(答案不唯一) 【名师点金】 应用全等三角形性质与判定的技巧 (1)找对应边(角):①公共边必定是对应边,公共角或对顶角一定是对应角;②等角对应的边是对应边,等边对应的角是对应角. (2)逆推法的应用:要证明三角形中的线段或角相等,需要证明角或线段所在的三角形全等,要证明三角形全等,需要通过加辅助线等方法补充题干条件或者对题干条件进行再加工. 考点2　角平分线的性质与判定 【例2】(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长 为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径 画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于 点D,则∠ADC的大小为( ) A.60° B.65° C.70° D.75° B 【跟踪训练】 1.(2024·辽宁中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以点A为圆 心,以AB长为半径作图,与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆心,适当长为半径作弧, 分别与EA,EC相交于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两 弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点F,则FD的长为_________ (用含a的代数式表示).  　a-10　 2. (2022·广东中考)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:△OPD≌△OPE. 【证明】∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE, 在Rt△OPD和Rt△OPE中, ∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL). 考点3　尺规作图 【例3】(2023·滨州中考)(1)已知线段m,n,求作Rt△ABC,使得∠C=90°, CA=m,CB=n;(请用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(请借助上一小题所作图形,在完善的基础上,写出已知、求证与证明) 【解析】(1)如图:Rt△ABC即为所求; (2)已知:Rt△ABC,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,求证:CE=AB, 证明:延长CE到D,使得DE=CE, ∵CE是AB边上的中线,∴BE=AE, ∴四边形ACBD是平行四边形,又∵∠ACB=90°,∴四边形ACBD是矩形, ∴AB=CD,∴CE=CD=AB. 【跟踪训练】 1.(2024·烟台中考)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作 图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 2.(2024·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE. (1)求CD的长; (2)求△ACE的周长. 【解析】(1)由作图可知,MN是线段AB的垂直平分线, ∴在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点. ∴CD=AB=×2=. (2)在Rt△ABC中,BC====4. ∵MN是线段AB的垂直平分线, ∴EA=EB,∴△ACE的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6. 【名师点金】 与尺规作图有关的计算技巧 结合所求量,将所涉及的图形的基本性质与所作图形的性质对接,如角平分线性质定理、线段垂直平分线的性质、作弧时涉及的相等线段、相等角等. 注意:(1)尺规作图的过程是不能度量的,且要保留作图痕迹; (2)解答中除了作图外,要在答案中点出所求作的几何量. 1.(2022·毕节中考)在△ABC中,用尺规作图,分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为 半径作弧,两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列 结论不一定正确的是( ) A.AB=AE B.AD=CD C.AE=CE D.∠ADE=∠CDE 贵州3年真题 A 2.(2022·铜仁中考)如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE. 【证明】∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE, ∴∠B=∠D=∠ACE=90°, ∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,∴∠BCA=∠DEC, 在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE(AAS). 3.(2022·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD. (1)求证:△ABE≌△FMN; (2)若AB=8,AE=6,求ON的长. 【解析】(1)在正方形ABCD中,有AD=DC=CB=AB,∠A=∠D=∠C=90°, BC∥AD,AB∥DC, ∵MF∥AD,∠A=∠D=90°,AB∥DC,∴四边形ADFM是矩形, ∴AD=MF,∠AMF=90°=∠MFD, ∴∠BMF=90°=∠NFM,即∠BMO+∠OMF=90°,AB=AD=MF, ∵MN是BE的垂直平分线,∴MN⊥BE, ∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO,∴∠MBO=∠OMF, ∵,∴△ABE≌△FMN; (2)连接ME,如图, ∵AB=8,AE=6, ∴在Rt△ABE中,BE===10, ∴根据(1)中全等的结论可知MN=BE=10, ∵MN是BE的垂直平分线, ∴BO=OE=BE=5,BM=ME, ∴AM=AB-BM=8-ME, ∴在Rt△AME中,AM2+AE2=ME2, ∴(8-ME)2+62=ME2,解得:ME=, ∴BM=ME=, ∴在Rt△BMO中,MO2=BM2-BO2, ∴MO===, ∴ON=MN-MO=10-=. 即NO的长为. 4.(2024·贵州中考)综合与探究:如图,∠AOB=90°,点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA于点A. (1)【操作判断】 如图①,过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图①中画出PC,图中∠APC的度数为___________度;  (2)【问题探究】 如图②,点M在线段AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,求证:OM+ON=2PA; (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点F,若ON=3OM,求的值. 【解析】(1)如图,PC即为所求, ∵∠AOB=90°,PA⊥OA,PC⊥OB, ∴四边形OAPC是矩形, ∴∠APC=90°; 答案:90 (2)过P作PC⊥OB于C, 由(1)知:四边形OAPC是矩形, ∵点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA,PC⊥OB, ∴PA=PC, ∴矩形OAPC是正方形, ∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°, ∵PN⊥PM, ∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC, 又∵∠A=∠PCN=90°,AP=CP, ∴△APM≌△CPN, ∴AM=CN, ∴OM+ON=OM+CN+OC =OM+AM+AP =OA+AP =2AP; (3)①当M在线段AO上时,如图,延长NM,PA相交于点G, 由(2)知OM+ON=2PA, 设OM=x,则ON=3x,AO=PA=2x, ∴AM=AO-OM=x=OM, ∵∠AOB=∠MAG=90°,∠AMG=∠OMN, ∴△AMG≌△OMN(ASA), ∴AG=ON=3x, ∵∠AOB=90°,PA⊥OA, ∴AP∥OB, ∴△ONF∽△PGF, ∴===, ∴=, ∴==; ②当M在AO的延长线上时,如图,过P作PC⊥OB于C,并延长交MN于G, 由(2)知:四边形OAPC是正方形, ∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°,PC∥AO, ∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC, 又∵∠A=∠PCN=90°,AP=CP,∴△APM≌△CPN, ∴AM=CN, ∴ON-OM=OC+CN-OM=AO+AM-OM=AO+AO=2AO, ∵ON=3OM=3x ∴AO=x,CN=AM=2x, ∵PC∥AO,∴△CGN∽△OMN,∴=,即=,∴CG=x, ∵PC∥AO,∴△OMF∽△PGF, ∴===, ∴=, ∴==; 综上,的值为或. $$