广东省广州市第五中学2024-2025学年高二上学期第一次段考数学试卷

第 1页，共 5页 广州市第五中学 2024 学年第一学期高二年级第一次段考试卷 数学 第一卷 问卷 一．选择题:本题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项 中，只有一个选项最符合题目要求。请用 2B 铅笔填涂答案在答卷相应位置上。 1.中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》， 《张邱建算经》，若从上述 5 部书籍中任意抽取 2 部，则抽到《九章算术》的概率为（ ） A． 1 5 B． 3 10 C． 2 5 D． 1 2 2.已知非零向量� = (�1, �1, �1), � = (�2, �2, �2)，则 �1 �2 = �1 �2 = �1 �2 是� //� 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知点  1, 2, 1A   ，点�与点�关于平面���对称，点�与点�关于�轴对称，则线段��的 长为( ) A. 2 2 B. 4 C. 2 5 D. 2 6 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示 命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产 生了如下 12 组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，据此估计， 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 3 C． 5 12 D． 5 8 5.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用 x表示红色骰子的点数， y表示绿色骰子的点 数，设事件 A“ 2 64x y  ”，事件事件 B “ xy不能被 2 整除”，则  P A B  （ ） A． 7 18 B． 13 36 C． 1 3 D． 11 36 6.已知点 D在 ABCV 确定的平面内，O是平面 ABC外任意一点，满足 2CD OC xOA yOB       ， 且 0, 0x y  ，则 2 1 x y  的最小值为（ ） A． 3 2 4 2  B． 3 2 2  C． 9 3 2 4 2  D．3 2 2 第 2页，共 5页 7.如图，点 P为矩形 ABCD所在平面外一点， PA 平面 ABCD，Q为 AP的中点， 3AB  ， 4BC  ， 2PA  ，则点 P到平面 BQD的距离为（ ） A． 5 13 B． 12 13 C． 13 5 D． 13 12 8.已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 4，点 E是棱 1CC 的中点，动点 P在正方形 1 1AA B B内 （包括边界）运动，且 1PD ∥平面 BDE，则 PC长度的取值范围为（ ） A． 5,6 B． 4 2,6   C． 12 5 ,6 5       D． 2 5,6   二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.对于一个古典概型的样本空间和事件 A，B，C，其中   24n   ，   12n A  ，   4n B  ，   8n C  ，     16n A B n A C    ，则（ ） A．事件 A与 B互斥 B．事件 A与 B相互独立 C．事件 A与 C互斥 D．事件 A与 C相互独立 10.下列四个命题中，正确命题的有( ) A.已知向量  1,3,1a   ，  2,1,1b   ，  ,5,1c t  共面，则实数 t的值为 0； B.若向量  2, 1,2a   ，  4,2,b m   且 a与b  的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为 5m  ； C.已知直线 l 的方向向量为  1,0,1a  ，点  1,2, 1A  在 l 上，则点  2,1,1P 到 l 的距离为 62 ； D.若两个不同平面 ， 的法向量分别是u，v，且  1,2, 2u   ，  2, 4,4v    ，则 // .  第 3页，共 5页 11.如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，侧面 1 1BCC B 与 1 1BAA B 是边长为 2 的正方形，平面 1 1BCC B 平面 1 1BAA B ， ,M N分别在 1BC 和 1AB上，且 (0 2 2)BM AN a a    ，则（ ） A．直线 //MN 平面 ABC B．当 1a  时，线段MN的长最小 C．当 2 2 a  时，直线MN与平面 1 1BAA B 所成角的正切值为 1 3 D．当 2a  时，平面MNB与平面 1MNB夹角的余弦值为 1 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12.已知向量� = (2, − 1,3), � = ( − 1,1, �)，若� 与� 垂直，则 � + 2� = . 13.某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，前一项考试合格后 才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考．据调查，这两项考试的 合格率依次为 3 4 ， 1 2 ，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至 多需要补考一次的概率为 ． 14.如图，两条异面直线 ,a b所成的角为60，在直线 ,a b上分别取点 1,A E和点 ,A F，使 1 1,A A a A A b  .已知 1 1, 2, 3AE AF EF   ，则 1AA  . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 第 4页，共 5页 15.(本小题 13 分) 如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，以顶点A为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此 的夹角都是 60，M 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点.若 AB a  ，AD b   ， 1AA c   ， （1）用 , ,a b c   表示 BM  ； （2）求对角线 1AC 的长； （3）求 1cos ,AB AC    . 16.(本小题 15 分) 如图，在直三棱柱 ABC A B C   中， AB AC ， 2AB AC AA  ，点 M，N分别为 A B 和 B C 的中点. (1)证明：MN∥平面 A ACC ； (2)求直 A N 与平面CMN所成角的正弦值. 17.(本小题15分) 一个不透明的袋中有 3 个红球，1 个白球，球除了颜色外大小、质地均一致。设计了两个摸 球游戏，其规则如下表所示 游戏 1 游戏 2 摸球方式 不放回依次摸 2 球 有放回依次摸 2 球 获胜规则 若摸出的 2 球颜色相同，则甲获胜 若摸出的 2 球颜色不同，则乙获胜 (1)写出游戏 1 与游戏 2 的样本空间；分别求出在游戏 1 与游戏 2 中甲获胜的概率，并说明 哪个游戏是公平的； (2)甲与乙两人玩游戏 2，约定每局胜利的人得 2 分，否则得 0 分，先得到 4 分的人获得比 赛胜利，则游戏结束．已知每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率． 第 5页，共 5页 18.(本小题 17 分) 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰； 比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一 人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获 胜的概率都为 1 2 . (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 19.(本小题 17 分) 如下图，在 ABCV 中，AC BC ， 2AC BC  ，D是 AC中点，E、F分别是 BA、BC边上 的动点，且 //EF AC；将 BEF△ 沿 EF折起，将点 B折至点 P的位置，得到四棱锥； (1)求证： EF PC ； (2)若 2BE AE ，二面角 P EF C  是直二面角，求二面角 P CE F  的正切值； (3)当 PD AE 时，求直线 PE与平面 ABC所成角的正弦值的取值范围．