5.5三角恒等变换（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 5.5《 三角恒等变换 》 （ 3 课 时 ） 第五章 三角函数 教学目标 学习目标：1.理解与掌握三角恒等变换的相关公式（和差角公式、倍角公式、半角公式、辅助角公式、和差化积公式以及积化和差公式）（数学抽象）； 2.能灵活运用三角恒等变换的相关公式来求解相关的实际问题（数学运算）. 教学重点：三角恒等变换的相关公式及其实际运用. 教学难点：倍角公式、半角公式、辅助角公式的理解与掌握. 一 复习导入——诱导公式（导学） 1.诱导公式一：终边相同角的同一三角函数的值相等.即： 其中 2.诱导公式二： （一）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限.” 3.诱导公式三： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六： 一 复习导入——诱导公式（导学） 1.诱导公式一：终边相同角的同一三角函数的值相等.即： 其中 2.诱导公式二： （一）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限.” 3.诱导公式三： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六： 三角恒等变换：利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的，这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就叫做三角恒等变换。 一 复习导入——诱导公式（导学） （二）问题 通过观察诱导公式，我们可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差)的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系. 如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢?相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 二 探究新知1——和差角公式（互学） （一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗? 1.分析：不妨令 如图，设单位圆O与轴的正半轴相交于点 ，以x轴非负半轴为始边,分别作角设它们的终边分别与单位圆O相交于点 据三角函数的定义可得 故 故 故 二 （一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗? 1.分析：如图，连接若把扇形绕着点旋转角，则点 分别与点重合 根据圆的旋转对称性可知: 与 重合， 即 ∴ 弦 又∵ ，， ∴ 据平面两点间的距离公式可得 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗? 1.分析： 两边求平方可得 故 成立 2.差角的余弦公式：对于任意角 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？ 1. 和角的余弦公式 ∵ ∴据差角的余弦公式可得 于是可得 和角的余弦公式： 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？ 2. 和角的正弦公式 ∵ ∴可得 和角的正弦公式： 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？ 3. 差角的正弦公式 ∵ ∴可得 差角的正弦公式： 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？ 4. 和角的正切公式 ∵ ∴可得 和角的正切公式： 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？ 5. 差角的正切公式 ∵ ∴可得 差角的正切公式： 探究新知1——和差角公式（互学） 二 （三）和(差)角公式小结 6.差角的正切公式： 2.差角的余弦公式： 1.和角的余弦公式： 3.和角的正弦公式： 4.差角的正弦公式： 5.和角的正切公式： 探究新知1——和(差)角公式（互学） 三 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1利用公式证明下列诱导公式： （1）; (2) 例2 已知是第三象限角，求的值. 四 成果展示1(迁移变通) 例1利用公式证明下列诱导公式： （1）; (2) 证明（1） 据差角的余弦公式 可得 故 成立 证明（2） 据差角的余弦公式 可得 故 成立 四 成果展示1(迁移变通) 解：∵ 已知 ∴ ,且据平方关系可得 例2 已知是第三象限角， 求的值. 又∵ 已知是第三象限角 ∴ ,且据平方关系可得 故 五 提升演练1（检测实践） 例3 已知是第四象限角， 求 的值. 又∵ ∴ 解： ∵ 已知是第四象限角， ∴ ,且据平方关系与商数关系可得 五 提升演练1（检测实践） 例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1); (2); (3). 解(1)据差角的正弦公式 可得 解(2)据和角余弦公式 可得 解(3)∵，∴ 据和角正切公式 可得 六 探究新知2——二倍角公式（互学） （一）探究：各位同学，你们能利用 和（差）角公式推导出的公式吗？ 分析：据 和（差）角公式可得 六 探究新知2——二倍角公式（互学） （二）二倍角公式 由上探究可得如下的二倍角公式： 1. 2. 3. 七 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例5 已知 求 的值. 八 成果展示2（迁移变通） 解：∵ 已知 ∴ ，即是第二象限角 又∵已知 ∴ 于是据二倍角公式可得 例5 已知 求 的值. 九 提升演练2（检测实践） 例6 在中， 求. 解：∵ 已知在中，，且 ∴ ∴ 又∵已知 ∴ ∴ 据和角的正切公式可得 十 探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学） （一）半角公式 ∵ ，∴ 据二倍角公式可得如下半角公式 1. 2. 3. 十 探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学） （二）辅助角公式 1.探究 ∵ 设, 即 ∴ 十 探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学） （二）辅助角公式 其中 , 2.辅助角公式：由上探究可得 十一 小组合作、讨论交流3(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例7 试以 表示 . 例8 求证： （1） （2） 十二 成果展示3（迁移变通） 解：由题意据半角公式 可得 ， 即 ， 即 例7 试以 表示 . 十二 成果展示3（迁移变通） 证明（1） ∵ ① ② ∴ 用①+②可得 故 成立 例8 求证： （1） （2） 证明（2） ∵ 由（1）知 ③ 设 ， 则有 ∴ 成立 十三 提升演练3（检测实践） 例9 求下列函数的周期，最大值和最小值. （1） (2) 解：由题意据辅助角公式 （ 其中 , ）可得 （1）∵ ∴函数的周期为,最大值为2，最小值为-2 （2）∵ 其中 , ∴函数的周期为,最大值为5，最小值为-5 课堂小结 十四 今天我们学习了哪些内容？ 1.理解与掌握了三角恒等变换的相关公式（和差角公式、倍角公式、半角公式、辅助角公式、和差化积公式以及积化和差公式）； 2.能灵活运用三角恒等变换的相关公式来求解相关的实际问题. 十五 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十六 家庭作业 1.完成《高考领航》第134-145页知识点填空； 2.完成《课时规范训练》第71-80页题型. $$