5.1.2弧度制（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 5.1.2《 弧 度 制 》 （ 4 课 时 ） 第五章 三角函数 学习目标：1.认识与理解弧度制的相关概念（数学抽象）； 2.理解与掌握弧度制与角度制的换算关系（数学运算）； 3.了解弧度制中的弧长公式与扇形面积公式（数学抽象）. 教学重点：弧度制与角度制的换算关系； 教学难点：认识与理解弧度制的相关概念. 教学目标 01 复习导入—— 角 度 制 1千克=2.2046226磅 1米=3.2808399英尺 0摄氏度=32华氏度 （一）情景：日常生活中，有些量可以用不同的单位进行度量．例如度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制；度量温度可以用℃ (摄氏温度) 、 F (华氏温度) 、 K (热力学温度)等不同单位制． 复习导入 —— 角 度 制 （二）初中的角度制：以度（°）、分（′）、秒（″）为单位来衡量角的大小就叫做角度制. 其中用角度制来度量角时，把一个周角 360等分, 每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．角度制量角用的是六十进制. 01 1度（°）=60分（′）=3600秒（″） 1分（′）=60秒（″） 复习导入—— 角 度 制 （三）问题：日常的运算多数是十进制, 角的度量能否像长度的度量一样，可以用除角度制（六十进制）以外的十进制方式来度量呢？ 01 复习导入—— 角 度 制 （四）科普小知识： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，他是科学史上最多产的一位杰出的数学家，从19岁到76岁，一生不倦，共写下了886本书籍和700多篇论文。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748 年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的，这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 01 复习导入—— 角 度 制 01 下面就让我们跟随着伟大数学家欧拉的脚步，全面深入地认识度量角的另一种十进制单位——弧度制。 02 探究新知1—— 弧 度 制 (一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？ 02 探究新知1—— 弧 度 制 注1：角度制的弧长公式 （平分法） （其中为半径，为弧所对圆心角的度数） 注2： 02 探究新知1—— 弧 度 制 (一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？ 据初中所学习的弧长公式 (其中为弧所对圆心角的度数)可得 故在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比都为 （二）探究 02 探究新知1—— 弧 度 制 据初中所学习的弧长公式 (其中为弧所对圆心角的度数)可得 故在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比都为 （二）探究 02 探究新知1—— 弧 度 制 （三）分析 对于函数解析式 ∵ 为一个常数（定值） ∴ 与圆心角 的大小 成正比例关系 又∵正比例系数 ∴ 随圆心角 的度数 的增大而增大 故我们可以用弧长与半径的比值来表示这个圆弧所对圆心角的大小 02 探究新知1—— 弧 度 制 （四）弧度制的相关概念 1.弧度与弧度制 规定：弧长等于半径长（即）的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 记作 “” ,读作 “1弧度” 以弧度（）为单位来度量角的制度就称为弧度制 当 (即 ) 时 圆心角 注： 用弧度制表示角时,可以省略单位“rad”．如“2rad”可以写成“ 2 ”． 但是, 在用角度制表示角时, 不能省略单位度“°”. 02 探究新知1—— 弧 度 制 正角α 负角α 零角α 2.弧度制角的分类 同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零. 注：角α的正负由角α的终边的旋转方向决定 02 探究新知1—— 弧 度 制 3.弧度制角的大小 规定：半径为,弧长为的圆心角的大小为 即 “圆心角的绝对值等于它所对弧长与半径之比” 注：角的正负由角终边的旋转方向决定. 03 探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换 （一）探究 ∵半径为的圆的周长是, ∴据弧度制角的大小公式可知 周角360º的弧度数为 故 360° 03 探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换 （二）弧度制与角度制的换算公式 由上探究可知 ， 故可得如下角度制与弧度制的换算公式： ∵ ∴ 等式两边同时除以180可得 ∵ ∴ 等式两边同时除以可得 注: 通常在高中弧度制与角度制的转换过程中我们只取等号，除有特殊说明的以外. 1.角度转化为弧度 2.弧度转化为角度 03 探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换 （三）一些特殊角的角度值和弧度值对应关系 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度制 0 提示： ，， 03 探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换 小 结 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图51-12). 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 04 小组合作、讨论交流1 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 把下列角度转换为弧度. （1）； （2） 例2 把下列弧度转换为角度. （1）； （2） 05 成果展示1 例1 把下列角度转换为弧度. （1）； （2） 解（1）：∵ ∴ 解（2）：∵ , ∴ 注：弧度制与角度制的换算公式 05 成果展示1 例2 把下列弧度转换为角度. （1）； （2） 解（1）：∵ ∴ 解（2）：∵ ∴ 06 探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式 （一）探究：已知扇形的圆心角为 ，半径为, 弧长为, 扇形面积为 . 求证：（1）; (2) . 证明（1） 由弧度制的定义可知 ∵已知 ∴ 故 成立 06 探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式 （一）探究：已知扇形的圆心角为 ，半径为, 弧长为, 扇形面积为 . 求证：（1）; (2) . 证明（2） ∵已知圆心角为的扇形面积为 ∴ 圆心角为 的扇形面积为 故 成立 06 探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式 (二)弧长公式与扇形面积公式 1.角度制的弧长公式与扇形面积公式（） （1） (平分法) （2） (平分法) 2.弧度制的弧长公式与扇形面积公式（） （1） (定义法) （2） (类三角形法) 06 提升演练（检测实践） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例3 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 . 06 提升演练（检测实践） 例3 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 . 解：设扇形的弧长为 , 半径为 ,圆心角为 ∵已知 ∴ 据弧度制的弧长公式 与扇形面积公式 可得 课堂小结 07 今天我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了弧度制的相关概念； 2.理解与掌握了弧度制与角度制相互转换； 3.掌握了弧度制中的弧长公式与扇形面积公式. 08 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 09 家庭作业 1.完成《高考领航》第109、110页知识点1、知识点2填空； 2.完成《课时规范训练》第56、57页题型. $$