5.1.1任意角（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版必修第一册 5.1.1《 任 意 角 》 （ 4 课 时 ） 第五章 三角函数 教学目标 学习目标：1.认识与理解任意角的相关概念（角的定义、分类、表示及象限角），并能准确判定一个角是第几象限角（数学抽象）； 2.深刻理解与掌握终边相同角的概念，并能用集合表示所有终边相同角的集合（数学抽象）. 教学重点：任意角的概念；终边相同的角组成的集合；角所在象限的判断. 教学难点：角所在象限的判断；终边相同的角的理解和集合表示. 01 复习导入——角的定义及分类 （一）问题1：生活中，我们可以发现许多与角有关的图形，那么小学初中我们是如何来定义角的呢？ 复习导入——角的定义及分类 （二）初中角的静态定义法： 平面内具有公共端点的两条射线构成的图形就叫做角.其中这个公共端点叫做角的顶点，组成角的两条射线叫做角的边.如图∠AOB 顶点 边 边 01 复习导入——角的定义及分类 （三）问题2：小学、初中角的分类有哪些？它们都在什么范围内呢？ 0°＜ 锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 01 复习导入——角的定义及分类 3、问题2：小学、初中角的分类有哪些？他们都在什么范围内呢？ 1平角=180° 1周角=360° 注：小学、初中所学习的锐角、直角、钝角、平角以及周角，它们都在［0°，360°］范围内. 01 复习导入——角的定义及分类 (四) 问题3 那么，高中我们是如何来定义角的？角的分类又有哪些？相信通过今天的学习，大家将能回答这些问题. 01 二 探究新知1——角的动态定义及表示（互学） 1、情景问题：公园里的摩天轮，选定一个机械臂作为参照，如果机械臂从一个位置旋转到另一个位置，那么会形成一个什么图形？ 各位同学，我们能否从动态的角度来定义角呢？ 角 02 探究新知1——角的动态定义及表示 2、高中角的动态定义：平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形就叫做角，其中这条射线的端点称为角的顶点，旋转起始位置的射线OA称为角的始边，终止位置的射线OB称为角的终边，如图所示. O A B 顶点 始边 终边 3、角的表示（1）用三个大写字母或一个大写字母表示角，通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O” α 3、角的表示（2）用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”. 03 探究新知2——角的分类 1、情景问题1：公园里的一个摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？ 旋转了一周, 则说它转过了360° 旋转一周半,则说它转过了540° 旋转了两周,则说它转过了720° 由情景问题1说明高中角有大小之分，且超出了［0°，360°］的范围. 探究新知2——角的分类 2、情景问题2：如图所示的时钟，如果时钟快了2h，应该如何校准？ 校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h呢？ 快调 慢调 如果时钟快了2h,则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转720° 如果时钟慢了2h,则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转720° 由情景问题2说明高中角有旋转的方向之分 03 探究新知2——角的分类 3、角的分类 始边 终边 负角β O A O A 正角α 始边 终边 （1）一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角 （2）一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为负角 （3）如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角. 03 探究新知2——角的分类 3、角的分类 始边 终边 -60° O A O A 60° 始边 终边 例如射线OA围绕着端点逆时针旋转了60°，则 α = 60° 例如射线OA围绕着端点顺时针旋转了60°，则 β= - 60° 03 04 探究新知3——角的象限性 1、象限角：为了研究方便,到高中我们通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角． 顶点 始边 0° 90° 180° 270°或-90° α=60° 例如 ∵ α = 60°终边在第一象限 ∴ α=60°是第一象限角 β= - 30° 例如 ∵ β= - 30°终边在第四象限 ∴ β= - 30°是第四象限角 04 探究新知3——角的象限性 0° 90° 180° 270° 360° -90° 2、界限角：如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限， 称为界限角． 例如0° , 90°, 180° , 270° ， 360° ,−90° 角都是界限角． 05 小组合作、讨论交流1 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ； (2) − 650° ． 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：本题考察了高中角的动态定义，分类以及象限性 06 成果展示1 解 ：将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. (1) 由题意可知490°角是x轴的非负半轴绕着原点逆时针旋转490°形成的, 如图所示 ∵ 490° = 360° + 130° ∴ 490° 终边落在第二象限 故 490° 为第二象限角. 第二象限 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ； (2) − 650° ． 06 成果展示1 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ； (2) − 650° ． 解 ：将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. (2) − 650° 角是x轴的非负半轴绕着原点顺时针旋转650°形成的, 如图所示 ∵ − 650° = - 360° - 290° ∴ − 650° 终边落在第一象限, 故 − 650° 为第一象限角. 第一象限 07 小组合作、讨论交流2 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例2 求时钟从8点到9点15分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角. 08 成果展示2 例2 求时钟从8点到9点15分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角. 解 ：由题意 时钟从 8 点到 9点15分 ∵分针顺时针旋转了 360° + 90° =450° ∴ 分针旋转形成的角为− 450°； 又∵时针顺时针旋转了 ∴ 时针旋转形成的角为 − 37.5°. 09 探究新知4——终边相同的角 1、情景问题： 如图所示 , 30° , −330° , 390° 角 之间有什么关系呢？ 30° - 330° 390° 2、探究： （1）从图像的角度：在平面直角坐标系中,这三个角的终边相同； （2）从代数的角度：满足 30° = 30° ＋ 0 ×360° −330° = 30° ＋ (−1) ×360° 390° = 30° ＋ 1 × 360° 即它们都可以表示成30°与360°的整数倍之和. 09 探究新知4——终边相同的角 30° - 330° 390° 2、探究：（3）从数量的角度看： 根据角的形成过程可以发现，与30°终边相同的角有无数多个，因此，与30°终边相同的所有角组成的集合S可以表示为 S={β | β= 30° +k360°，k∈Z} 09 探究新知4——终边相同的角 α β= α +k360°，k∈Z． 3、终边相同角的集合： 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为 S = { β | β = α+ k360°，k∈Z} 即所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和. 10 小组合作、讨论交流3 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：本题考察了终边相同角的概念及其集合表示+验证法 例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出0°~360°范围内与其终边相同的角. 11 成果展示3 解： 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为 S = { β | β＝−950°+ k 360°, k∈Z } 当 k = 3 时， β＝−950°+3×360° = 130° 故在0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角是130°角． 例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出0°~360°范围内与其终边相同的角. 验证法：即分别令 k= 0, ±1,±2,±3,±4,… 12 小组合作、讨论交流4 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例5 写出终边在y轴上的角组成的集合. 方法提示：本题考察了终边相同角的概念及其集合表示+分类讨论思想+并集思想 13 成果展示4 例5 写出终边在y轴上的角组成的集合. 90° 270° 解：由图可知，在范围内，终边在y轴上的角有90°与270° ∵所有与90°终边相同的角组成的集合A为 又∵所有与270°终边相同的角组成的集合B为 ∴终边在y轴上的角组成的集合C为 利用分类讨论思想+并集思想 13 成果展示4 例5 写出终边在y轴上的角组成的集合. 解：由图可知，在范围内，终边在y轴上的角有90°与270° ∵所有与90°终边相同的角组成的集合A为 又∵所有与270°终边相同的角组成的集合B为 ∴终边在y轴上的角组成的集合C为 13 提升演练 例6 写出终边在直线上的角组成的集合 中满足不等式的元素有哪些？ 解：由图可知，在范围内，终边在直线上的角有45°与225° ∵所有与45°终边相同的角组成的集合A为 又∵所有与225°终边相同的角组成的集合B为 ∴终边在直线上的角组成的集合 为 13 提升演练 例6 写出终边在直线上的角组成的集合 中满足不等式的元素有哪些？ ∴终边在直线上的角组成的集合 为 中满足不等式的元素有 课堂小结 14 今天我们学习了哪些内容？ 1、认识与理解了任意角的相关概念（角的定义、分类、表示及象限角），并能准确判定一个角是第几象限角； 2、深刻地掌握了终边相同角的概念，并能用集合表示所有终边相同角的集合. 15 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 16 家庭作业 1.完成《高考领航》第107页知识点1、知识点2填空； 2.完成《课时规范训练》第54、55页题型. $$