4.5函数的应用——函数的零点与方程的解（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 4.5《函数的应用（二）》 ——函数的零点与方程的根 （ 4 课 时 ） 第四章 指数函数与对数函数 教学目标 学习目标：1、认识与理解函数零点的概念以及零点存在定理（数学抽象）； 2、理解与掌握用二分法求方程近似解的方法与步骤，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算）. 教学重点：函数零点的概念以及零点存在定理，用二分法求方程的近似解. 教学难点：用二分法求方程的近似解. 一 复习旧知——二次函数与一元二次方程、不等式的关系（导学） 各位同学，在第二章《一元二次函数、方程和不等式》的学习中，我们利用一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系得出了一元二次不等式的图解法，那么给出一个一元二次不等式，大家还能用图解法得到它的解集吗？ （一）导语 一 复习旧知——二次函数与一元二次方程、不等式的关系（导学） （二）典例讲解 解不等式 y＜0 y = 0 y ＞0 + + - y ＞0 第四步：四答，在初中我们书写不等式的解集只要写出未知数x的取值范围，但是到了高中我们要将解集表示成数集或者是区间的形式. 一 复习旧知——二次函数与一元二次方程、不等式的关系（导学） 我们在用图象法求解一元二次不等式的解集时，利用一元二次方程求得两个实数根,这两个实数根又分别对应着二次函数图象与轴的两个交点. 那么在数学上叫做二次函数的什么概念？ 相信各位同学学习完今天的新知识，将能回答这一问题. （三）问题 二 （一）函数的零点 像上面问题中二次函数这样， 对于函数 ,当 时，使得成立，我们就称 为函数 的零点. 函数 的零点 代数意义 几何意义 即为方程 的实数根 即为函数 的图象与轴交点的横坐标 例如 叫做二次函数的2个零点. 由此可知： ① 求方程 f(x)=0的实数解，就是确定函数 y=f(x)的零点. ②对于不能用公式求解的方程 f(x)=0，我们可以把它与相应的函数 y=f(x)联系起来，利用函数的图象与x轴的交点找出零点，从而得到方程的解. 探究新知1——函数的零点与零点存在定理（互学） 二 探究新知1——函数的零点与零点存在定理（互学） （二）探究 对于二次函数，观察它的图象,发现它在区间[2，4]上有零点,这时函数图象与轴有什么关系? 在区间 [-2，0] 上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数的取值规律来刻画这种关系? 二 探究新知1——函数的零点与零点存在定理（互学） （三）分析 可以发现： ①在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴； ②函数在端点和的取值异号(即)，故，函数在区间 (2，4) 内有零点，它是方程的一个实数根; 同样地，，函数在(-2，0)内有零点，它是方程的另一个实数根. 二 探究新知1——函数的零点与零点存在定理（互学） （四）零点存在性定理 一般地， ①如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线； ②且有（即异号）； 那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得 ，这个 也就是方程的解. 二 探究新知1——函数的零点与零点存在定理（互学） （四）零点存在定理 注：零点存在定理只能说明函数在区间内有零点，而不能确定函数在区间内零点的个数. 三 小组合作、讨论交流1（自学） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 函数的零点是 ； 例2 函数有零点的区间为（ ） A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 提示：例1考察了函数零点的概念，只需令; 提示：例2考察了函数零点存在定理； 四 成果展示1（迁移变通） 例1 函数的零点是 ； 解：∵已知 ∴ 可令，则有 ∴ 2 1 故函数的零点是1 四 成果展示1（迁移变通） 解（1）：∵已知 ∴的定义域为, 即函数 的图象在（-∞，+∞）上连续不断，据零点存在定理可做如下判断： 又∵ 例2 函数有零点的区间为（ ） A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 即 ∴据零点存在性定理可知 函数有零点的区间为 (2,3) ,故选D 五 探究新知2——用二分法求方程的近似解（互学） （一）探究：已知函数 在区间(-1,1)上有一个零点，试求方程在区间(-1,1)上的根. 解：∵ 区间(-1,1)的中点为 又 ∴ 据零点存在定理可知的零点在区间（0,1）上 又∵ 区间(0,1)的中点为 而 0 又 ∵ 已知函数 在区间(-1,1)上只有一个零点 ∴方程在区间(-1,1)上的根为 五 探究新知2——用二分法求方程的近似解（互学） （二）用二分法求方程的近似值 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 五 探究新知2——用二分法求方程的近似解（互学） （二）用二分法求方程的近似值 用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下: 1.确定零点的初始区间，验证 （即验证是否满足零点存在定理） 2.求区间的中点 （区间中点坐标公式） ; 3.计算，并进一步确定零点所在的区间: (1)若，则 就是函数的零点; (2)若 ,则在区间上存在零点(即此时零点)，区间舍去； (3)若 ,则在区间上存在零点(即此时零点)，区间舍去； 4.不断重复1、2、3的过程，直到区间的中点能使或，则即为函数的零点或零点的近似值. 六 小组合作、讨论交流2（自学） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例3 用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为,那么下一个有根的区间为 . 七 成果展示2（迁移变迁） 例3 用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为,那么下一个有根的区间为 . 解： 设 ∵ ∴据零点存在定理可知 零点所在的区间为 故方程下一个有根的区间为 课堂小结 八 1、认识与理解了函数零点的概念以及零点存在定理； 2、理解与掌握了用二分法求方程近似解的方法与步骤，并能灵活运用其来求解相关的实际问题. 九 学生自评 十 家庭作业 1.记背今天所学习函数零点与二分法的相关知识； 2.完成《课时规范训练》第49-51页的相关题型. $$