4.4对数函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 4.4《对数函数》 （ 4 课 时 ） 第四章 指数函数与对数函数 教学目标 学习目标：1.认识与理解对数函数与反函数的概念（数学抽象）； 2.理解与掌握对数函数的图象与性质以及反函数的图象特征，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（逻辑推理、直观想象）. 教学重点：对数函数的概念、图象与性质； 教学难点：对数函数图象与性质、反函数的概念与图象特征 一 情景问题（导学） （一） 情 景： 细 胞 分 裂 一 情景问题（导学） 若某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个···，按照这样的规律分裂次后,得到的细胞个数y与分裂次数之间的关系是怎样的呢？ （二）问题1 细胞个数的变化情况 一 情景问题（导学） （二）问题1 分裂次数 1次 2次 3次 ... 次 细胞数 按照这样的规律，分裂次后细胞个数y与分裂次数之间的关系可表示如下： 细胞个数的变化情况 一 情景问题（导学） 若某原细胞体积设为1，假设分裂1次后体积变为原来的 ，分裂2次后体积变为原来的 ，分裂3次后体积变为原来的 ，按照这样的规律分裂次后,得到的细胞体积y与分裂次数之间的关系又是怎样的呢？ （三）问题2 一 情景问题（导学） （三）问题2 分裂次数 1次 2次 3次 ... 次 细胞体积 按照这样的规律,分裂次后得到的细胞体积y与分裂次数之间的关系又是怎样的呢？ 一 情景问题（导学） （四）思考 1.请各位同学把上面两个情境中的指数式 改写成对数式？ 解1：由题意可将指数式 改写成对数式为 2.如果把上面2个对数式中的换成,换成,那么得到的解析式是函数式吗？ 解2：由题意可得解析式 , 它们是函数解析式. 二 探究新知1——对数函数的概念（互学） （一）探究： 各位同学，请大家仔细观察函数与有什么样的共同特征？我们数学上把具有这些共同特征的函数叫做什么函数呢? 两个函数 共同特征 特征一：底数为一个常数 特征二：真数为自变量 即： 函数 =以一个常数为底数自变量的对数 二 探究新知1——对数函数的概念（互学） （二）对数函数的概念 像 这样， 一般地，我们把形如 的函数就叫做对数函数,其中是自变量，定义域是 . 注：（1） 的底数为一个常数； (2) 的真数为自变量, 且； (3) 形如“ ”形式 三 小组合作、讨论交流1（自学） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 判断下列函数是否为对数函数： （1）; (2)； (3) ; (4) ; 例2 求下列函数的定义域： （1）; (2) 四 成果展示1（迁移变通） ✔ ✘,底数 ✘,底数为自变量,真数为常数2 例1 判断下列函数是否为对数函数： （1）; (2)； (3) ; (4) ; ✔ 四 成果展示1（迁移变通） 解（1）：∵已知 ∴真数 ∴ ∴ ∴ （即） 故函数 的定义域为 (-∞，0)∪(0，+∞) 例2 求下列函数的定义域： （1）; (2) 解（2）：∵已知 ∴真数 ∴ 故函数 的定义域为 (-∞，4) 五 提升演练1（检测实践） 解（2）：由题意可知，经过年后物价 为 ，即 由对数与指数间的关系，可得 由计算工具可得: 当 时， 所以该地区的物价大约经过14 年后会翻一番. 例3 假设某地初始物价为 1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为 (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 五 提升演练1（检测实践） 解（2）：根据函数 ，利用计算工具，可填表中数据如上所示. 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长， 且物价大约每增加 1， 所需要的年数在逐渐缩小. 例3 假设某地初始物价为 1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为 (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 六 探究新知2——对数函数的图象与性质（导学） （一）探究：请各位同学分别用描点法作对数函数 与 的图象. 解：（1）求作对数函数 的图象（底数） ①列表; ②描点；③连线； …… 1 2 4 …… …… …… 六 探究新知2——对数函数的图象与性质（导学） 解：（2）求作对数函数 的图象 （底数） ①列表; ②描点；③连线； 1 2 4 （一）探究：请各位同学分别用描点法作对数函数 与 的图象. 六 探究新知2——指数函数的图象与性质（导学） （二）思考1：各位同学，当我们把对数函数 与 的图象放到同一平面直角坐标系中来求作，你们能发现什么规律？ 答：由图可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. 例如 利用函数的图象，根据轴对称性就能画出的图象 六 （三）思考2 根据所得到的对数函数 与 的图象，我们能否分别以底数或为分类，再取若干个底数的值，观察这些对数函数的图象，从而得出对数函数的相关性质吗？ 探究新知2——对数函数的图象与性质（导学） 六 （四）对数函数的图象与性质 探究新知2——对数函数的图象与性质（导学） 由以上实例,可以归纳得出对数函数的图像和性质,如表所示. 特 点 图 象 定义域 值 域 性 质 六 （三）对数函数的图象与性质 探究新知2——对数函数的图象与性质（导学） (0,+∞) (1)过定点（1,0），即时，; (2)当时，； 当时，； 当自变量趋向于0时， 趋向于+∞（但）； （3）减函数； (4) 非奇非偶函数. R (1)过定点（1,0），即时，; (2)当时，； 当时，； 当自变量趋向于0时， 趋向于-∞（但）；（3）增函数； (4) 非奇非偶函数. 七 小组合作、讨论交流2（自学） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例3 比较下列各题中两个值的大小. （1）；（2）； （3）； 例 4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过 pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 摩尔/升，计算纯净水的 pH. 八 成果展示2（迁移变迁） 例2 比较下列各题中两个值的大小. （1）； 解：∵ 底数 ∴ 对数函数 是增函数 又∵ ＜ ∴ （2）； 解：∵ 底数 ∴ 对数函数 是减函数 又∵ ∴ 八 成果展示2（迁移变迁） （3）； 解：可以看作函数的两个函数值， ∵ 已知底数 ∴ 可分如下两种情况来讨论： ①当底数 时 ∵ 对数函数 是减函数 又∵ 5.1＜5.9 ∴ ②当底数 时 ∵ 对数函数 是增函数 又∵ 5.1＜5.9 ∴ 八 成果展示2（迁移变迁） 解:根据对数的运算性质，有 在(0，+∞)上，随着 的增大，真数在减小 又∵底数10＞1 ∴对数函数 是增函数 又∵真数在减小，∴ 也在减小 ∴随着 的增大，pH减小， 即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强. 例 4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过 pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 摩尔/升，计算纯净水的 pH. (2)当时， ∵ ∴纯净水的pH是7 九 探究新知3——反函数的概念及图象特征（导学） （一）问题 各位同学，通过前面知识的学习，我们已经深刻掌握了指数函数与对数函数的概念、图象与性质. 下面请各位同学在同一平面直角坐标系中分别作出指数函数与对数函数的图象，观察并总结这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系？我们数学上把具有这些关系特征的两个函数叫什么函数？ 九 探究新知3——反函数的概念及图象特征 （二）探究 在同一平面直角坐标系中分别作出指数函数与对数函数的图象，观察并总结这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系？我们数学上把具有这些关系特征的两个函数叫什么函数？ 解： ①列表; ②描点；③连线； …… 0 1 2 …… …… …… …… 1 2 4 …… …… …… 九 探究新知3——反函数的概念及图象特征 （三）反函数的概念与图象特征 像指数函数与对数函数这样， 一般地，如果一个函数的定义域与值域分别是另一个函数的值域与定义域，那么就称这样的两个函数互为反函数，其中一个函数叫做另一个函数的反函数, 即函数与互为反函数. 为了书写方便，常将函数的反函数记作 注：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 例如：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称 九 探究新知3——反函数的概念及图象特征 （四）指数函数与对数函数的关系 由反函数的定义可知： 指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，且它们的图像关于直线对称 十 小组合作、讨论交流3（自学） 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例 5 若函数是函数的反函数，则= . 十一 成果展示3（迁移变迁） 例 5 若函数是函数的反函数，则= . 解：∵已知函数是函数的反函数 ∴ 故 -1 课堂小结 十二 1、认识与理解了对数函数与反函数的概念； 2、理解与掌握了对数函数的图象与性质以及反函数的图象特征，并能灵活运用其来求解相关的实际问题. 十三 学生自评 十四 家庭作业 1.记背今天所学习对数函数相关知识； 2.完成《课时规范训练》第43,46页的相关题型. Lavf59.32.100 $$