5.6函数y=Asin(ωx+φ)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 5.6《 函数y=Asin(ωx+φ) 》 （ 3 课 时 ） 第五章 三角函数 教学目标 学习目标：1.理解与掌握函数中参数对其图象的影响作用与物理意义（数学建模）； 2.能灵活运用函数来求解相关的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 教学重点：函数中参数对其图象的影响作用与物理意义； 教学难点：函数中参数对其图象的影响作用. 一 情景问题——唐朝的筒车（导学） （一） 情 景： 筒 车 一 （一）情景：筒车 筒车是我国唐朝时期发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理. 情景问题——唐朝的筒车（导学） 一 （二）问题 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 各位同学，你们能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点) 距离水面的相对高度与时间的关系吗? 答：因筒车上盛水简的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型来刻画它的运动规律. 情景问题——唐朝的筒车（导学） 二 探究新知1——匀速圆周运动的数学模型（互学） （一）思考 与筒车盛水筒运动相关的量有哪些? 它们之间有怎样的关系? （二）探究 1.如图将筒车抽象为一个几何图形，设经过 后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定: 筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间. 二 探究新知1——匀速圆周运动的数学模型（互学） （二）探究 2. 如图以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设 时，盛水筒 位于点 ，以为始边，为终边的角为 ，经过 后运动到点 . 于是，以为始边，为终边的角为 ，并且有 即 ① 所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 二 探究新知1——匀速圆周运动的数学模型（互学） （二）探究 2. 如图以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设 时，盛水筒 位于点 ，以为始边，为终边的角为 ，经过 后运动到点 . 于是，以为始边，为终边的角为 ，并且有 即 ① 所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 注：函数②就是要建立的数学模型，只要将它的图象和性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律. 由于 h 是常量，我们可以只研究函数①的图象和性质. 三 探究新知2——函数的图象（互学） （一）思考 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数.显然，这个函数由参数所确定，因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质. 从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形. (1) 能否借助我们熟悉的函数的图象与性质研究参数对函数的影响? (2) 函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究? 三 探究新知2——函数的图象（互学） （二）探究1： 对函数图象的影响 1、问题：请各位同学利用几何画板分别在同一平面直角坐标系中求作下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）；（2）；（3）. 三 探究新知2——函数的图象（互学） （二）探究1： 对函数图象的影响 1、问题：请各位同学利用几何画板分别在同一平面直角坐标系中求作下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）；（2）；（3）. 观察发现： ①正弦曲线向左平移个单位长度即可得到函数的图象； ②正弦曲线向右平移个单位长度即可得到函数的图象； 三 探究新知2——函数的图象（互学） （二）探究1： 对函数图象的影响 2、 对函数图象的影响 一般地，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象. 即： 的作用——“左加右减”（逆向思维） 正弦曲线 当时，向左平移个单位长度 当时，向右平移个单位长度 函数，图象 函数，图象 三 探究新知2——函数的图象（互学） （二）探究1： 对函数图象的影响 正弦曲线 当时，向左平移个单位长度 当时，向右平移个单位长度 函数，图象 函数，图象 三 探究新知2——函数的图象（互学） （三）探究2： 对函数图象的影响 1、问题：请各位同学利用几何画板分别在同一平面直角坐标系中求作下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）；（2）；（3）. 三 探究新知2——函数的图象（互学） （三）探究2： 对函数图象的影响 三 探究新知2——函数的图象（互学） （三）探究2： 对函数图象的影响 观察发现： ①函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，且函数的周期为； ②函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，且函数的周期为； 三 探究新知2——函数的图象（互学） 2、 对函数图象的影响 一般地，把函数图象上的所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象,且函数的周期为 . 即：的作用——“大于1横坐标缩短，小于1横坐标伸长（纵坐标不变）”（逆向思维） （三）探究2： 对函数图象的影响 三 探究新知2——函数的图象（互学） 2、 对函数图象的影响 一般地，把函数上的所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象,且函数的周期为. 即：的作用——“大于1横坐标缩短，小于1横坐标伸长（纵坐标不变）”（逆向思维） （三）探究2： 对函数图象的影响 三 探究新知2——函数的图象（互学） 函数的图象 当时，所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 函数，图象 函数，图象 （三）探究2： 对函数图象的影响 当时，所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 三 探究新知2——函数的图象（互学） （四）探究3： 对函数图象的影响 1、问题：请各位同学利用几何画板分别在同一平面直角坐标系中求作下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）；（2）；（3）. 三 探究新知2——函数的图象（互学） 观察发现： ①函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），即可得到函数的图象，且函数的值域为［-2,2］，最大值为2，最小值为-2； ②函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），即可得到函数的图象，且函数的值域为［ , ］，最大值为，最小值为； 三 探究新知2——函数的图象（互学） 2、 对函数图象的影响 一般地，把函数图象上的所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍（横坐标不变），就得到函数的图象,且函数的值域为［-A,A］，最大值为A，最小值为-A. 即：的作用——“大于1纵坐标伸长，小于1纵坐标缩短(横坐标不变)”（正向思维） （四）探究3： 对函数图象的影响 三 探究新知2——函数的图象（互学） 函数的图像 当时，所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） 函数，图象 函数，图象 当时，所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） （四）探究3： 对函数图象的影响 三 探究新知2——函数的图象（互学） （五）小结：函数的图象 三 探究新知2——函数的图象（互学） （五）小结：函数的图象 函数的图象 三 探究新知2——函数的图象（互学） （五）小结：函数的图象 一般地，函数 的图象，可以用下面的方法得到: 1.先画出函数的图象;再把正弦曲线向左()(或右()) 平移个单位长度，得到函数的图象; 2.然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数的图象; 3. 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数 的图象 四 探究新知3——函数中参数的物理意义（互学） （一）导言 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动. 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置) 正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 表示，其中. 四 探究新知3——函数中参数的物理意义（互学） （二）函数中参数的物理意义 描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: 1. 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 2.这个简谐运动的周期是 ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 3.这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; 4.称为相位;时的相位称为初相. 五 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 请写出正弦曲线变换得到函数图象的过程，并画出函数的简图. 方法提示：本题考察了函数的图象. 六 成果展示1(迁移变通) 例1 请写出正弦曲线变换得到函数图象的过程，并画出函数的简图. 解：∵ ∴ 正弦曲线先向右平移 个单位长度得到函数的图象 又∵ ∴函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象 又∵ ∴函数的图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），此时得到的曲线即为函数的图象 六 成果展示1(迁移变通) 例1 请写出正弦曲线变换得到函数图象的过程，并画出函数的简图. 解：函数的简图如下所示 七 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例2 如图，某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 八 成果展示2（迁移变通） 例2 如图，某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解: (1)由图可知，这一天6~14时的最大温差为 (2)由图可以看出，从6~14时的图象是函数的半个周期的图象 ∴振幅 又∵ ∴ , 解得 又∵函数的图象经过点（6,10） ∴满足 解得 综上所述，这段曲线的函数解析式为 九 提升演练（检测实践） 例3 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，某摩天轮最高点距离地面高度为 ，转盘直径为 ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中， 关于 的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度; (3)选做：若甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位:)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 提升演练（检测实践） 例3 解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为 轴建立直角坐标系 （1）∵摩天轮在做匀速圆周运动 ∴可用函数来表示其运动规律 设时，游客甲位于点 ，以为终边的角 又∵已知摩天轮转一周大约需要30 min， ∴座舱转动的角速度约为 又∵摩天轮半径 ,摩天轮最高点距离地面高度为 ∴ 故在转动一周的过程中， 关于 的函数解析式为 九 提升演练1（检测实践） 解：（2）由（1）知 关于 的函数解析式为 ∴当时 故游客甲在开始转动后，距离地面的高度约为. 九 提升演练（检测实践） 解(选做)：（3）由（1）知 关于 的函数解析式为 如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示， ∵已知摩天轮有48个座舱 ∴ 又∵经过后甲距离地面的高度为 点B相对于点始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为 ∴甲、乙距离地面的高度差为 九 提升演练（检测实践） 解(选做)（3）∴甲、乙距离地面的高度差为 又利用公式可得 ∴当时，即时，的最大值为 故甲乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m. 九 课堂小结 十 今天我们学习了哪些内容？ 1.理解与掌握了函数中参数对其图象的影响作用与物理意义； 2.学会灵活运用函数来求解相关的实际问题. 十一 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十二 家庭作业 1.完成《高考领航》第146-151页知识点记背； 2.完成《课时规范训练》第81-86页题型. EVCapture5.0.7软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $$