精品解析：2024-2025学年华东师大版九年级数学上册第一次月考试卷

2024-2025学年第一学期第一次月考 九年级（上）数学试题 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答． 【详解】解：A、=2，与不是同类二次根式； B、与被开方数不同，不是同类二次根式； C、=，被开方数相同，是同类二次根式． D、与被开方数不同，不是同类二次根式； 故选C 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得：cosB==． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的加法和乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0， ∴原方程有两个相等的实数根． 故选B． 【点睛】，本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 5. 如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A. ∠ABD＝∠C B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当＝时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； 当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用． 6. 如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡比是，即可求解． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形中坡比的应用，掌握直角三角形中坡比的定义及计算方法是解题的关键． 7. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、再配方即可解答；掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 8. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，再由平行四边形的性质得到，则可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】设道路的宽为米，然后把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 解得（舍去），； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 10. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断． 【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=， ∴∠A=∠B=30°． ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°． 故选B 11. 若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A. ﹣3，2 B. 3，﹣2 C. ﹣3，﹣2 D. 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点即可求m，n的值． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴m+3=0，n=2， ∴m=-3，n=2， 故选：A． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点，如果两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等． 12. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH•PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（  ） A ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，证得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确． 【详解】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°， ∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°， ∴∠EBD=∠EDP， ∵∠DEP=∠DEB， ∴△BDE∽△DPE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH， ∴，故②错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°， ∵∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CDP， ∴， ∴PD2=PH•CD， ∵PB=CD， ∴PD2=PH•PB，故③正确； 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC， 设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30° ∴CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2， ∵DE∥PM， ∴∠EDP=∠DPM， ∴∠DBE=∠DPM， ∴tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确； 故答案为①③④． 故选：D． 考点：相似形综合题． 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 当x_____时，二次根式有意义． 【答案】≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 14. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 详解】解：， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有一个实数根是．则另一个根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 设另一个根为n，则，求解即可． 【详解】∵一元二次方程有一个实数根是， 设另一个根为n， 则， 解得， 故答案为：． 16. 如图，是的中位线，若．则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，再根据即可． 【详解】解：因为是的中位线， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故答案为：6． 17. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则可证明得到，即点C为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵线段和线段关于原点位似， ∴， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，正三角形的边长为1，取各边的中点、、，作第二个正三角形，再取各边的中点、、，作第三个正三角形，…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形的面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键． 先求前几个三角形的面积，找出其中的规律再求解． 【详解】解：过作， 等边三角形， ， 由勾股定理得，， 的面积是， 而与相似，并且相似比为，则面积的比是， 则的面积是， 由此可知： 第一个三角形的面积， 第二个三角形的面积， 第三个三角形的面积， … 依此类推，与的面积比是，第n个三角形的面积是， 所以第十个三角形的面积， 故答案为：． 三．解答题（共7个大题，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）先分别利用二次根式的性质进行化简，计算零指数幂，负整数指数幂，然后进行加减运算即可； （2）先分别计算有理数的乘方，特殊角的三角函数值，然后进行乘方和乘法运算，最后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加法运算，零指数幂，负整数指数幂，含特殊角的三角形函数值的混合运算等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加法运算，零指数幂，负整数指数幂，含特殊角的三角形函数值的混合运算是解题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用完全平方公式分解因式，再把方程两边同时开平方，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点． （1）求证：△AFG∽△AED （2）若FG=2，G为AD中点，求CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）6 【解析】 【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，点E是BF中点，得到BD=CD，BE=EF，根据三角形的中位线的性质得到DE∥CF，即可得到结论； （2）由G为AD中点，FG∥DE，得到AF=EF，求得DE=2FG=4，根据三角形的中位线的性质得到CF=2DE=8，即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点， ∴BD=CD，BE=EF， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE∥CF， ∴DE∥FG， ∴△AFG∽△AED； （2）解：∵G为AD中点，FG∥DE， ∴AF=EF， ∴FG是△ADE的中位线， ∴DE=2FG=4， ∴CF=2DE=8， ∴CG=FC﹣FG=8﹣2=6． 22. 如图，某市对位于笔直公路上的两个小区A、B的供水路线进行优化改造，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区B到供水站M的距离为300米， （1）求供水站M到公路的垂直距离的长度． （2）求小区A到供水站M的距离．（结果可保留根号） 【答案】（1）供水站M到公路的垂直距离的长度为米 （2）小区A到供水站M的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题． （1）根据题意，在中，，米，通过解求得的长度； （2）根据题意，在中，，已求，通过解直角求得的长度． 【小问1详解】 解：∵供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向， ∴， 在中， （米）； ∴供水站M到公路的垂直距离的长度为米． 【小问2详解】 在中，（米）． ∴小区A到供水站M的距离为米． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）设方程两根为，，是否存在实数k，使？若存在，求出实数k；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：由方程有两个不相等的实数根可得，， 解得； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： ， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ，即， 解得， 由（1）得，，而，则不存在． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式关系以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确列出等式和不等式． 24. 有一块三角形余料，它的边mm，高mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 【答案】（1）这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； （2）S的最大值为2400mm2，此时mm，mm． 【解析】 【分析】（1）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设mm，则mm，易证，由相似三角形的性质解答即可； （2）设，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【小问1详解】 设矩形的边长mm，则mm， ∵， ∴， ∴， 即， 解得y=， ∴（mm）， 答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； 【小问2详解】 设mm，由条件可得， ∴， 即， 解得． ∴， ∴S最大值为2400mm2，此时mm，mm． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，已知在矩形中，，，点是线段边上的任意一点（不含端点、，连接、． （1）若，，求． （2）若，当时，求出此时的长． （3）设，试探索点在线段上运动过程中，使得与相似时，求、应满足什么条件，并求出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）当、满足条件时，此时（或； 当、满足条件时，此时． 【解析】 【分析】（1）①在矩形中，得到，解直角三角形即可得到结果； （2）由，得到，由于，等量代换得到，推出，得到比例式，即可得到结论； （3）点在线段上的任一点，且不与、重合，当与相似时，则当（如图，，又，由平行线的性质得到，推出，得到比例式，进而可得到一元二次方程，根据方程根的情况，得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图1，， ， 又， ， 又， ， ， 即， ； 【小问3详解】 点在线段上的任一点，且不与、重合， 当与相似时，则 所以当（如图 则， 又， ， ， 又， ， ， 即， ， 即， 当， ，， ， 即时，， 综上所述：当、满足条件时，此时（或； 当、满足条件时，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期第一次月考 九年级（上）数学试题 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（   ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A. ∠ABD＝∠C B. ∠ADB＝∠ABC C ＝ D. ＝ 6. 如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 10. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 11. 若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A. ﹣3，2 B. 3，﹣2 C. ﹣3，﹣2 D. 3，2 12. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH•PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（  ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 当x_____时，二次根式有意义． 14. 已知，则的值为_____． 15. 若关于的一元二次方程有一个实数根是．则另一个根是_______． 16. 如图，是的中位线，若．则_____． 17. 如图，线段两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为_______． 18. 如图，正三角形的边长为1，取各边的中点、、，作第二个正三角形，再取各边的中点、、，作第三个正三角形，…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形的面积是________ 三．解答题（共7个大题，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点． （1）求证：△AFG∽△AED （2）若FG=2，G为AD中点，求CG的长． 22. 如图，某市对位于笔直公路上的两个小区A、B的供水路线进行优化改造，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区B到供水站M的距离为300米， （1）求供水站M到公路的垂直距离的长度． （2）求小区A到供水站M的距离．（结果可保留根号） 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）设方程两根为，，否存在实数k，使？若存在，求出实数k；若不存在，请说明理由． 24. 有一块三角形余料，它的边mm，高mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 25. 如图，已知在矩形中，，，点是线段边上的任意一点（不含端点、，连接、． （1）若，，求． （2）若，当时，求出此时的长． （3）设，试探索点在线段上运动过程中，使得与相似时，求、应满足什么条件，并求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$