2024年 九年级数学中考复习 实际问题与二次函数 解答题专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《实际问题与二次函数》解答题专题提升训练（附答案） 1．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 2．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 3．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 4．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 5．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？ 6．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度（米）变化规律如下表： x 0 3 6 9 … y 0 9 m 9 … (1)①直接写出a，b的值：______，______； ②小球在斜坡上的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为_____米； ②求v的值． 7．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 8．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 9．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 10．一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 11．洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的表达式； (2)如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本． 12．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出__________盒；（用含x的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； (3)当月饼每盒售价为多少元时，该商场每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 13．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？ 14．如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地，设长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)用含有x的代数式表示S，并直接写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形场地的面积最大，最大面积是多少？ 15．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，的长是多少米？ (3)在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 17．如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为，连接，并过点作，垂足为，连接． (1)请直接写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形？ (2)请判断之间的数量关系和位置关系，并利用图加以证明． (3)在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式． 18．如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（ ）． (1)求的长度．（用含的代数式表示） (2)连接、，当为直角三角形时，求的值． (3)设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． (4)当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 19．如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求t的值； (2)设的面积为S，求出S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．解：（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 2．解：（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 3．（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 4．（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 5．（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门． （2）解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为， 把点代入得，解得，（舍去）， ∴当时他应该带球向正后方移动米射门． 6．（1）解：（1）①根据小球飞行的水平距离（米与小球飞行的高度（米的变化规律表可知， 由抛物线经过店， ， 解得：， 二次函数解析式为， 故答案为：，． ②联立得：， 解得：或， 点的坐标是． （2）①由（1）可得： ∴小球飞行最大高度为12米， 故答案为：12． ②， 则， 解得（负值舍去）． 7．（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 8．解：（1）由题意, ∵抛物线的顶点, ∴可设抛物线的解析式为, 把代入解析式得, , ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，（舍）， ∴入水点B的坐标； （3）解：由题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为， 将代入解析式， ， ， ∴该运动员此次跳水失误了． 9．（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 10．（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， ∵相邻两支柱间的距离均为， ∴， ∴两点都在抛物线上， ∴， ∴， ； （2）解：当时，， ∴． ∴． （3）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为米，三辆车并排宽共米， 因此只需考虑当时，的值与3的大小即可判定， 当时，， ∴不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 11．（1）解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱ACB所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为． （2）解：． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：图中所有景观灯的铺设成本为35000元． 12．（1）解：设售价每盒下降x元，则每天能售出盒，即盒， 故答案为：； （2）解：设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，即盒， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，， 答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）解：设售价每盒下降x元，利润为y元 由题意得：， 整理得：， ∴当时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元， 此时售价为元． ∴当每盒售价为172时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元． 13．（1）解：设解析式为：， 把、代入一次函数， ， 解得：，， 函数的表达式为：； （2）解：设利润为， 则：， ∵函数的对称轴为：， ∴当时，最大，元， ∴售价为20元时，利润最大且为200元； （3）解：由题意得 解得：或25， 为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为15时，利润最大． 14．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵ 解得：． （2）由（1）知， ∵，抛物线开口向下， ∴当米时，s取得最大值，最大值为平方米． 15．（1）解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得：， 解得 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是3米或5米； （2）解：设的长为m米，则的长为米， 根据题意得：， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意； ∴的长是米或4米； （3）解：能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下： 设AB的长为米，围成面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为a为15米， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴时，w取最大值，最大值为48平方米， 此时， 答：当时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米． 16．（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． 17．（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵边在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：，，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ①如图，当点在点右侧时， 则，， ∴； ②如图，当点在点左侧时， 则，， ∴； 综上，或． 18．（1）解：当在上，即时，（）， 当在上，即时，（）， ∴的长度为； （2）解：如图，由题意可得，， 又∵， ∴当为直角三角形时，，此时，重合， ∴当为直角三角形时，； （3）解：如图，当在上，且点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，且点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，即时， ∵，，， ∴， ∴（）， 综上可得， （4）解：以、、、为顶点的四边形为梯形时，在上， 当在上，且点在点的左侧，即时，由（）得 ， 解得， 当在上，且点在点的右侧，即时，由（）得 ， 解得， 综上的值为或． 19．（1）解： ， 当时，四边形为平行四边形时， 由题意可得，，， ， 解得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的中点， ， ， ， 在中，，，， ，，， ， ，， 如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； 即； （3）解：存在，过程如下： 如图，连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点， 则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 当时，，，三点在同一条直线． 20．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5； （2）∵AD=5，且OA=1， ∴OD=6，且CD=8， ∴C（﹣6，8）， 设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8）， ∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9； （3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t）， 由（2）可知E点坐标为（1，8）， ①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图， 则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中 ∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|， ∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6， 当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7， ∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8）， ∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t）， ∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5， ∴Q（4，5）； 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）． 学科网（北京）股份有限公司 $$