第二章二次函数第4讲二次函数的图象和性质 (4)2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数第4讲二次函数的图象和性质 (4)2023-2024学年九年级下册数学北师大版 专题一 利用二次函数解决面积问题 【典例精讲】 题型 1 三角形面积最值问题 【例1】在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=6, AC=8, 点 D是边AB上的一动点(不与点 A, B重合),过点D作DE∥BC, 交边AC于点E. (1) 如图1, 当AD=2BD时, 求△ADE的面积; (2)如图2,将四边形BDEC沿DE向上翻折, 得四边形 DEFG. 设AD的长为x,四边形 DEFG与△ADE 公共部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时y最大，最大值是多少? 举一反三 1. 如图所示,在△ABC中,∠A=30°, AB=4, AC=6, P是 AC上任意一点(点P不与A, C重合),过P 作PD∥AB交BC于D, 设AP=x. (1) 求△BPD的面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (2) 当P在AC 上什么位置时, △BPD的面积最大? 题型2 矩形面积最值问题 【例2】如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB 为 xm，面积为 (1)求y与x的函数关系式； (2) 如果要围成面积为 的花圃，那么 AB 的长是多少? (3) 能围成面积比 更大的花圃吗? 如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 举一反三 2. 在矩形ABCD中, P 是BC边上的任意一点(P与B，C不重合)，过点P作. 垂足为P, PE交CD于点E. (1) 连接AE,当△APE与 全等时，求BP的长； (2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大? 最大值是多少? (3) 若 PE∥BD, 试求出此时 BP的长. 题型3 动点型图形面积问题 【例3】如图, 菱形ABCD的边长为12 cm, E 为AB上一点, 且 . 动点 P 从 B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t(s). (1) 当t为何值时, 的面积为 (2)在点 P出发的同时,动点Q从点 D 出发,以 1cm/s的速度沿DC 边向点 C 运动,连接MQ, PQ,试求 的面积 与t(s)之间的函数关系式，并求出当t为何值时， 的面积最大，最大值为多少? 举一反三 3. 如图, 中， , 点Q 在线段 BC上从B向C 运动,点P 在线段BA 上从B向A运动. Q，P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点 C时，两点都停止运动. 作 交CA于点 M, 过点 P 分别作BC, CA的垂线, 垂足分别为E, F. (1) 求证: (2) 当点P，Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系? 并证明你的猜想； (3) 设 的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来. 专题二 利用二次函数解决抛物线问题 【典例精讲】 题型1 抛物线中拱桥问题 【例1】一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图1所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离为5m. (1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2 所示)，其表达式是 的形式，请根据所给数据求出a，c的值； (2) 求支柱MN的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)? 请说说你的理由. 举一反三。 1. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成,已知河底 ED是水平的, ED=16米, AE=8米, 抛物线的顶点C到ED的距离是11米, 以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式； (2) 已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系： 且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 题型2 球类运动问题 【例2】如图所示，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从坡下O打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12m时，球移动的水平距离为9m. 已知山坡OA 与水平方向 OC的夹角为 O, A 两点相距 (1) 求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式； (2) 求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； (3) 判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A 点. 举一反三 2. 李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O点向篮圈中心A 点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米. 以O点为坐标原点，建立直角坐标系(如图所示)，测得OA与水平方向OB的夹角为30°，A，B两点相距1.5米. (1) 求篮球飞行路线所在抛物线的解析式； (2)判断李明这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点(排除篮板球)，如果能，请说明理由； 如果不能，那么李明应向前或向后移动多少米，才能投入篮圈A 点? (结果保留根号) 专题三 利用二次函数解决利润问题 【典例精讲】 题型1 根据二次函数的最值求最大利润 【例1】某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元. 市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)变化而变化，具体关系为：w=-2x+240. 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题： (1) 求y与x的关系; (2)当x取何值时，y的值最大? (3) 如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元? 举一反三 1. 某商品的进价为每件40元. 当售价为每件50元时，每个月可卖出210件. 如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元. (1) 求出y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润? 最大月利润是多少元? (3) 每件商品的售价定为多大元时，每个月的利润恰为2200元? 根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 题型 2 根据表格信息求最大利润类 【例 2】市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表： 时间t(天) 1 3 10 20 21 22 40 日销售量m(件) 98 94 80 60 61 62 80 未来40天内，该商品每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为： 为整数)t为整数)，根据以上提供的条件解决下列问题： (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t≤40时，满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式； (2) 请预测未来20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t(天)的增大而增大，求a的取值范围. 举一反三 2. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表8-4： 售价x(元/每克) 50 60 70 80 销售量y(千克) 100 90 80 70 (1) 求y与x的函数关系式； (2) 批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元? (3) 该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大? 此时的最大利润为多少元? 题型3 根据一次函数与二次函数的图象信息求最大利润 【例3】一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y₁与上市时间x的关系可用图1的一条线段表示； 它的种植成本. 与上市时间x的关系可用图2中抛物线的一部分来表示. (1) 求出图1中表示的市场售价y₁与上市时间x的函数关系式； (2) 求出图2中表示的种植成本. 与上市时间x的函数关系式； (3) 假定市场收件减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱? (市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天) (4) 试问第几天出售这种蔬菜时，可获纯利润最大? 举一反三 3. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第 12月，这种水果每千克售价y₁(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段) 的变化趋势，每千克成本 (元)与销售时间第x月满足函数表达式. 其变化趋势如图2所示. (1) 求y₂的表达式; (2) 第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大? 最大利润是多少? 【综合提升】 一、选择题 1. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( ) A. 4cm² B. 8cm² D. 32cm² 2. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与距离x(m)之间的函数关系式是 则该运动员此次掷铅球的成绩是 ( ) A. 6m B. 12m C. 8m D. 10m 3. 某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售出500个，如果这种产品每涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A. 130元 B. 120元 C. 110元 D. 100元 4. 一工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一工艺品每降价1元出售，则每天可多售4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A. 5元 B. 10元 C. 0元 D. 3600元 5. 某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出. 若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出. 如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为避免租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是 ( ) A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元 6. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后铅球距出手点的水平距离为4米时达到最大高度3米，则铅球运行路线的表达式为( ) 7. 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB= xm，长方形的面积为ym²，要使长方形的面积最大，其边长x应为( ) A. 5m D. 8. 如图所示是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面, 有AC⊥x轴. 若OA=10米, 则桥面离水面的高度AC为( ) A. 16米 米 米 米 9. 如图，在一个近似于直角三角形的空地上挖一个长方形的水池，要求长方形水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别是30m，40m，50m，则水池的最大面积是( ) 10. 某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图(1)、(2) 所示.(注：图(1) 的图象是线段，图(2) 的图象是抛物线，生产成本6月份最低.)根据图象信息可以计算出：出售这种蔬菜，每千克收益最大的月份是 ( ) A. 3月份 B. 4月份 C. 5月份 D. 6月份 二、填空题 11. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数) 出售，可卖出(30-x)件. 若使利润最大，每件的售价应为 元. 12. 小李推铅球，若铅球运行时离地面的高度 ym关于水平距离 xm的函数解析式为 那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 m. 13. 如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高各有一个挂校名横匾用的铁环P. 两铁环的水平距离为6m，则校门的高为( ) (精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计) 14. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千. 拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米. 15. 如图，利用一面墙(墙足够长)，用总长为80m的篱笆围成①②③三块矩形区域，且这三块矩形的面积相等，则矩形ABCD面积的最大值为 m². 三、解答题 16. 如图，有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽 AB为20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m. (1) 在图中的坐标系中求出此抛物线的解析式； (2)当洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从正常水位开始，再持续多长时间，会达到拱顶? 17. 某商场购进一批单价为4元的日用品. 若按每件5 元的价格销售，每月能卖出3万件； 若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件) 与价格x(元/件) 之间满足一次函数关系. (1) 试求y与x之间的函数关系式； (2) 当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大? 每月的最大利润是多少? 18. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米. 某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y(千米) 与飞行的水平距离x(千米) 满足关系式 其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1) 求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它? 请说明理由. 19. 如图，有长为24米的篱笆，利用一面墙(墙的最大可用长度为10米) 围成一个长方形的花圃. 设花的宽AB为x米，面积为S平方米. (1) 求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围； (2) 怎样围才能使长方形花圃的面积最大? 最大值为多少? 20. 如图, 在梯形ABCD中,. 作 AB于点E, 将 沿直线DE 折叠, 点 A 落在F处, DF交 BC于点 G. (1) 用含有x的代数式表示 BF的长； (2) 设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3) 当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值. 21. 某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品. 已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为 (1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式； (2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大? 最大年利润是多少? (3) 若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围. 22. 为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在 内修建矩形水池DEFG,使顶点D, E在斜边AB上, F, G 分别在直角边BC, AC上; 又分别以AB, BC, AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草； 其余空地铺设地砖.其中 米， 设 米， 米. (1) 求y与x之间的函数解析式； (2) 当x为何值时，矩形DEFG的面积最大? 最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的 学科网（北京）股份有限公司 $$