第4章图形的相似（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第4章 图形的相似（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 知识点五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 知识点七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 考点1：四个概念 概念1：成比例线段 【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）下列各组数中，不能组成比例的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．、、和 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 概念2：相似多边形 【例题2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【变式3】（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    概念3：黄金分割 【例题3】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 【变式1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，如果，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 概念4：位似图形 【例题4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【变式2】（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【变式3】（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 考点2：三个性质 性质1：比例的性质 【例题5】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如果线段，，，满足，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，则的值为（   ） A． B．25 C．24 D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）已知，则 ． 【变式3】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知，，求的值． 性质2：平行线分线段成比例的性质 【例题6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【变式3】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 性质3：相似三角形的性质 【例题7】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，，求的长． 考点3：一个判定——相似三角形的判定 【例题8】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【变式3】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 考点4：一个作图——作一个图形的位似图形 【例题9】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似； (2)画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； (3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出并写出点坐标； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1) ； (2)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)在（2）中，点是线段上一点，点的对应点的坐标为________． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 考点5：一个应用——相似三角形的应用 【例题10】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【变式1】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·山西运城·期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 一、单选题 1．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 5．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A．4 B．6 C．7 D．12 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 8．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      三、解答题 9．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 10．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）在中，点、分别在边、上，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．3倍 B．6倍 C．8倍 D．9倍 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 6．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A．7 B． C．8 D． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在、上，交于点N，则的长为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 二、填空题 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知，，c是a、b的比例中项，则 ． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 13．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 15．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则图中相似三角形共有 对． 18．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，如果，，那么 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·全国·期末）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 20．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 21．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 23．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 24．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 25．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，点Q是线段上的点，且，连接并延长，交边于点P，设，    (1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)连接，当和互补时，求x的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形的相似（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 知识点五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 知识点七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 考点1：四个概念 概念1：成比例线段 【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）下列各组数中，不能组成比例的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．、、和 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例的概念，最大值与最小值相乘，另外两个相乘，它们的积相等，则成比例线段，由此即可求解． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段列出比例式即可求解，掌握比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． （1）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 概念2：相似多边形 【例题2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵两个等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵两个直角三角形，菱形的对应角不一定相等，两个矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 【变式3】（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 概念3：黄金分割 【例题3】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：A． 【变式1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，如果，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割，勾股定理，如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求； 由勾股定理易得，则， 则，则． 概念4：位似图形 【例题4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B 【变式2】（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 【变式3】（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式 考点2：三个性质 性质1：比例的性质 【例题5】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如果线段，，，满足，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，根据比例的性质与乘法的相互转换，比例的性质进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 不一定成立的是， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，则的值为（   ） A． B．25 C．24 D． 【答案】B 【分析】本题考查了用比例的性质求分式的值，可设，（），代入计算，即可求解；掌握在比例中常设辅助未知数进行简便求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设，（）， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，可设，可得，，，再根据可得关于k的方程，解方程求出k，进一步计算即可得解，熟练掌握设k法得到关于k的方程是解决此题的关键． 【详解】设，则，，， 依题意有， 解得， ∴，，， ∴． 性质2：平行线分线段成比例的性质 【例题6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ，，，， 选项、、正确， 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质等知识点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉定理内容是关键．由题意得；由平行线分线段成比例得：，由此即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， 即； 故答案为：． 【变式3】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 性质3：相似三角形的性质 【例题7】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，，求的长． 【答案】9 【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 考点3：一个判定——相似三角形的判定 【例题8】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 综上，相似三角形共有对， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【答案】 【分析】此题 考查相似三角形的判定、直角三角形的性质、等边对等角等知识，，点D是边上的中点，则，，得到再证明，则，即可证明． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 考点4：一个作图——作一个图形的位似图形 【例题9】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似； (2)画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； (3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)与是位似图形，图见详解，点是位似中心 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出并写出点坐标； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了坐标系中位似图形的画图，位似点的坐标计算，熟练掌握作图，坐标计算方法是解题的关键． （1）根据位似中心，结合位似比，画图即可． （2）根据位似坐标计算方法即起始点坐标的位似比倍或位似比的相反数倍计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则，画图如下： 则即为所求． （2）内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1) ； (2)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)在（2）中，点是线段上一点，点的对应点的坐标为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案； （3）利用（2）中得到把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：点是线段上一点，则点的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键． （1）将点A，B，C三点的横坐标与纵坐标都乘以，得到，，，依次连接得到，则即为所求； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为： 考点5：一个应用——相似三角形的应用 【例题10】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例． 据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解：如图过O作直线，交于F，    依题意， ∴， ∴， 由可以得， ∵分别是它们的高， ∴，即： ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键． 过点作于点，交于点，则，，由可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则，， ， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·山西运城·期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意得，，，，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 答：旗杆的高度是米． 一、单选题 1．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 【详解】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 4．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 5．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【答案】或/或 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 三、解答题 9．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）在中，点、分别在边、上，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出选项B、C、D的比例式中能得到，选项A的比例式中不能得到，即可得出答案．本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ； 故B选项是不符合题意； ， ； 故C选项是不符合题意； ， ， 故D选项是不符合题意； 当时，与不一定相似， 不一定等于， 不能判定， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期末）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．3倍 B．6倍 C．8倍 D．9倍 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，当一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的倍， 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短线段比长线段等于长线段比全线段，等于，则这个点叫线作段的黄金分割点．根据黄金分割点进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ， ， 故错误的是选项B， 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 【答案】A 【分析】本题考查了比的运算，解题的关键是理解题意，正确列出比例式．根据题意可知时最大，求解即可． 【详解】解：根据题意可知时最大， 解得：． 故选：A． 6．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A．7 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 解得：； 故选：D． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 9．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．此题考查了相似三角形的判定，网格与勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，， 又， 的三边的值从大到小分别为， A、图中的三角形的三边从大到小分别为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）不与相似， 故该选项不符合题意； B选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与相似， 故该选项符合题意； C选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 该选项不符合题意； D选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 故该选项不符合题意； 故选：B 10．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在、上，交于点N，则的长为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．先根据正方形的性质和平行线的性质得到，设，则，证明，利用相似三角形的性质求解x值即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 设，则， ∴， ∵, ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知，，c是a、b的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握“当比例式中的两个内项相同时叫比例中项”是解题关键．根据题意得，再进行计算即可． 【详解】解：c是a、b的比例中项， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据相似图形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：80． 13．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质， 根据题意，相似比为，则，即可解答． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 【答案】18 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于2， ∴的面积为18． 故答案为：18． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据直线，可得，且，代入计算即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴，且， ∴， 故答案为： ． 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的判定和相似三角形的判定．根据已知先判定线段，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ， ， 同理：，， ， ，， ． 共4对． 故答案为：4． 18．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，则，证明，得到，则，得到，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 19．（24-25九年级上·全国·期末）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． （1）利用已知条件得到，进而代入求出答案． （2）设，代入化简即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：设， 所以． 20．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题主要考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质． （1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可； （2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，其中，； （2）解：根据（1）中，变换的规律可得，． 21．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解； 【详解】（1）解：在四边形，， ∵四边形四边形， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长， 【详解】（1）解：∵，，，， ， 即， 解得：； （2）解：∵，， ， 即， 解得：． 24．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 25．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查黄金分割，如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，，代入数据计算即可． 【详解】解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得（列方程）． 解得，（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为m． 故答案为：；，， 26．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，点Q是线段上的点，且，连接并延长，交边于点P，设，    (1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)连接，当和互补时，求x的值． 【答案】(1)，x的取值范围是 (2)或 (3) 【分析】（1）过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理，可得，进而表示出和，再根据，得到，代入即可得解； （2）当为等腰三角形时，也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论求得的长即可； （3）先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，判定，得出，即，再根据，得出，代入求得的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于，    则， 又， ， 又， ， ，，， ， ， ，即， ． （2）解：， ， 当为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①当时，， 又∵， ∴， ，即， 解得， ， 解得； ②当时，， ， 解得； ③当时，点与点重合，不合题意， 综上所述，的长为或． （3）解：如图，   ， ， 又和互补， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 又， ， ， ，即， ，， ， ， ，即， 解得． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，等腰梯形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形和运用分类讨论思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$