4.1.2指数函数的性质与图象（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题：考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间，当有机体生存时会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳11，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半. 你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？ 利用本小节我们要学习的指数函数知识，可以顺利地解决其情境中的问题. 新知探索 尝试与发现：假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用代表该有机体死亡年后体内碳14的含量，则时，,时，.由此可知，与的关系可以表示为. 上述尝试与发现的函数关系中，自变量出现在指数中. 新知探索 一般地，函数称为指数函数，其中是常数，且. 注： (1)指数函数的定义域是实数集； (2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项； (3)底数只能有一项，且其系数必须为1； (4)底数的范围是且. 下面来研究指数函数的性质与图象. 作为例子，我们首先分析指数函数的性质，并得出其对应的图象. 新知探索 尝试与发现：分别求出指数函数在自变量取 ，时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由. 新知探索 根据指数运算的定义，可以得到指数函数的性质： (1)定义域是_______； (2)值域是_________； (3)奇偶性是________________； (4)单调性是__________. 非奇非偶函数 增函数 新知探索 根据以上性质可知，函数的图象都在轴上方，而且从左到右图象是逐渐上升的.通过描点，可以作出的图象，如图所示. 函数的单调性也可借助4.1.1中练习第3题的结论来理解. 下面来研究指数函数的性质与图象. 新知探索 尝试与发现：给出研究指数函数的性质与图象的方法，并用该方法得出这个函数的性质： 新知探索 (1)定义域是_______； (2)值域是_________； (3)奇偶性是________________； (4)单调性是__________. 非奇非偶函数 减函数 新知探索 注意到，因此不难看出和是有联系的：当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等.也就是说，如果点在的图象上，那么这个点关于轴的对称点一定在的图象上；反之，的图象上任意一点，其关于轴的对称点也一定在的图象上.因此，指数函数和的图象关于轴对称，如图所示. 新知探索 尝试与发现：(1)你能指出指数函数和的图象的公共点吗？ (2)你能得出指数函数一定过哪个定点吗？ 函数和的图象的公共点为.事实上，因为，所以的图象一定过点. 新知探索 由以上实例，可以归纳出指数函数(且)具有下列性质： (1)定义域是实数集. (2)值域是，因此，对任何实数，都有，也就是说函数图象一定在轴的上方. (3)函数图象一定过点. (4)当时，是增函数；当时，是减函数. 新知探索 先请同学们观察“网络画板”展示下指数函数(且)随着底数的变化而变化的过程，再总结归纳出指数函数)的性质. 新知探索 一般地，指数函数的图象和性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 减函数 增函数 当时，； 当时， 当时，； 当时， 与的图象关于轴对称 例题 例1 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与；(2)与. 分析：每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题. 解(1)因为与都是以为底的幂值，所以考察函数，由于这个函数在实数集上是减函数，又因为，所以. 解(2)因为与都是以为底的幂值，所以考察函数，由于这个函数在实数集上是增函数，又因为，所以. 例题 例2 已知实数满足，试判断与的大小. 解：因为函数在实数集上是减函数， 所以由可知. 又因为在实数集上是增函数， 所以. 新知探索 在中，只要输入指数函数的表达式，就可以得到对应的图象，如图所示是用作出的，，，的图象，你能从中得出什么规律吗？ 新知探索 在轴的右侧，底数越大， 图象越高，简称“底大图高”. 用也能方便地算出死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少，即. 练习 题型一：指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 解：(1)定义域：.值域：. (2)定义域：.值域：. (3)定义域：.值域：. 练习 指数函数定义域、值域的处理技巧： (1)关注定义域，比如分母、奇(偶)次方根等； (2)关注值域，有时候需要分离系数、结合二次函数的性质求解，再结合着指数函数的单调性求解值域. 练习 变1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 解：(1)定义域为.∵，∴， 又，∴，故函数的值域为. (2)定义域为.∵，∴. (3)定义域为.令，则， ∴ 故函数的值域为. 练习 题型二：指数函数的图象及应用 例2.函数()的图象可能是：( ). 答案：C.当时，，故函数的图象过定点 练习 指数函数图象问题的处理技巧： (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象恒过定点. (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换（左加右减、上加下减）. (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性决定函数图象的走势. 练习 变2.已知,则函数图象必定不经过（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D. 图象恒过点， ∵，∴点在轴正半轴上. 故图象不经过第四象限. 练习 题型三：利用指数函数性质比大小 例3.比较下列各题中两个值的大小： (1),;(2),;(3), 解：(1) (2). (3). 练习 比较指数式大小的类型及处理方法： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断. (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较. 变3.已知,则的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 练习 答案：D. ∵， 又 ∴. 故. 例4.求满足下列条件的的取值范围： (1);(2);(3)> 练习 解：(1)的取值范围是： (2)的取值范围是： (3)的取值范围是：当 当0< 题型四：利用指数函数性质解不等式 练习 指数不等式的三种求解方法： (1)性质法：解形如的不等式，可借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论. (2)隐含性质法：解形如的不等式，可先将转化为以为底数的指数幂的形式，再借助函数的单调性求解. (3)图象法：解形如的不等式，可利用对应的函数图象求解. 变4.(1)解不等式; (2)已知，求的取值范围. 练习 解：(1)的取值范围是： (2)当时，的取值范围是： 当时，的取值范围是： 课堂小结&作业 课堂小结： (1)指数函数的图象性质； (2)比较指数式大小的类型及处理方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P13的练习，练习； (3)课本P14的习题的第2—4题；习题的第3—5题； 习题的第2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$