精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度上学期八年级10月数学测试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 2022年北京冬奥会冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 9. 如图，在中，和的角平分线交于点，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 4张长为a、宽为长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 12. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 13. 如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___． 14. 分式有意义，则x应满足的条件是___________． 15. 分解因式：__________． 16. 如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则的度数为______． 17. 如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 18. 如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 ___________厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）若点P在x轴上，且点P到点A，B的距离相等，请直接写出点P的坐标． 22. 如图，中，，，垂足为D． （1）求作的角平分线，分别交，于点P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 23. 如图，中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求度数． 24. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 25. 已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：是等边三角形． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是___________； （2）如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图，设，平分线过点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期八年级10月数学测试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 2022年北京冬奥会冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】A、的分母含字母，故其是分式，故A符合题意； B、是单项式，故B不符合题意； C、是单项式，故C不符合题意； D、是多项式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记特点是解题的关键． 【详解】点关于y轴对称的点的坐标是 故选：B． 4. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第三边长为，则由三角形三边关系得不等式，再根据第三边为奇数可得答案． 【详解】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得， 即． ∵第三边长为奇数， ∴， 故选： C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，利用三角形的三边关系得到第三边的取值范围是解本题的关键． 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．不一定等于，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．不一定等于，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方及同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方及同底数幂相乘的运算法则逐一判断，即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类项，无法计算，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，正确得出是解题关键． 8. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出 ，进而根据 求出即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作法和性质等知识，根据垂直平分线的性质得出 是解题关键． 9. 如图，在中，和的角平分线交于点，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方的计算法则是解题的关键．利用同底数幂乘除法的逆运算，将变形为，再代入数据计算即可． 【详解】解：， ， 又，， ． 故选：A． 11. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 12. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据与关于直线l对称，可得，即有，，再证明，即有，则，由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，问题随之得解． 【详解】解：如图，连接， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 13. 如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 14. 分式有意义，则x应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可． 【详解】解：分式有意义，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0． 15. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式和公式法因式分解；熟记公式是解题的关键．先提公因式3，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则的度数为______． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据五边形内角和求出，再根据补角的定义，全等三角形的性质得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，补角的定义，三角形内角和定理等，正确求出是解题的关键． 17. 如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 【答案】108 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36°， 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°， 故答案为108． 【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 18. 如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 ___________厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【解析】 【分析】首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵， ，点D为的中点， ∴厘米， ∵， ∴， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点Q的速度为：； 时，，故点Q的速度为：； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式的乘法运算法则和积的乘方运算法则计算即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 （1）； ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式和整式的混合运算法则将式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）若点P在x轴上，且点P到点A，B的距离相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据割补法求面积即可； （3）作的垂直平分线交轴于点． 小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：如图点即为所作，P点坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解本题的关键． 22. 如图，中，，，垂足为D． （1）求作的角平分线，分别交，于点P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，即可得出． 【小问1详解】 解：如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与，相交，得到两个交点，以两个交点为圆心，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，连接C与两弧的交点，为所作； 小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作已知角的角平分线，等腰三角形的判定，熟知角平分线的作法是解题的关键． 23. 如图，中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形等边对等角，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等，三角形的内角和为180度是解题的关键． （1）根据得出，即可根据求证； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，则，最后根据三角形的内角和定理得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 24. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）或 （2）需A纸片2张 B纸片2张 C纸片5张 （3）8 【解析】 【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和； （2）根据多项式乘多项式的乘法解决此题； （3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题． 【小问1详解】 （a+b）2=a2+2ab+b2或a2+2ab+b2=（a+b）2． 【小问2详解】 （2a+b）（a+2b） =2a2+4ab+ab+2b2 =2a2+5ab+2b2． ∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． 【小问3详解】 由题意得，p2+q2=20，p+q=6． ∵（p+q）2=p2+q2+2pq=62， ∴2pq=62-20=16． ∴pq=8． ∴S阴＝pq×2＝pq＝8． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 25. 已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明见解析； （2）的度数是；； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【小问1详解】 证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是___________； （2）如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图，设，的平分线过点，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）利用非负数的性质可得的值，进而得到点坐标，过点作轴于，如图，证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案：； 【小问2详解】 证明：如图，过作轴于，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于， ∵ ， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质，非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $