专题三 数列 第1讲　等差数列、等比数列-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第1讲　等差数列、等比数列（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 3 【考点二】等差数列、等比数列的性质 4 【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 6 【专题精练】 7 考情分析： 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 6．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 8．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 二、填空题 9．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 考点突破 【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 核心梳理： 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1， an＝am·qn－m. (3)等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式： Sn＝ 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（    ） A． B．的最大值是 C． D．当时，最大值为 4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（    ） A． B．的公比为2 C． D． 三、填空题 5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 6．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 规律方法： 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 【考点二】等差数列、等比数列的性质 核心梳理： 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)． (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. 一、单选题 1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．9 B．16 C．21 D．25 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（    ） A．31 B．32 C．63 D．64 二、多选题 3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 三、填空题 5．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列中，为前项和，，则 . 规律方法： 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 核心梳理： 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 一、解答题 1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 3．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的前项和． 6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 规律方法： (1)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. (2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列． (3)证明{an}不是等比数列可用特值法． 专题精练 一、单选题 1．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 4．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·江苏南通·二模）若，，成等比数列，则（　　） A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 8．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（    ） A． B．当时，的最大值为 C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D．数列前项和为，最大 11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 三、填空题 12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 四、解答题 15．（2023·四川南充·一模）已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和． 16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列对任意正整数满足：． (1)若为等差数列，求； (2)若，求的前项和． 18．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19．（2023·湖南常德·一模）已知数列满足（）. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　等差数列、等比数列（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 8 【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 8 【考点二】等差数列、等比数列的性质 11 【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 15 【专题精练】 21 考情分析： 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 6．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 8．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 二、填空题 9．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C B C C C 1．D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2．C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 3．B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4．C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 5．B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 6．C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 7．C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 8．C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 9．95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 10． 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 考点突破 【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 核心梳理： 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1， an＝am·qn－m. (3)等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式： Sn＝ 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（    ） A． B．的最大值是 C． D．当时，最大值为 4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（    ） A． B．的公比为2 C． D． 三、填空题 5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 6．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B BC BC 1．A 【分析】根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列，利用等差的通项公式和前项和公式求解. 【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列，设数列首项为，公差为，则，. 则通项公式，，， 则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为： . 故选：A 2．B 【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得. 故选：B 3．BC 【分析】 根据已知条件求得的关系式，再根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， ，A选项错误. 所以，C选项正确. 所以的最大值是，B选项正确. 由于时，，是单调递减数列， 所以当时，没有最大值，D选项错误. 故选：BC 4．BC 【分析】令求出，由分别求出，由等比性质求出，进而求出和，结合等比通项公式可求. 【详解】因为，所以． 因为是等比数列，所以，即，解得，则错误； 的公比，则B正确； 因为，所以，则C正确； 因为，所以，所以，则D错误． 故选：BC 5． 【分析】由已知关系，结合等差数列前n项和公式、等差中项性质即可求结果. 【详解】由，即. 故答案为： 6． 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 规律方法： 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 【考点二】等差数列、等比数列的性质 核心梳理： 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)． (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. 一、单选题 1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．9 B．16 C．21 D．25 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（    ） A．31 B．32 C．63 D．64 二、多选题 3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 三、填空题 5．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列中，为前项和，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ABD BD 1．C 【分析】根据等比数列的性质求，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，，即，得， . 故选：C 2．C 【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得，进一步得    ，结合数列单调性即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，即， 显然关于单调递增，其中， 又，所以的最大值为63. 故选：C. 3．ABD 【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； ，故A正确； 因为，也均不为0，所以不可能为一常数， 即数列不可能为等比数列，故C错误. 故选：ABD 4．BD 【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D, 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A错误 由，可得到，所以， ， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：BD. 5．5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 6． 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得. 【详解】在等差数列中，又，所以， 所以. 故答案为： 规律方法： 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 核心梳理： 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 一、解答题 1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 3．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的前项和． 6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果. 【详解】（1）由，可得，又， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，得到． （2）由（1）可知， 故． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可; （2）先根据第（1）问的求出数列的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. （2）由（1）知,, 则, 故 . 3．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列为等差数列，即可求出数列的通项公式，将数列的通项公式代入，计算即可得结论； （2）利用数列的通项公式即可得数列的通项公式； （3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，， 所以， 整理得，① 所以，② 由①-②得，所以数列为等差数列， 因为，所以数列的公差为， 所以. 设， 则， 因为（常数）， 所以数列是等差数列； （2）设数列的公比为， 结合（1）及已知得， 解得，所以； （3）由（1）（2）得，， 所以，① 又② ①-②，得， 所以， 由，解得. 设，则， 故， 因为， 故恒成立，知单调递减， 故的最大值为，则，即的取值范围为. 4．(1) (2) 【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得； （2）由错位相减法求和即可得. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以，即； （2）由（1）知． 设前项和为， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助等差数列的性质与与的关系计算即可得； （2）借助累乘法可计算出数列，借助裂项相消法可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立， 所以，所以数列是等差数列； （2）由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ． 6．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解. （2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式，（i）由等比数列定义证明即可；（ii）当时，结合单调性分奇偶讨论即可证明. 【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得 ； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以为首项，为公比的等比数列； （ii）由（i）可得， 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，. 规律方法： (1)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. (2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列． (3)证明{an}不是等比数列可用特值法． 专题精练 一、单选题 1．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 4．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·江苏南通·二模）若，，成等比数列，则（　　） A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 8．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（    ） A． B．当时，的最大值为 C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D．数列前项和为，最大 11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 三、填空题 12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 四、解答题 15．（2023·四川南充·一模）已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和． 16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列对任意正整数满足：． (1)若为等差数列，求； (2)若，求的前项和． 18．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19．（2023·湖南常德·一模）已知数列满足（）. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B B C D A ACD AD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 2．D 【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且， 化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得， 又由且， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．D 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 5．B 【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得. 【详解】由，，成等比数列，得， 即， ，所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 6．C 【分析】根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 7．D 【分析】由已知可得，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可. 【详解】易知， 为等比数列， ， 代入数据可得， 解得或（舍） 所以. 故选：D. 8．A 【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得. 【详解】由可得, 即数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，即； 所以， 因此 ，且当x趋近于+∞时，趋近于， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 9．ACD 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10．AD 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项；令，分析可知，，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则为递增数列，所以，，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则，由可得，合乎题意，A对； 对于B选项，由A选项可知，，，， ， 所以，当时，的最大值为，B错； 对于C选项，，则， 所以，， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，C错； 对于D选项，由得，由得， 由得，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 所以，数列前项和为，最大，D对. 故选：AD. 11．AD 【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得， ， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. 12．121 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 13．/ 【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可. 【详解】设的公差为，则， 而， 当且仅当时取得等号. 故答案为： 14． 【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解. 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得. 故答案为：. 15．(1)见详解 (2) 【分析】(1)设数列的公比为,根据题意得求得公比,即可得通项公式. (2)根据题意得代入并化简,再用裂项相消法求前2023项和即可. 【详解】（1）设数列的公比为,则 是和的等差中项,即解得或或（舍去） 当时, 当时, （2）,由(1)知 故的前2023项和为 16．(1)， (2) 【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式； （2）利用分组求和法求数列的前10项和. 【详解】（1）当时，，，， 等比数列的公比为，则有， 由，可得． 当时，． 经检验，当时，满足上式， 所以． （2）， 设的前10项和为， ． 17．(1) (2) 【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解. （2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意， 当时，， 两式相减得， 因为为等差数列，在式子：中令， 得，所以， 所以或， 若，则，但这与矛盾，舍去， 所以. （2）因为，所以， 而当时，，所以此时， 所以此时， 而也满足上式， 综上所述，的前项和. 18．(1) (2) 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 19．(1)， (2) 【分析】（1）先令，求得，再根据所给的式子当时，令和原式作差得到，即可求解； （2）由（1）得到，利用裂项相消求和即可求解. 【详解】（1）由题可知（）， 当时，； 当时，， ， 两式相减得：， 即， 经检验，当时，也符合上式； 故数列的通项公式为：，. （2）由（1）得：， ， 故的前n项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$