专题6.2 一次函数与几何压轴（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题6.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【变式1-1】如图，已知过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【变式1-2】如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【变式1-3】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)设直线与直线相交于点，求的面积； (3)若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【变式2-2】如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，． (1)求直线的函数表达式； (2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标； (3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 【变式2-3】在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴正半轴交于点． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)若是等腰三角形，且，求直线的函数表达式． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．   (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上．   (1)求直线表达式； (2)过点作轴平行线，交轴于点，求； (3)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段上有一点，点关于直线的对称点在轴上．   (1)求的面积； (2)求直线的解析式； (3)点是直线上一点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为． (1)求正比例函数与一次函数的关系式． (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，与x轴交于点，点P是直线上一点，点Q是直线上一点． (1)求一次函数的表达式； (2)当点P在第二象限，轴且时，求点P的坐标； (3)当以点O，P，Q为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【变式4-3】如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B． (1)求的面积； (2)如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点，，．  (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．   (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-2】在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于A，B两点，直线：与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为4．已知，点P是直线上的动点．   (1)求点E的坐标及直线的函数表达式； (2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】已知直线与轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段为腰在第一象限内作等腰．   (1)求点C的坐标 (2)P为直线上的动点，若的面积与的面积相等，则点P的坐标为多少 (3)点M为直线上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．   (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】已知，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），点C为AB中点． （1）求点B的坐标； （2）点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q，设点M的横坐标为m，线段MQ的长度为d，求d与m的函数关系式（请直接写出自变量m的取值范围） （3）当点M在线段AB（点M不与A、B重合）上运动时，在坐标系第一象限内是否存在一点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D． (1)求点C的坐标； (2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积； (3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．    （1）求点B的坐标； （2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，是绕点O顺时针旋转90°得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F． (1)求直线BD的解析式 (2)求的面积 (3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点. （1）求线段的长. （2）求直线所对应的函数关系式. （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7-4】已知如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=3x交于点C，且|OA-6|+=0，将直线y=kx+b沿直线y=3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求直线y=kx+b的解析式及点C的坐标； （2）求△BCE的面积； （3）若点P是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 39．【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 【变式1-1】如图，已知过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积． （1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得点，点，由可求得四边形的面积． 【详解】（1）∵点P是两直线的交点， 将点代入 得，即 则的坐标为， 设直线的解析式为： ， 那么， 解得： ． 的解析式为：； （2）∵直线与y轴相交于点C，由得直线解析式∶． 当时，， ∴点C的坐标为． 又∵直线与x轴相交于点A，当时，， ∴点A的坐标为，则． ∵， ． 【变式1-2】如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出的值即可； （2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 【变式1-3】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)2.5 (3)； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先把A点和B点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定D点坐标，然后根据进行计算． （3）先求出点的坐标，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得： ， ； （2）当 时，， ， ， ， ∴ ； （3）令，则，解得， ∴点的坐标为 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)10 (3)或或或 【分析】此题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理，解题关键在于作辅助线． （1）根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析式． （2）如图1中，过A作轴于D，求出即可解决问题． （3）分、、三种情形，根据等腰三角形的定义讨论即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数解析式为； 如图1中，过作轴于， 在中，， ∴， ∴， ∴， 将A、B坐标代入中，得，解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：如图1中，过作轴于， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图2中，当时，，；    当时，； 当时，如图2，过A作轴于C， 则，，则 由勾股定理得， 解得， ∴， 综上，满足条件的点P的坐标或或或． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)设直线与直线相交于点，求的面积； (3)若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用待定系数法求出直线所对应的函数表达式． （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线所对应的函数表达式； （2）联立直线及直线所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点的坐标，再利用三角形的面积公式结合点的坐标即可求出的面积； （3）分三种情况考虑：①当时，由等腰三角形的性质可得出，结合点的坐标可得出的坐标；②当时，设，则，在中利用勾股定理可求出的值，进而可得出点的坐标；③当时，利用勾股定理可求出的值，结合点的坐标可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线所对应的函数表达式． （2）解：联立直线及直线所对应的函数表达式为方程组，得：， 解得：， 点坐标， ． （3）解：分三种情况考虑， ①当时，， 点的坐标为， 点的坐标为； ②当时，设，则， 在中，，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时， ，点的坐标为， 点的坐标为或（舍去）． 综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 【变式2-2】如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，． (1)求直线的函数表达式； (2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标； (3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由经过点，，再利用待定系数法求解即可； （2）由点在点的右侧时，结合 ，再解方程可得答案； （3）如图，点在轴正半轴上，由为等腰三角形，分当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： 经过点，， ，解得， 所以，直线的表达式为； （2）解：如图， ，， ， ， 点在点的右侧时， ， 解得，此时， ∴点的坐标为． （3）解：如图，点在轴正半轴上， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，勾股定理的应用，坐标与图形面积，等腰三角形的定义，理解题意是解本题的关键． 【变式2-3】在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴正半轴交于点． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)若是等腰三角形，且，求直线的函数表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． （1）根据的面积为可求得的长，可得出结论； （2）过点作轴于点，则，得，设直线的解析式为：，将，代入即可． 【详解】（1）解：∵若的面积为，点 ∴， ∴， ∵， ∴, ∵点在轴正半轴， ∴； （2）解：当时，过点作轴于点， ∵,, ∴， ∵，轴 ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为： ． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上．    (1)求直线表达式； (2)过点作轴平行线，交轴于点，求； (3)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)当的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理等知识． （1）根据非负数的性质求出a，b，然后根据待定系数法求直线表达式即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，，    设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线解析式； （2）解：依题意知， ∴； （3）解：设，当时，轴， ∴的坐标为； 当时，    ∵点在直线上， ∴， ∴， 则，即， 解得， ∴的坐标为， 综上，当的坐标为或时，是直角三角形． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段上有一点，点关于直线的对称点在轴上．    (1)求的面积； (2)求直线的解析式； (3)点是直线上一点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)6； (2)； (3)或 【分析】（1）求出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）连接交于，求出，根据对称的性质得，根据中点坐标公式得，，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）设，表示出，再利用勾股定理求出，然后分三种情况∶①当为直角顶点时，②当为直角顶点时，③当为直角顶点时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，令，则，解得， 令，则， ∴点，点， ∴，， ； （2）解：连接交于，     ∵点，点， ∴， ∵点、点关于直线对称， ∴， ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点是直线上一点，直线的解析式为． 设， ∵点，点， ∴， ， ． ①当为直角顶点时，， ∴， 解得或（舍去， ∴点的坐标为； ②当为直角顶点时， ， ∴， 解得（舍去， ∴此种情况不存在； ③当为直角顶点时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合与分类思想的运用． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，本题的关键是理解题意利用分类讨论思想解题． （1）求出点A的坐标，得到的长度，根据对称的性质结合勾股定理列方程求出点B的坐标，代入一次函数中即可就出k的值； （2）分①若，，②若，③若，，根据全等三角形的性质，求出线段长度从而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O关于直线的对称点C在直线上， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； ②若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ③若， 过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作，垂足为M， 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为． (1)求正比例函数与一次函数的关系式． (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)或 【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）分两种情况：①点在第二象限，，；②点在第二象限，，，利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：，代入得： ，解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）解：对于一次函数， 当时，，即，， ， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ，， ， ； ②如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 综上，点的坐标为或． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，与x轴交于点，点P是直线上一点，点Q是直线上一点． (1)求一次函数的表达式； (2)当点P在第二象限，轴且时，求点P的坐标； (3)当以点O，P，Q为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）设，则则，将点代入，解方程，即可求解； （3）当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，则，，设，则，将点代入，解方程，即可求解，当点在第四象限时，同理可得的值． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，，则， 一次函数的图象经过点，与轴交于点， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵点是直线上一点，点是直线上一点，． 又点在第二象限，设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当点在第一象限时，如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，     ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设 ，则， ∵点在直线上， ∴或， 解得： ∴． 当点在第四象限时， 如图所示，    同理可得， ∴ 解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-3】如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B． (1)求的面积； (2)如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)或或或 【分析】（1）由于交x轴于点，求出m的值，可得出，，，根据可得，，则可得出答案； （2）设点，求出直线解析式为，由于P在直线上，可得； （3）根据是等腰直角三角形，设，结合（2）列出方程即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ， 在中，， ， ， ， 的面积； （2）解：①设， 为射线上一点， ， 设直线的解析式为， 代入，得， ， ， 又轴，则， ， ； （3）解：设，过点N作于点M， 是等腰直角三角形，轴，点N在y轴上， 当N为直角顶点时，，， ， ， ， ， ， 或， 或， 或， 当P为直角顶点时，， ，，解得， ， 当Q为直角顶点时，， ，，解得， ， ， 综上所述：或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握坐标与图形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点，，．    (1)求的长； (2)求点的坐标； (3)平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】此题考查了，勾股定理，一次函数的综合应用；解题的关键是一次函数性质的应用， （1）根据直角三角形的性质即可解答； （2）运用垂直平分线的性质，证明是等边三角形，进而根据勾股定理，求出的长度，即求出点坐标， （3）对不同情况分别进行求解，不要漏掉即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ： （2）是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形， ． 在中，， ， ． 点的坐标为 （3）分情况讨论：    ①当是平行四边形的边时，，且， 此时点的坐标为或， ②当是平行四边形的对角线时，，且． 此时点的坐标为． 总上所述，存在满足条件的点的坐标为或或． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积分割，，从而转化为方程，然后解方程即可求解； （3）利用平行四边形的性质①当为对角线时，，②当为对角线时， ，③当为对角线时，即可求解． 【详解】（1）∵直线交轴于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵直线交轴于点， ∴当时，，即点， ∴， ∴， 设， ∵，点到直线的距离为， 即：， 解得：，， ∴点， （3）由(1)(2)可知：，，， 如图，设， ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点，    ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， ②当为对角线时， ，， 解得：，， ∴点， ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， 综上可知： 【点睛】此题考查了一次函数的应用和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和平行四边形性质的应用． 【变式5-2】在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于A，B两点，直线：与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为4．已知，点P是直线上的动点．    (1)求点E的坐标及直线的函数表达式； (2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)或或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，，分情当点在点的左侧和右侧两种情况，分别列方程求解即可； （3）设点，，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点的横坐标4代入直线，得， 点， ， ， 将点和点坐标代入直线， 得，解得， 直线． （2）解：设点的坐标为，则点，， 当点在点的左侧时，如图所示：    则，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得， ∴； 当时，，解得（舍； 当点在点右侧时，如图所示：    ，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得（舍）； 当时，，解得； ． 综上，点的坐标为或． （3）解：存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点，， ，， ①以，为对角线时， 得，解得， 点； ②以，为对角线时， 得，解得， ； ③以，为对角线时， 得，解得， ． 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、待定系数法求解析式、线段的三等分点、平行四边形的判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【变式5-3】已知直线与轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段为腰在第一象限内作等腰．    (1)求点C的坐标 (2)P为直线上的动点，若的面积与的面积相等，则点P的坐标为多少 (3)点M为直线上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）过点C作轴于点D，求出点B的坐标为，点A的坐标为，得出，，证明，得出，，求出，即可得出答案； （2）求出，求出直线与直线的交点坐标为，设点P的坐标为，根据三角形面积公式得出，求出或，即可得出答案； （3）分情况进行讨论：当为边时，点B平移得到点N，点C平移得到点M，当为边时，点B平移得到点M，点C平移得到点N，当为对角线时，分别画出图形，根据中点坐标公式和点的平移特点求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，如图所示：      把代入得：， ∴点B的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：， ∵，， ∴， 把代入得：， ∴直线与直线的交点坐标为， 设点P的坐标为， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点M的坐标为， 当为边时，点B平移得到点N，点C平移得到点M，如图所示：    ∴此时， 解得：， ∴点M的坐标为； 当为边时，点B平移得到点M，点C平移得到点N，如图所示：    ∴此时， 解得：， ∴点M的坐标为； 当为对角线时，如图所示：    ， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上分析可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以 ，解得． ∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得， ∴, 由,得， ∴， ； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或， ∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）对于直线的解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，再联立两直线解析式即可求出A的坐标； （2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）若以为边，设点，分情况利用菱形的性质和两点间距离公式列式求出a的值，然后可得点P坐标，进而可得点Q的坐标；若为对角线，由菱形的性质可得与互相垂直平分，求出点P坐标，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：分别与轴、轴交于点、， 当时，； 当时，； 点坐标为，点坐标为， 直线：与直线：交于点， ， 解得：， 当时，， 点A坐标为， （2）解：设点坐标为， 的面积为，， ， ， 点， 设直线解析式为：， 代入得：， ， 直线的解析式为：； （3）解：存在； 若以为边，设点，如图，    当四边形是菱形时， ，， ， ，舍去， 点， ∵， 点； 当四边形是菱形时， ∵，， ， （舍去），， 点， 点； 若为对角线， 以、、、为顶点的四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点的纵坐标为， 当时， 解得：， 点， 点坐标为； 综上所述：存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数图象的交点坐标，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点间距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式6-2】已知，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），点C为AB中点． （1）求点B的坐标； （2）点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q，设点M的横坐标为m，线段MQ的长度为d，求d与m的函数关系式（请直接写出自变量m的取值范围） （3）当点M在线段AB（点M不与A、B重合）上运动时，在坐标系第一象限内是否存在一点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为（0，6）；（2）d＝；（3）存在，N点坐标为（，）． 【分析】（1）用待定系数法求得直线y＝﹣x+b的解析式，再求点B的坐标即可； （2）根据题意求得点C的坐标为（4，3），再分点M在点C的左侧和右侧两种情况求d与m的函数关系式即可； （3）分BM是菱形的对角线和OM为菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）∵直线y＝﹣x+b过点A（8，0）， ∴0＝﹣6+b，解得：b＝6， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6． 令y＝﹣x+6中x＝0，则y＝6， ∴点B的坐标为（0，6）． （2）依照题意画出图形，如图1所示． ∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点， ∴C（4，3）． 设直线OC的解析式为y＝kx（k≠0）， 则有3＝4k，解得：k＝， ∴直线OC的解析式为y＝x． ∵点M在直线AB上，点Q在直线OC上，点M的横坐标为m，MQ⊥x轴， ∴M（m，﹣m+6），Q（m，m）． 当m＜4时，d＝﹣m+6﹣m＝﹣m+6； 当m＞4时，d＝m﹣（﹣m+6）＝m﹣6． 故d＝； （3）假设存在，设点M的坐标为（n，﹣n+6）（0＜n＜8）． ∵点M在第一象限， ∴以O，B，M，N为顶点的四边形为菱形有两种情况： ①以BM为对角线时，如图2所示． ∵四边形OMNB为菱形，B（0，6）， ∴OM＝OB＝6＝ ， 解得：n＝或n＝0（舍去）， ∴点M（，）， 则点N（，）； ②以OM为对角线时，如图3所示． 此时点M在第一象限，但点N在第四象限，故此种情况不合题意． 故N点坐标为（，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，第（3）小问是该题的难点，在考虑菱形时需要分类讨论，哪怕那种情况不存在也需要说明理由． 【变式6-3】如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D． (1)求点C的坐标； (2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积； (3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)存在，点Q的坐标为：，，， 【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标； （2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可； （3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得： ，解得， 直线的解析式为， 又直线与直线交于点C， ，解得， 当时，则， 点C的坐标为； （2）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小， 直线与x轴的交点为， 又点D和点关于y轴对称， 点， ， 设直线的解析式为，可得，解得， 直线的解析式为， 令，则，得点， ， 又 ，， ， ， ； （3）解：由题意可得直线的解析式为， 联立线与直线，即，解得，， 设， ①当ED为菱形对角线时，， 即， 解得， ； ②当EQ为菱形对角线时，， ， ， 解得或， ，； ③当EF为菱形对角线时，， 即， 解得， ， 综上：存在，点Q的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 【变式7-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．    （1）求点B的坐标； （2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣，）． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）S＝PQ•|xP|，即可求解； （3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣x+n 得0＝﹣×4+n 解得：n＝3， 故直线的表达式为：y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）； （2）点C为线段AB的中点， 则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x， 设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m）， 当点P在y轴右侧时， S＝PQ•|xP|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m； 当点P在y轴左侧时， 同理可得：S＝m2﹣m； 故S＝m2﹣m； （3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）； ①当OB是矩形的边时， 则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）； ②当OB是矩形的对角线时， 由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①， 由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②， 联立①②并解得：，故点N（﹣，）； 综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式7-2】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，是绕点O顺时针旋转90°得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F． (1)求直线BD的解析式 (2)求的面积 (3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质得出D点的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式即可； （2）根据直线BD的解析式求出F点的坐标，根据B点和C点的坐标得出BC和CF的长度，即可计算面积； （3）分∠MFD=90°，∠MDF=90°，∠FMD=90°三种情况分别讨论求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，， ∴OD=OC=2，DE=BC=1， ∴D（2，0）， 设直线BD的解析式为y=kx+b， 把B点和D点的坐标代入可得 ， 解得 ∴直线BD的解析式为； （2）由（1）知，直线BD的解析式为， ∴， ∵B（-1，2），， ∴， ∴S△BCF=BC•CF=×1×=； （3）存在， ∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM是直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如下图， 设 而 则 ∴ 解得： 即 由平移的性质可得： 即 ②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如下图， 设 同理可得： ∴ 解得： 即 由平移可得： 即 ③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如下图， ∵四边形MFND为矩形， ∴NF=OD=2，ND=OF=， ∴此时； 综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为或或． 【点睛】本题为一次函数的综合题型，主要考查待定系数法，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用等，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点. （1）求线段的长. （2）求直线所对应的函数关系式. （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）10；（2）；（3）P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）． 【分析】（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长； （2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式； （3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据中点坐标公式求出P点的坐标． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在直角中，； （2）在和中，平分，于点，于点，∴， 设，则，. 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：. 即，， 则的坐标是. 设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得 解得： 则直线AB的解析式是 设所对应的解析式是，则4+m=0，则m=-4． 则直线所对应的解析式是. （3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B， 易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（-8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6-6）2=5m2， AB=10， 根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=-5， ∴M1（-5，-4），BM1中点坐标为, BM1中点同时也是AP1中点，则有， 解得P1（3，2） ②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=-4或m=0（舍去）， ∴M2（-4，-2），AB中点坐标为（-4，3）， AB中点同时也是P2M2中点，则有， 解得P2（-4，8） 综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及中点坐标公式的应用． 【变式7-4】已知如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=3x交于点C，且|OA-6|+=0，将直线y=kx+b沿直线y=3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求直线y=kx+b的解析式及点C的坐标； （2）求△BCE的面积； （3）若点P是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（2，6）；（2）；（3）P（-，-），Q（，）或P（-，-），Q（-，）． 【分析】（1）利用非负性求出OA，OB，进而得出点A，B坐标，用待定系数法求出直线AB解析式，再联立直线OC的解析式即可求出点C的坐标； （2）联立直线MN和直线AB的解析式求出点M的坐标，利用对称求出点N的坐标，进而求出直线CE的解析式即可； （3）分AC为矩形的边和对角线，利用矩形的对角线互相平分且相等，借助中点坐标公式即可解决． 【详解】解：（1）∵|OA-6|+=0， ∴OA=6，OB=， ∴A（-6，0），B（0，）， ∴ ∴， ∴直线AB的解析式为y=x+①， ∵点C是直线AB与OC：y=3x②的交点， 联立①②解得， ， ∴C（2，6）； （2）如图1， 过点O作直线MN⊥OC交直线AB于M，直线CE于N， ∵直线OC的解析式为y=3x， ∴直线MN的解析式为y=-x①， ∵直线AB的解析式为y=x+②， 联立①②解得，x=-，y=， ∴M（-，）， 由折叠知，M，N关于原点对称， ∴N（，-）， ∵C（2，6）， ∴直线CE的解析式为y=-x+， ∴E（0，）， ∴BE=-=， ∴S△BCE=BE×|xC|=××2=； （3）如图2， 当AC为矩形的边时，AP⊥AC， ∵直线AC的解析式为y=x+， ∴直线AP的解析式为y=-x-8① ∵点P在直线y=3x②上， 联立①②解得，P（-，-）， ∵C（2，6） ∴PC的中点M（，）， ∵四边形APQC是矩形， ∴M是AQ的中点， ∴Q（，）； 当AC为矩形的对角线时，AP'⊥OC， ∵直线OC的解析式为y=3x， ∴直线AP'的解析式为y=-x-2③， ∵点P'在直线OC上， ∴点P'的坐标满足y=3x④，联立③④解得，P'（-，-）， ∵A（-6，0），C（2，6）， ∴AC的中点坐标M'（-2，3）， ∵四边形AP'CQ'是矩形， ∴M'是P'Q'的中点， ∴Q'（-，）， 即：满足条件的点P（-，-），Q（，）或P（-，-），Q（-，）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，待定系数法，三角形的面积公式，矩形的性质，折叠的性质，解本题的关键是利用待定系数法求直线解析式，解（3）的关键是分类讨论的思想思考问题． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）结合正方形的性质与边长确定C、D的坐标，再利用待定系数法求解； （2）结合已知证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； （3）连接交直线于点P，由轴对称的性质不难得到的最小值为的长，从而解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， 为的中点， ， ， 设直线解析式为， 所以， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）证明：是的中点， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接交直线于点P， 由（2）可知点D与点F关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求一次函数解析式和求坐标点的坐标是解题关键． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【答案】(1)2； (2)，，证明过程见解析； (3)． 【分析】 （1）利用非负数的性质可求得：、，再运用三角形面积公式即可求得答案； （2）如图2，连接，运用等腰直角三角形性质和题意可证得，运用全等三角形性质即可得出答案； （3）如图3，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，设，，则，利用，即可得出；如图4，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，得出，设，，则，由，即可得出． 【详解】（1） ， ，， 解得：，， 、， ， ， ； （2） 如图2，连接，    ，，为的中点， ，，， 点从顶点出发向运动，点从顶点向点运动，且他们的速度都是1个单位长度秒， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 综上所述，，； （3） 如图3，过点作交的延长线于点，    则， 于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 设，，则， ， ， ， 如图4，过点作交的延长线于点，    则， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 综上所述，与的数量关系式为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，非负数的性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【答案】(1) ，证明见解析； (2)证明见解析； (3)10． 【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明 ； （2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解： ， 证明：∵，C、D两点的纵坐标相同， ∴CD平行x轴，即 ； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°， ∴； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b， 代入点C（0，5），E（2，1）， 得：， 解得：， ∴CE的函数关系式为， 当y=0时，x=， 即点B（，0），AB=， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先求得A、B两点的坐标，设OC＝x，则AC＝BC＝x+1，在Rt△AOC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．由平行线分线段成比例定理可得到FG＝DF，接下来，再证明△BGF≌△HDF，从而可得到HD＝BG，然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题的答案； （3）连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD∽△CAB，则△GAD为直角三角形，然后可求得OG的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标，从而可求得DG的解析式，然后可求得ON的长，最后，再依据MN＝ON﹣OM求解即可． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）． 令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）． 设OC＝x，则AC＝BC＝x+1． 在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2， 即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4， ∴C（4，0）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝，b＝3， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3． （2）如图所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF． ∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点， ∴F为DG的中点． ∴FG＝DF． ∵在△BGF和△HDF中，∠HDF＝∠BGF，DF＝FG，∠HFD＝∠GFB， ∴△BGF≌△HDF（ASA）． ∴HD＝BG． ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC． ∵HD∥CG， ∴∠AHD＝∠ABC， ∴∠HAD＝∠AHD． ∴AD＝DH， ∴AD＝BG． （3）如下图所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H． 在Rt△AOB中，依据勾股定理可知AB＝． ∵CB＝CA，CH⊥AB， ∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝ ∴tan∠BAO＝tan∠ACH＝． ∴∠BAO＝∠ACH ∴∠BCA＝2∠BAO 又∵∠AFD＝2∠BAO ∴∠AFD＝∠BCA 又∵∠FAD＝∠BAC ∴△FAD∽△CAB ∴AF＝DF 又∵GF＝FD ∴△GAD为直角三角形 ∴OG•OC＝OA2 ∴OG＝ ∴G(，0) ∴AD＝BG＝ ∴D点的横坐标＝AD＝1，D点的纵坐标＝3﹣AD＝ ∴D（1，） 设直线DG的解析式为y＝kx+b， 则 解得k＝，b＝ ∴直线DG的解析式为 ∴ON＝ 又∵OM＝|Dy|＝ ∴MN＝ON﹣OM＝． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式和全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线作法是解题的关键． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用函数解析式和坐标轴上点的坐标特征即可求出答案； （2）①如图②，过点C作轴，垂足是E．证明，得出，，则可求得点C的坐标； ②如图②，作轴于D．求出点D坐标即可判断； （3）分两种情况：①作，使得，作轴于H，则是等腰直角三角形，．利用全等三角形的性质求出点N坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；②过B点作，交的延长线于N则．作轴于G点，先证明，则可得．再证明，则可得，，由此可求出的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）如图①，令，则，得． ， 令，则， ∴． 故答案为：；； （2）①：如图②， 过点C 作轴，垂足是D， ∵， ， ，， ； ②：如图②，由①可知， ∵E在线段上，轴， ∴m的取值范围是：． 故答案为：； （3）如图③， 作，且使，作轴于H，则是等腰直角三角形，． ， ，， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 过B点作，交的延长线于N， 则， 作轴于G点， ，，， ， ． 又，， ， ，． ， ， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴满足条件的直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是用待定系数法求一次函数的解析式，在（3）中，根据直线的斜率判定点K的存在是关键，并注意数形结合思想的应用． （1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点C，得到，，进而得到点，过点M作轴于点E，证明，所以，，所以点M的坐标为，设直线的解析式为，把点M的坐标为，点代入得，即可解答； （2）根据点N在直线直线上，设点N的坐标为，根据，求出点N的坐标为，设直线的解析式为，把点N的坐标为，代入得：，所以直线的解析式为，当时，，所以点P的坐标为． （3）①将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K，此时满足条件．②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C， 令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点， 如图①，过点M作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点点M的坐标为，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）解：∵点N在直线直线上， ∴设点N的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∵点N在的延长线上， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 把点N的坐标为，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）解：将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K， ∵ ∴是等腰直角三角形， 此时满足条件． 过点作轴于点，过点作于点， ∴， 又 ∴, 又， ∴ ∵M点坐标为 ∴                 ∴ ∴， ∴设直线 的解析式为 把代入得， 解得， ∴直线 的解析式为， 由，解得， ∴K点的坐标为． ②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件 同法可得直线的解析式为， 由， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点K的坐标为或． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【答案】(1)①；；；②点坐标为或． (2)或 【分析】（1）①根据题意点、分别为直线和轴和轴的交点，分别将和代入解析式即可得到、的坐标，从而由得到点坐标，将、坐标代入解析式即可求得答案；②根据题意可知有两个点满足题意，根据可证明，得到点坐标，求出直线的解析式，最后根据是直线和直线的交点，求出的坐标即可，同理可得到的坐标； （2）过点作交于点，在取，设与轴交点为，不妨设点坐标为，点坐标为，通过计算出的长度，利用两点距离公式，计算出点坐标，再次利用两点距离公式，计算出点坐标，最后利用待定系数法求得直线的表达式． 【详解】（1）①直线：与x轴交于点，点在轴上 当时，，解得，当，， ， ，且直线：（）与轴正半轴点， 将、代入（），得 解得：， 故答案为：；； ②为直线上一点，且 符合题意的点有两个，如图、，连接、分别交轴于、 在和中 设直线的解析式为：，将，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 同理可得， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 综上所述，点坐标为或． （2）过点作交于点，在取，连接，设与轴交点为，如图所示： ， 不妨设点坐标为，点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 ， 解得 那么 点坐标为 解得， 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 综上所述，故直线的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，两点距离公式，等腰直角形的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 39．【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 【答案】（1）；（2）①②或 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，该模型以等腰直角三角形为几何背景，通过作垂线构造全等三角形，熟记模型的相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）①由直线求出点，的坐标，设点，根据求出点的坐标即可求解；②分类讨论当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，根据模型结论即可求解． 【详解】解：（1）作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为 故答案为：； （2）①∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴令，则； 令，则； 即： 设点 ∴，， ∵， ∴ 即：， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ②当点在左侧时： 作轴，如图所示：    则：为等腰直角三角形， 由模型可得：， ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 当点在右侧时： 作轴，如图所示：    同理 ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 综上所述：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$