高二上学期期中模拟测试卷（二）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二上册期学期模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 5．若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 10．线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的倾斜角的范围是 B．若，则 C．若，则 D．当时，到的距离为 11．双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线在第二、第三象限分别相切于点，则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．的周长为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么 13．已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是 ． 14．已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 16．（15分）已知双曲线. (1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 18．（17分）若圆的方程为，中，已知, ,点为圆上的动点． （1）求中点的轨迹方程； （2）求面积的最小值． 19．（17分）如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点． (1)求E的方程． (2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期中模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果. 【详解】圆的方程可化为：，圆心坐标为，半径. 故选：C. 2．顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，可得出抛物线的标准方程. 【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的标准方程为． 故选：D． 3．双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可. 【详解】由题意，，即，解得. 故选：B 4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得． 【详解】因为，点N为BC中点， 所以，， 故 ． 故选：B． 5．若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解. 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，， 可得，，， 设异面直线与所成的角为，则， 又因为，所以， 即直线与的夹角为. 故选：B. 6．已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先由直线平行求得的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，且，解得， 则，即，， 所以与的距离为. 故选：C. 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解. 【详解】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标. 【详解】由的顶点坐标，可知其重心为. 注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形， 则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：. 因其与垂直，则. 则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为. 故选：B 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 10．线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的倾斜角的范围是 B．若，则 C．若，则 D．当时，到的距离为 【答案】BCD 【分析】求出直线的斜率范围判断A；由两直线平行求出判断B；由两直线垂直求出判断C；由平行线间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率，当时，的倾斜角， 当时，的倾斜角，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，当时，，直线，到的距离为，D正确. 故选：BCD 11．双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线在第二、第三象限分别相切于点，则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．的周长为 【答案】ABD 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，借助圆的切线求出，再逐项计算判断即得结果. 【详解】圆的圆心，半径，双曲线的渐近线方程为， 依题意，，解得，因此双曲线的渐近线方程为，A正确； 双曲线的实半轴长为1，则半焦距，其离心率为，B正确； 双曲线的右焦点，点到渐近线的距离为，C错误； 由，解得，即，， ，所以的周长为，D正确. 故选：ABD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么 【答案】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 13．已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是 ． 【答案】 【分析】 先将圆的方程化为标准方程，得到圆心，由于圆的弦被点平分，故，得到，由点斜式求解即可. 【详解】因为圆：， 所以化为标准方程为：，所以圆心. 又圆的弦被点平分，故， 而直线斜率不存在，所以， 由于过点，故直线的方程为：. 故答案为：. 14．已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】化简直线为，得到恒过定点，根据题意，得到点落在以为直径的圆上，其中半径为，结合，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 由方程组，解得，可得直线恒过定点， 则， 因为在动直线上的投影为点，即， 所以点落在以为直径的圆上，其中圆的半径为， 设的中点为，可得， 又因为，可得，所以的最大值为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）求出两条直线的交点得，再利用直线垂直设的方程为，把代入方程即得. （2）由直线平行设直线的方程为，把代入方程即得，再求出平行线间距离. 【详解】（1）由，解得，即直线和的交点为， 由直线与直线垂直，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为. （2）由直线平行于直线，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为，直线与直线的距离. 16．（15分）已知双曲线. (1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，；顶点坐标为，；渐近线方程为 (2) 【分析】（1）代入，求出的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，得出，根据的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，双曲线的方程为， 所以，双曲线的焦点在轴上，且，，， 所以，，，， 所以，双曲线的焦点坐标为，； 顶点坐标为，； 渐近线方程为 （2）由已知可得，，，， 所以，，，， ， 因为， 所以有，即， 整理可得，， 解得. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后求出，利用直线与所成角的大小为求出的长即可； （2）先求出平面的法向量，再根据点到面的距离公式求出距离即可. 【详解】（1）因为平面，且， 所以建立如图分别以为轴的空间直角坐标系， 则，令，则， 所以， 所以， 因为直线与所成角的大小为，所以， 即，解得（舍）或者， 所以的长为2； （2）由（1）知， 令平面的法向量为，因为， 所以，令，则，所以， 又，所以， 所以点到平面的距离为. 18．（17分）若圆的方程为，中，已知, ,点为圆上的动点． （1）求中点的轨迹方程； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】（1）设，根据中点坐标公式得出，由相关点法即可求出点的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设有， 由得， 即点的轨迹方程为. （2）计算得, 直线为, 点到直线的距离, 点到直线的最小距离为 . 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题. 19．（17分）如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点． (1)求E的方程． (2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点以及点在双曲线上，列方程即可求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解，，，，即可得三角形相似，进而可求证. 【详解】（1）由题可知，解得，， 则E的方程为． （2）证明：设，显然直线的斜率存在且不等于0， 设的方程为，则直线的方程， 设，，，． 联立方程组， 整理得． ， 则，． 同理可得，， ，，，， 则 ， 同理可得，则， 则，则，即． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$