1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动（9大题型）-2024-2025学年高二物理同步题型分类讲与练（人教版2019选择性必修第二册）

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、匀速直线运动 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。 2、匀速圆周运动 若带电粒子垂直射入匀强磁场，粒子所受洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，因此不改变速度的大小，但不停地改变速度的方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力。 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、观察带电粒子的运动径迹 （1）实验装置 下图是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。 （2）实验现象 ①不加磁场：电子束的径迹为直线。 ②在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、指向纸面的磁场：电子束的径迹为圆周。 ③保持出射电子的速度不，改变磁感应强度，发现磁感应强度越大，圆周运动的轨迹半径越小。 ④保持磁感应强度不变，改变出射电子的速度大小，发现电子的出射速度越大，圆周运动的轨迹半径越大。 （3）实验结论 当带电粒子以一定的速度垂直进入匀强磁场时做圆周运动，在强磁场中做匀速圆周运动，且磁感应强度越大，半径越小；运动速度越大，半径也越大。 2、公式推导 （1）轨道半径 由于洛伦兹力提供向心力，则有，可知带电粒子做圆周运动的轨道半径。 （2）周期 由轨道半径与周期之间的关系，得到带电粒子做圆周运动的周期。 带电粒子在匀强磁场中运动的分析 1、带电粒子在不同边界磁场中的运动 （1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示） （2）平行边界（存在临界条件，如图所示） （3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示） 2、圆心的确定 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 （1）圆心在速度的垂线上（两垂法） 如图a，已知粒子的入射方向和出射方向时。过射入和射出磁场时的两点，作垂直于入射方向和出射方向的的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹所对应的圆心。 （2）圆心在弦的中垂线上（中垂线法） 如图b，已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心。 （3）圆心在两速度夹角的角平分线上（角平分线法） 如图c，已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 3、半径的确定 半径的计算一般可利用几何知识，通过解三角形的办法求解。例如，或由勾股定理，求得。 4、圆心角与运动时间的确定 （1）速度的偏向角φ等于圆心角θ 等于AB弦与切线的夹角α的2倍。即。 （2）时间的计算方法： ①由圆心角求：。 ②由弧长求：。当v一定时，弧长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间越长。 题型1 半径和周期公式的应用 【例1】（2024·四川·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出（　　） A．该匀强磁场的磁感应强度 B．带电粒子在磁场中运动的速率 C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径 D．带电粒子在磁场中运动的时间 【变式1-1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·月考）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述错误的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N不做功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【变式1-2】（23-24高二下·湖北武汉·月考）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°，60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速度之比为1：2 C．周期之比为2：1 D．时间之比为2：3 【变式1-3】（23-24高二下·福建泉州·月考）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子带 （选填“正电荷”或“负电荷”）；粒子穿越金属板后，轨迹半径 。（选填“变大”、“变小”或“不变”） 【变式1-4】（23-24高二下·福建莆田·期末）2023年10月在沈阳举行第九届中国二次离子质谱会议。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，在下方存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一个带电粒子在O处以速度v垂直磁场边界入射，在磁场中偏转后落在Q处，P、O、Q、在同一直线上。已知O、Q两点间的距离为d，粒子重力不计。求 （1）带电粒子带何种电荷； （2）带电粒子在磁场中运动的时间t； （3）带电粒子的比荷。 【变式1-5】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）如图所示，在一矩形区域内有磁感应强度方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场宽度为d。不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t，粒子飞出磁场时偏离原方向60°角。利用以上数据能求出的物理量是 （1）带电粒子在磁场中运动的半径。 （2）带电粒子的比荷。 题型2 带电粒子在磁场中运动的轨迹问题 【例2】（23-24高二下·上海·月考）图为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹，a和b是轨迹上的两点。云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直，粒子（　　） A．由a点运动到b点，带负电 B．由a点运动到b点，带正电 C．由b点运动到a点，带负电 D．由b点运动到a点，带正电 【变式2-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示。在MNQP中有一垂直纸面向里匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场。图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点。不计粒子重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子b在磁场中运动的时间最短 B．射入磁场时粒子c的速率最小 C．粒子c带负电，粒子a、b带正电 D．若匀强磁场磁感应强度增大，其它条件不变，则a粒子运动时间不变 【变式2-2】（23-24高二下·甘肃天水·期中）如图所示，将含有大量正、负带电粒子的气体以相同的速度喷入云雾室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。已知云雾室中匀强磁场方向垂直纸面向外（图中未画出），不计重力和粒子间作用力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子①在磁场中做速度增大的曲线运动 B．粒子②在磁场中做速度减小的曲线运动 C．粒子①带正电 D．粒子②的速度保持不变 【变式2-3】（23-24高二下·山东枣庄·期末）1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录正电子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢正电子的速度。当正电子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。关于云室中磁场的方向及正电子的运动方向，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，磁场垂直纸面向外，粒子从N运动到M B．如图乙，磁场垂直纸面向外，粒子从M运动到N C．如图丙，磁场垂直纸面向里，粒子从N运动到M D．如图丁，磁场垂直纸面向里，粒子从M运动到N 【变式2-4】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 题型3 带电粒子在单边直线边界磁场中运动 【例3】（22-23高二上·江苏南京·月考）如图所示，带电粒子以与轴平行的初速度从点进入匀强磁场，运动过程中经过点，。若撤去磁场加一个与轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度从点进入电场，仍能通过点，则电场强度和磁感应强度的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，在水平线OP的正上方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从磁场边界上O点同时向纸面内不同方向发射速率均为v、质量均为m、电荷量均为的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且OP的长度为，不计粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（    ） A．两粒子在磁场中运动的加速度大小不同 B．两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60° C．两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为 D．两粒子在磁场中运动的时间相差 【变式3-2】（多选）（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两比荷之比为的带正电粒子、均由边上的点以与边成角斜向右上方射入磁场，经过一段时间两粒子分别从边上的、两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等，，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出 B．粒子、在磁场中运动的半径之比为 C．粒子、在磁场中运动的速度偏转角之比为 D．粒子、在磁场中运动的时间之比为 【变式3-3】（23-24高二下·全国·单元测试）如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界点垂直于磁场方向射入，沿曲线打到屏上的点。若该微粒经过点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终仍打到屏上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．带电微粒带负电 B．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动轨迹半径变大 C．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动周期变大 D．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒在磁场中受到的洛伦兹力变大 题型4 带电粒子在双边平行边界磁场中运动 【例4】（24-25高三上·西藏林芝·月考）Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，求P点至O点的距离？ 【变式4-1】（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）真空区域有宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界，质量为m，电荷量为的粒子沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场（不计粒子重力的影响），求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在磁场中运动的时间。 【变式4-2】（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域（边界平行x轴），方向垂直坐标平面向里。质量为m、电荷量为q的粒子，以大小为v的初速度从O点沿x轴正方向开始运动，粒子经过y轴上到O点距离为的P点，此时粒子速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。不计粒子所受的重力。求： （1）磁场的磁感应强度大小B； （2）粒子从O点运动到P点的时间t。 【变式4-3】（23-24高二下·广东东莞·月考）真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； （2）PQ边界有粒子射出的长度x。 题型5 带电粒子在三角形边界磁场中运动 【例5】（多选）（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，边长为的等边三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。底边中点处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为，电荷量均为，速度大小均为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．带电粒子可能垂直边出射 B．带电粒子不可能垂直边出射 C．从边出射的粒子占总粒子数的 D．从边出射的粒子占总粒子数的 【变式5-1】（多选）（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）根据地磁监测数据，从北京时间2024年3月24日23时开始，到3月25日23时为止，地球经历了一场持续3小时特大地磁暴，6小时中等地磁暴，地磁暴是太阳活动带来的一种自然灾害，它是由太阳带电粒子对地球磁场的干扰引起的。某同学针对此现象展开以下理论推导，假设在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD=30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD 边收集到的粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）如图所示，水平面的区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为，边界的夹角为30°，距顶点为的点有一粒子源，粒子在水平面内垂直边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子，粒子质量为、电荷量大小为，下列说法正确的是（　　） A．从边界射出的粒子速度方向都相同 B．粒子离开磁场时到点的最短距离为 C．垂直边界射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界射出的粒子在磁场中运动的时间为 【变式5-3】（多选）（24-25高三上·河北沧州·月考）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外（包含边界）存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．粒子从bQ之间（不包括b、Q点）第二次通过ab边 C．粒子从PQ之间（不包括P、Q点）第二次通过ab边 D．粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【变式5-4】（23-24高二上·福建龙岩·期末）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L，在O点发射某种带负电的粒子（不计重力作用），粒子的比荷为。发射方向与OC边的夹角为θ=60°，粒子从A点射出磁场。 （1）求粒子的发射速度大小v0； （2）求粒子在磁场中的运动时间； （3）若入射粒子为正电荷，粒子能从OC边射出，求入射速度的范围。 题型6 带电粒子在多边形边界磁场中运动 【例6】（22-23高三上·广西柳州·月考）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 C．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间不变 D．若仅减小磁感应强度，则粒子在磁场中运动时间一定变长 【变式6-1】（24-25高三上·广西·月考）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·湖北·月考）如图所示， 有一个边长为l， 磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域 abcd，e是ab的中点，f 是ac的中点， 如果在c点沿对角线方向以一定的速度v射入一比荷为k的带电粒子（不计重力），且该粒子恰好能从f点射出。则下列说法正确的是（    ） A．粒子射入磁场的速度大小 B．若粒子入射速度大小变为2v， 则粒子恰好从a点射出 C．若只减小粒子入射速度大小， 则粒子在磁场中的运动时间不变 D．若只改变粒子入射速度的大小，使粒子可以从e点射出，则粒子射出磁场时的速度方向与 ab边垂直 【变式6-3】（多选）（23-24高二下·陕西渭南·月考）如图所示的装置能分离各种比荷的带电粒子，三个初速度均为零的带电粒子1、2、3经电压为U的电场加速后，从顶点A沿方向进入一个边长为a的正六边形区域内，正六边形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知粒子1刚好从顶点F射出，粒子2刚好从顶点E射出，粒子3刚好从边的G点（未画出）垂直射出，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1、2、3的比荷之比为36:4:1 B．G点到E点的距离为 C．将磁感应强度减半，粒子1在磁场中的运动时间不变 D．将磁感应强度减半，粒子2会从G点射出 题型7 带电粒子在圆形边界磁场中运动 【例7】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 【变式7-1】（22-23高二下·广西柳州·月考）如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·四川凉山·期末）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的动量之比为（　　） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1 【变式7-3】（多选）（23-24高二下·四川达州·期末）空间有一半径为R磁感应强度为B的圆柱形磁场区域，其横截面如图所示，区域边界由绝缘刚性弹性材料制成，以保证粒子与边界材料碰撞后始终以等大反向的速度反弹。在边界的P点打一小孔，并从小孔处垂直磁场方向对准圆心入射一速度、电荷量q、质量为m的正电粒子，该粒子与磁场区域边界经过三次碰撞后恰好能从P点射出，现欲改变操作使该粒子从P点射入，最终仍然从P点射出，但粒子与边界材料碰撞次数减少一次，合理的操作是（　　） A．将粒子的速度变为原来的3倍 B．将粒子的速度变为原来的倍 C．将该区域的磁感应强度变为原来的倍 D．将该区域的磁感应强度变为原来的倍 【变式7-4】（多选）（24-25高三上·湖北武汉·月考）半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P是直径上一点，且。如图所示，质量为m、电荷量为的带电粒子从P点垂直射入磁场，已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为，从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为。则（　　） A． B． C． D． 题型8 带电物体（计重力）在磁场中的运动 【例8】（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三下·江西·月考）如图甲所示，光滑绝缘水平面上方足够大空间内存在磁感应强度大小B＝1T的水平匀强磁场，带正电的物块A静置于水平面上，电荷量q＝0.2C。t＝0时，水平力F作用在物块A上，物块A由静止开始运动，其对水平面的压力随时间的变化图像如图乙，重力加速度，则（　　） A．物块A的质量m＝3kg B．水平力F不断增大 C．水平力F的大小为70N D．物块A做匀加速直线运动 【变式8-2】（22-23高二上·上海徐汇·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【变式8-3】（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 题型9 带电粒子在立体空间的偏转问题 【例9】（23-24高二上·浙江宁波·期末）如图所示空间内有一垂直于轴的足够大的平面M，M将的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，平面内有一带电粒子从点以速度射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与轴正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过轴上的点，其中，不计带电粒子的重力，。则该粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（多选）（2024·安徽合肥·模拟预测）局部空间的地磁场对宇宙射线的作用原理可以用如下的简化模型来研究。如图所示，正圆柱体形状的空间内存在沿轴线方向、大小为B的匀强磁场。一个带心量为e、质量为m的电子以初速度从圆柱体的上底面圆心O点射入磁场，速度方向与轴线成30°夹角，一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心点。已知粒子在此过程中不会与圆柱体壁发生碰撞，不考虑洛伦兹力以外的其他力，下列说法正确的是（    ） A．圆柱体空间的底面半径可能等于 B．电子在圆柱体空间内运动的时间可能为 C．圆柱体空间的高可能为 D．电子在圆柱体空间内运动的某段时间里动量变化量的大小可能为 【变式9-2】（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）如图，长方体空间区域内存在匀强磁场（包括边界），方向平行于yOz平面且与z轴负方向成，磁感应强度大小为B，长方体x轴方向长为，y轴方向足够长，z轴方向高为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从z轴上的点a沿x轴正方向进入匀强磁场，速度大小为，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 B．粒子会经过x轴上的点e C．若粒子进入磁场的速度大小为，则粒子穿出磁场的点的y坐标为 D．若粒子进入磁场的速度大小为，则粒子在磁场中运动的时间为 【变式9-3】（2024·河南开封·二模）如图，空间直角坐标系中，有一边长为L的正方体区域，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中a、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从a点沿方向射入区域，不计粒子重力。 （1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度E的大小； （2）若区域内仅分布着方向垂直于平面向纸外的匀强磁场，则粒子恰能从边之间的e点离开区域，已知，求磁感应强度B的大小。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、匀速直线运动 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。 2、匀速圆周运动 若带电粒子垂直射入匀强磁场，粒子所受洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，因此不改变速度的大小，但不停地改变速度的方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力。 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、观察带电粒子的运动径迹 （1）实验装置 下图是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。 （2）实验现象 ①不加磁场：电子束的径迹为直线。 ②在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、指向纸面的磁场：电子束的径迹为圆周。 ③保持出射电子的速度不，改变磁感应强度，发现磁感应强度越大，圆周运动的轨迹半径越小。 ④保持磁感应强度不变，改变出射电子的速度大小，发现电子的出射速度越大，圆周运动的轨迹半径越大。 （3）实验结论 当带电粒子以一定的速度垂直进入匀强磁场时做圆周运动，在强磁场中做匀速圆周运动，且磁感应强度越大，半径越小；运动速度越大，半径也越大。 2、公式推导 （1）轨道半径 由于洛伦兹力提供向心力，则有，可知带电粒子做圆周运动的轨道半径。 （2）周期 由轨道半径与周期之间的关系，得到带电粒子做圆周运动的周期。 带电粒子在匀强磁场中运动的分析 1、带电粒子在不同边界磁场中的运动 （1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示） （2）平行边界（存在临界条件，如图所示） （3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示） 2、圆心的确定 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 （1）圆心在速度的垂线上（两垂法） 如图a，已知粒子的入射方向和出射方向时。过射入和射出磁场时的两点，作垂直于入射方向和出射方向的的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹所对应的圆心。 （2）圆心在弦的中垂线上（中垂线法） 如图b，已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心。 （3）圆心在两速度夹角的角平分线上（角平分线法） 如图c，已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 3、半径的确定 半径的计算一般可利用几何知识，通过解三角形的办法求解。例如，或由勾股定理，求得。 4、圆心角与运动时间的确定 （1）速度的偏向角φ等于圆心角θ 等于AB弦与切线的夹角α的2倍。即。 （2）时间的计算方法： ①由圆心角求：。 ②由弧长求：。当v一定时，弧长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间越长。 题型1 半径和周期公式的应用 【例1】（2024·四川·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出（　　） A．该匀强磁场的磁感应强度 B．带电粒子在磁场中运动的速率 C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径 D．带电粒子在磁场中运动的时间 【答案】C 【解析】粒子恰好垂直于轴射出磁场，作两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示 C．根据几何关系可得 所以 故C正确； AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即 解得带电粒子在磁场中运动的速率为 因轨迹圆的半径可求出，但磁感应强度未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故AB错误； D．带电粒子圆周的圆心角为，而周期为 则带电粒子在磁场中运动的时间为 因为磁感应强度未知，则运动时间无法求出，故D错误。 故选C。 【变式1-1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·月考）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述错误的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N不做功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【答案】D 【解析】A．由左手定则可判断出M带负电，N带正电，故A正确； B．根据牛顿第二定律有 解得 因为，所以，故B正确； C．洛伦兹力与速度始终垂直，对M、N不做功，故C正确； D．根据匀速圆周运动规律有 由于M、N的质量和电荷量都相等，所以T相等，由图可知二者都运动了半个周期，所以运动时间相等，故D错误。 本题选错误的，故选D。 【变式1-2】（23-24高二下·湖北武汉·月考）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°，60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速度之比为1：2 C．周期之比为2：1 D．时间之比为2：3 【答案】B 【解析】A．设入射点到虚线边界的距离为d，可知粒子1的运动半径 r1=d 粒子2由几何关系 可得 r2=2d 则两粒子的轨迹半径之比为1：2选项A错误； B．根据 可得 可得速度之比为1：2，选项B正确； C．根据 可知，周期之比为1：1，选项C错误；     D．根据 可知时间之比为 选项D错误。 故选B。 【变式1-3】（23-24高二下·福建泉州·月考）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子带 （选填“正电荷”或“负电荷”）；粒子穿越金属板后，轨迹半径 。（选填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】负电荷 变小 【解析】[1][2]由洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于粒子穿越金属板后，粒子动能减少，速度减小，则轨迹半径变小，可知粒子逆时针做圆周运动，根据左手定则可知，粒子带负电荷。 【变式1-4】（23-24高二下·福建莆田·期末）2023年10月在沈阳举行第九届中国二次离子质谱会议。某种质谱仪的磁场偏转部分如图所示，在下方存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一个带电粒子在O处以速度v垂直磁场边界入射，在磁场中偏转后落在Q处，P、O、Q、在同一直线上。已知O、Q两点间的距离为d，粒子重力不计。求 （1）带电粒子带何种电荷； （2）带电粒子在磁场中运动的时间t； （3）带电粒子的比荷。 【答案】（1）正电荷；（2）；（3） 【解析】（1）粒子进入磁场后向右偏转，由左手定则可知粒子带正电荷。 （2）根据匀速圆周运动规律得 根据几何关系可知圆周半径 解得 （3）根据牛顿运动定律得 解得 【变式1-5】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）如图所示，在一矩形区域内有磁感应强度方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场宽度为d。不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t，粒子飞出磁场时偏离原方向60°角。利用以上数据能求出的物理量是 （1）带电粒子在磁场中运动的半径。 （2）带电粒子的比荷。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图 由几何关系可知，带电粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，粒子的轨道半径为 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 则运动时间为 联立解得 题型2 带电粒子在磁场中运动的轨迹问题 【例2】（23-24高二下·上海·月考）图为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹，a和b是轨迹上的两点。云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直，粒子（　　） A．由a点运动到b点，带负电 B．由a点运动到b点，带正电 C．由b点运动到a点，带负电 D．由b点运动到a点，带正电 【答案】D 【解析】穿过铅板后，粒子的速度变小，由洛伦兹力提供向心力 解得 可知速度变小，粒子做圆周运动的半径也变小，所以粒子由铅板的下方进入铅板的上方，故由b点运动到a点，由左手定则可知，粒子带正电。 故选D。 【变式2-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示。在MNQP中有一垂直纸面向里匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场。图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点。不计粒子重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子b在磁场中运动的时间最短 B．射入磁场时粒子c的速率最小 C．粒子c带负电，粒子a、b带正电 D．若匀强磁场磁感应强度增大，其它条件不变，则a粒子运动时间不变 【答案】A 【解析】B．根据洛伦兹力提供向心力 可得 由图可知，a粒子的半径最小，则射入磁场时a粒子的速率最小，故B错误； C．根据题图，由左手定则可知，粒子c带正电，粒子a、b带负电，故C错误； AD．粒子运动的周期为 设粒子运动轨迹所对圆心角为，则粒子的运动时间为 由图可知，粒子b在磁场中运动的时间最短，若匀强磁场磁感应强度增大，其它条件不变，则a粒子运动时间改变，故A正确，D错误。 故选A。 【变式2-2】（23-24高二下·甘肃天水·期中）如图所示，将含有大量正、负带电粒子的气体以相同的速度喷入云雾室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。已知云雾室中匀强磁场方向垂直纸面向外（图中未画出），不计重力和粒子间作用力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子①在磁场中做速度增大的曲线运动 B．粒子②在磁场中做速度减小的曲线运动 C．粒子①带正电 D．粒子②的速度保持不变 【答案】C 【解析】粒子进入磁场时做匀速圆周运动，则两粒子在磁场中的速度大小不变，但是方向不断变化，即两粒子的速度不是不变的；匀强磁场方向垂直纸面向外，由图示粒子运动轨迹可知，粒子刚进入磁场时，粒子①所受洛伦兹力水平向左，粒子②受到的洛伦兹力水平向右，由左手定则可知，粒子①带正电，粒子②带负电。 故选C。 【变式2-3】（23-24高二下·山东枣庄·期末）1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录正电子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢正电子的速度。当正电子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。关于云室中磁场的方向及正电子的运动方向，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，磁场垂直纸面向外，粒子从N运动到M B．如图乙，磁场垂直纸面向外，粒子从M运动到N C．如图丙，磁场垂直纸面向里，粒子从N运动到M D．如图丁，磁场垂直纸面向里，粒子从M运动到N 【答案】D 【解析】A．粒子在磁场中运动时，若速度减小，则半径减小，图中磁场垂直纸面向外，粒子从N运动到M，半径应减小，与题图不符合，故A错误； B．磁场垂直纸面向外，粒子从M运动到N，粒子受到向左的洛伦兹力，故B错误； C．磁场垂直纸面向里，粒子从N运动到M，粒子受到向左的洛伦兹力，故C错误； D．磁场垂直纸面向里，粒子从M运动到N，粒子的半径减小，故D正确。 故选D。 【变式2-4】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 【答案】D 【解析】A．带电粒子在垂直于纸面向外的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是正电子的径迹，d、e都是负电子的径迹，A错误； B．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 由图可知a径迹对应的粒子的运动半径最小，a径迹对应的粒子的速度最小，根据 可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误； C．根据 可知 即b径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误； D．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 ， 则 所以 粒子在磁场中的运动时间 其中为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D正确。 故选D。 题型3 带电粒子在单边直线边界磁场中运动 【例3】（22-23高二上·江苏南京·月考）如图所示，带电粒子以与轴平行的初速度从点进入匀强磁场，运动过程中经过点，。若撤去磁场加一个与轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度从点进入电场，仍能通过点，则电场强度和磁感应强度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，带电粒子在匀强磁场中运动时，由题意可知粒子轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有 ，， 联立可得 则电场强度和磁感应强度的比值为 故选C。 【变式3-1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，在水平线OP的正上方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从磁场边界上O点同时向纸面内不同方向发射速率均为v、质量均为m、电荷量均为的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且OP的长度为，不计粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（    ） A．两粒子在磁场中运动的加速度大小不同 B．两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60° C．两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为 D．两粒子在磁场中运动的时间相差 【答案】BC 【解析】A．两粒子在磁场中运动只受洛伦兹力的作用，根据牛顿第二定律 故两粒子在磁场中运动的加速度大小相等，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力 解得 则两粒子在磁场中运动半径相等，两个粒子先后经过P点，作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示，短弧和长弧均以OP为弦，已知OP的长度为，根据几何关系可得 解得两个粒子射入磁场时与边界的夹角均为 故B正确； C．根据粒子的运动对称性和几何知识作出两粒子动量变化如图乙所示，可以得出两个粒子的动量变化量大小、方向均相同，为 故C正确； D．两粒子在磁场中运动的周期为 两粒子在磁场中运动的时间相差 故D错误。 故选BC。 【变式3-2】（多选）（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两比荷之比为的带正电粒子、均由边上的点以与边成角斜向右上方射入磁场，经过一段时间两粒子分别从边上的、两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等，，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出 B．粒子、在磁场中运动的半径之比为 C．粒子、在磁场中运动的速度偏转角之比为 D．粒子、在磁场中运动的时间之比为 【答案】BC 【解析】AB．作出粒子、在磁场中运动的轨迹图，如图所示： 根据 解得粒子在磁场中运动的半径 结合已知条件，可知粒子、的轨迹半径之比为，则粒子从点射出，故A错误，B正确； C．由几何知识可知，粒子、在磁场中运动的速度偏转角均为 故C正确； D．根据 可知 可知粒子、在磁场中运动的周期之比为，由 可知，粒子、在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选BC。 【变式3-3】（23-24高二下·全国·单元测试）如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界点垂直于磁场方向射入，沿曲线打到屏上的点。若该微粒经过点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终仍打到屏上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．带电微粒带负电 B．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动轨迹半径变大 C．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动周期变大 D．碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒在磁场中受到的洛伦兹力变大 【答案】C 【解析】A．结合带电微粒的偏转方向，由左手定则可判断带电微粒带正电，A错误； B．带电微粒和不带电微粒相碰，遵守动量守恒定律和电荷守恒定律，故碰撞前后总动量不变，总电荷量不变。碰撞前，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 碰撞后，由 解得 由于，，则。碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动轨迹不变，B错误； C．碰撞前，带电微粒运动周期为 碰撞后，新微粒运动周期为 由于则有 则 即碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动周期增大，C正确； D．碰撞前 碰撞后 由于，，则。碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒在磁场中受到的洛伦兹力减小，D错误。 故选C。 题型4 带电粒子在双边平行边界磁场中运动 【例4】（24-25高三上·西藏林芝·月考）Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，求P点至O点的距离？ 【答案】 【解析】根据题意，作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可得 【变式4-1】（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）真空区域有宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界，质量为m，电荷量为的粒子沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场（不计粒子重力的影响），求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）粒子刚好没能从PQ边界射出磁场，设轨迹半径为，则粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子射入磁场的速度大小 （2）粒子匝磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的时间 【变式4-2】（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域（边界平行x轴），方向垂直坐标平面向里。质量为m、电荷量为q的粒子，以大小为v的初速度从O点沿x轴正方向开始运动，粒子经过y轴上到O点距离为的P点，此时粒子速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。不计粒子所受的重力。求： （1）磁场的磁感应强度大小B； （2）粒子从O点运动到P点的时间t。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）作出粒子运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中运动时间 粒子匀速直线运动时间 粒子从O点运动到P点的时间 解得 【变式4-3】（23-24高二下·广东东莞·月考）真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； （2）PQ边界有粒子射出的长度x。 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）粒子刚好未能从边界射出磁场，轨迹如图所示 根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动的周期 粒子运动的时间 （2）当粒子初速度平行MN时，轨迹如图所示 根据几何关系可知 由图甲知 则PQ边界有粒子射出的长度 题型5 带电粒子在三角形边界磁场中运动 【例5】（多选）（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，边长为的等边三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。底边中点处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为，电荷量均为，速度大小均为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．带电粒子可能垂直边出射 B．带电粒子不可能垂直边出射 C．从边出射的粒子占总粒子数的 D．从边出射的粒子占总粒子数的 【答案】ABD 【解析】AB．正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可知，带电粒子可能垂直边出射，此时粒子竖直向上射入，同理带电粒子不可能垂直边出射，故AB正确； CD．根据几何关系可知粒子可以从Q点射出，设此时粒子与QR边的夹角为，根据几何关系可知 解得 则从边出射的粒子占总粒子数的，故C错误，D正确； 故选ABD。 【变式5-1】（多选）（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）根据地磁监测数据，从北京时间2024年3月24日23时开始，到3月25日23时为止，地球经历了一场持续3小时特大地磁暴，6小时中等地磁暴，地磁暴是太阳活动带来的一种自然灾害，它是由太阳带电粒子对地球磁场的干扰引起的。某同学针对此现象展开以下理论推导，假设在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD=30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD 边收集到的粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 粒子从E点垂直CD边射入，则若粒子恰好从D点射出，则由几何关系可知运动半径为 根据 可得 若粒子轨迹与AC边相切，则由几何关系可知 根据 可得 可知粒子从AD边射出时的速度范围 故选CD。 【变式5-2】（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）如图所示，水平面的区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为，边界的夹角为30°，距顶点为的点有一粒子源，粒子在水平面内垂直边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子，粒子质量为、电荷量大小为，下列说法正确的是（　　） A．从边界射出的粒子速度方向都相同 B．粒子离开磁场时到点的最短距离为 C．垂直边界射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界射出的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AB 【解析】A．粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定竖直向下，故方向均相同，故A正确； B．当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得 离b点的最短距离为 联立解得 故B正确； C．垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为 由洛伦兹力作为向心力可得 解得粒子的速度大小为 故C错误； D．粒子在磁场中的运动周期为 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为 故D错误。 故选AB。 【变式5-3】（多选）（24-25高三上·河北沧州·月考）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外（包含边界）存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．粒子从bQ之间（不包括b、Q点）第二次通过ab边 C．粒子从PQ之间（不包括P、Q点）第二次通过ab边 D．粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 【答案】AD 【解析】A．粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 故A正确； BC．由几何关系知，粒子第二次通过ab边时恰好过P点，故BC错误； D．设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则 粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为 故D正确。 故选AD。 【变式5-4】（23-24高二上·福建龙岩·期末）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L，在O点发射某种带负电的粒子（不计重力作用），粒子的比荷为。发射方向与OC边的夹角为θ=60°，粒子从A点射出磁场。 （1）求粒子的发射速度大小v0； （2）求粒子在磁场中的运动时间； （3）若入射粒子为正电荷，粒子能从OC边射出，求入射速度的范围。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子从A点射出磁场，运动轨迹如图所示 由几何知识可知 根据洛伦兹力提供向心力，所以 代入解得 （2）由几何知识可知，粒子转过的圆心角为 由 ， 得 （3）粒子能从OC边射出，如图 由几何关系知，半径最大为 有 解得最大速度为 所以速度取值范围为 题型6 带电粒子在多边形边界磁场中运动 【例6】（22-23高三上·广西柳州·月考）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 C．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间不变 D．若仅减小磁感应强度，则粒子在磁场中运动时间一定变长 【答案】B 【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 若仅减小磁感应强度，则粒子运动的半径增大，则粒子可能从b点右侧射出，故B正确； C．粒子在磁场中运动的周期为 若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动半径减小，粒子轨迹对应的圆心角增大，根据 可知粒子在磁场中运动时间增大，故C错误； D．若仅减小磁感应强度，则粒子运动的半径增大，粒子轨迹对应的圆心角减小，根据 可知粒子在磁场中运动时间不一定变长，故D错误。 故选B。 【变式6-1】（24-25高三上·广西·月考）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知粒子恰好能从边离开磁场，可知轨迹与边相切，作出轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 故选A。 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·湖北·月考）如图所示， 有一个边长为l， 磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域 abcd，e是ab的中点，f 是ac的中点， 如果在c点沿对角线方向以一定的速度v射入一比荷为k的带电粒子（不计重力），且该粒子恰好能从f点射出。则下列说法正确的是（    ） A．粒子射入磁场的速度大小 B．若粒子入射速度大小变为2v， 则粒子恰好从a点射出 C．若只减小粒子入射速度大小， 则粒子在磁场中的运动时间不变 D．若只改变粒子入射速度的大小，使粒子可以从e点射出，则粒子射出磁场时的速度方向与 ab边垂直 【答案】BC 【解析】A．由题意，当粒子从f点飞出时，画出粒子运动轨迹，利用几何知识，可求得粒子在磁场中的运动半径 根据 ， 可求得 故A错误； B．若粒子入射速度大小变为2v， 则粒子在磁场中的运动半径将变为 由几何知识可判断知粒子恰好从a点射出，故B正确； C．若只减小粒子入射速度大小，则粒子在磁场中的运动半径将减小，画出粒子在磁场中的运动轨迹可知，粒子均从ef边射出，由几何知识可知粒子运动轨迹所对应的圆心角均为90°，运动时间均为 可知粒子在磁场中的运动时间不变，故C正确； D．若只改变粒子入射速度的大小，使粒子可以从e点射出，画出粒子在磁场中的运动轨迹，若粒子射出磁场时的速度方向与 ab边垂直，由几何知识可知，粒子在磁场中运动轨迹的圆心不可能落ba与cb垂线的交点上，故D错误。 故选BC 。 【变式6-3】（多选）（23-24高二下·陕西渭南·月考）如图所示的装置能分离各种比荷的带电粒子，三个初速度均为零的带电粒子1、2、3经电压为U的电场加速后，从顶点A沿方向进入一个边长为a的正六边形区域内，正六边形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知粒子1刚好从顶点F射出，粒子2刚好从顶点E射出，粒子3刚好从边的G点（未画出）垂直射出，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子1、2、3的比荷之比为36:4:1 B．G点到E点的距离为 C．将磁感应强度减半，粒子1在磁场中的运动时间不变 D．将磁感应强度减半，粒子2会从G点射出 【答案】AD 【解析】A．设粒子质量为m，带电荷量为q，在加速电场中，根据动能定理 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子1、2、3的运动轨迹如图所示 由几何关系知 ，， 解得 由可得 故 故A正确； B．由几何关系知 G点到E点的距离为 故B错误； CD．将磁感应强度减半，三个粒子在磁场的运动半径都加倍，粒子1从EF之间射出，在磁场中达动的时间变长，粒子2从G点射出，故C错误，D正确。 故选AD。 题型7 带电粒子在圆形边界磁场中运动 【例7】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 【答案】C 【解析】ABC．设质子的轨迹半径为R，圆形磁场区域的半径为r，如图所示 由洛伦兹力提供向心力得 可得 可知v越大，则R越大；质子的周期为 可知周期与运动速度大小无关，运动时间为 其中 所以v越大，则R越大、越小、t越小，故AB错误，C正确； D．向心加速度为 由 得 联立可得 则R越大，向心加速度a越大，故D错误。 故选C。 【变式7-1】（22-23高二下·广西柳州·月考）如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设电子的轨迹半径为R，电子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 电子在磁场中运动的时间为 故选B。 【变式7-2】（23-24高二下·四川凉山·期末）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的动量之比为（　　） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1 【答案】C 【解析】根据左手定则，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系，氘核的半径为 根据几何关系，氚核的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 可得 动量为 和的动量之比为 故选C。 【变式7-3】（多选）（23-24高二下·四川达州·期末）空间有一半径为R磁感应强度为B的圆柱形磁场区域，其横截面如图所示，区域边界由绝缘刚性弹性材料制成，以保证粒子与边界材料碰撞后始终以等大反向的速度反弹。在边界的P点打一小孔，并从小孔处垂直磁场方向对准圆心入射一速度、电荷量q、质量为m的正电粒子，该粒子与磁场区域边界经过三次碰撞后恰好能从P点射出，现欲改变操作使该粒子从P点射入，最终仍然从P点射出，但粒子与边界材料碰撞次数减少一次，合理的操作是（　　） A．将粒子的速度变为原来的3倍 B．将粒子的速度变为原来的倍 C．将该区域的磁感应强度变为原来的倍 D．将该区域的磁感应强度变为原来的倍 【答案】BC 【解析】粒子与边界材料碰撞后始终以等大反向的速度反弹，粒子与磁场区域边界经过三次碰撞后恰好能从P点射出，设半径为，由几何关系可知，圆心角为90°，有 现改变操作使该粒子从P点射入最终仍然从P点射出，但粒子与边界材料碰撞次数为2次，设半径为，由几何关系可知圆心角为60°，有 AB．粒子所受洛伦兹力提供向心力，可得 则仅将粒子的速度变为原来的倍，半径可变为原来的倍，符合要求，故A错误，B正确； CD．仅将该区域的磁感应强度变为原来的倍，半径也可变为原来的倍，满足要求，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式7-4】（多选）（24-25高三上·湖北武汉·月考）半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P是直径上一点，且。如图所示，质量为m、电荷量为的带电粒子从P点垂直射入磁场，已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为，从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为。则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】AB．从直径边界射出的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 根据 又 联立，解得 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为 则粒子的运动时间为 故A错误；B正确； CD．粒子恰好不从圆弧边界射出的粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知 在磁场中的运动时间为 从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为 故C正确；D错误。 故选BC。 题型8 带电物体（计重力）在磁场中的运动 【例8】（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设小球自题图示位置摆到最低点时速度大小为，因洛伦兹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律 小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，可知洛伦兹力方向向上，在最低点合力提供向心力，由牛顿第二定律 当小球自右方相同摆角处摆到最低点时，根据左手定则，洛伦兹力方向向下，摆动过程中洛伦兹力也不做功，机械能守恒，则小球摆到最低点时速度仍为，由牛顿第二定律 联立解得 故选C。 【变式8-1】（23-24高三下·江西·月考）如图甲所示，光滑绝缘水平面上方足够大空间内存在磁感应强度大小B＝1T的水平匀强磁场，带正电的物块A静置于水平面上，电荷量q＝0.2C。t＝0时，水平力F作用在物块A上，物块A由静止开始运动，其对水平面的压力随时间的变化图像如图乙，重力加速度，则（　　） A．物块A的质量m＝3kg B．水平力F不断增大 C．水平力F的大小为70N D．物块A做匀加速直线运动 【答案】D 【解析】A．根据 得 故A错误； BD．物块A对水平面的压力 物块A对水平面的压力不断增大，则洛伦兹力不断增大，速度不断增大，做加速运动，结合图像可知，速度均匀增大，则做匀加速运动，水平力F不变，故B错误，D正确； C．根据 图乙图像斜率 代入数据得 故C错误。 故选D。 【变式8-2】（22-23高二上·上海徐汇·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球由静止刚开始下滑时，洛伦兹力为0，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）小球下滑过程中，根据左手定则可知小球受到洛伦兹力垂直于杆向上，当小球达到最大速度时，加速度为0，则有 代入数据解得 【变式8-3】（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 【答案】（1）3N，水平向左；（2）1m：（3） 【解析】（1）由题意可知，小球在CD间做匀速直线运动，电场力与重力的合力垂直于CD向下，故有 方向水平向左 （2）在D点速度为 在CD段做直线运动，分析可知，CD段受力平衡，故有 解得 在F点处由牛顿第二定律可得 把代入得 （3）小球在DF段，由动能定律可得 解得 题型9 带电粒子在立体空间的偏转问题 【例9】（23-24高二上·浙江宁波·期末）如图所示空间内有一垂直于轴的足够大的平面M，M将的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，平面内有一带电粒子从点以速度射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与轴正向成，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过轴上的点，其中，不计带电粒子的重力，。则该粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将粒子的入射速度沿水平方向与竖直方向分解，则有 ， 粒子水平方向的分运动为匀速圆周运动，竖直方向的分运动为匀速直线运动，假设粒子带正电，Ⅰ、Ⅱ两部分磁场方向分别沿y轴正方向与y轴负方向，作出粒子水平方向运动的俯视图如图所示 粒子在水平方向中做匀速圆周运动，则有 粒子匀速圆周运动的周期 解得 ， 粒子在左右磁场中圆周运动的半径相等，则有 粒子在水平方向圆周运动的时间 粒子在竖直方向做匀速直线运动的时间 根据分运动的等时性有 解得 故选A。 【变式9-1】（多选）（2024·安徽合肥·模拟预测）局部空间的地磁场对宇宙射线的作用原理可以用如下的简化模型来研究。如图所示，正圆柱体形状的空间内存在沿轴线方向、大小为B的匀强磁场。一个带心量为e、质量为m的电子以初速度从圆柱体的上底面圆心O点射入磁场，速度方向与轴线成30°夹角，一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心点。已知粒子在此过程中不会与圆柱体壁发生碰撞，不考虑洛伦兹力以外的其他力，下列说法正确的是（    ） A．圆柱体空间的底面半径可能等于 B．电子在圆柱体空间内运动的时间可能为 C．圆柱体空间的高可能为 D．电子在圆柱体空间内运动的某段时间里动量变化量的大小可能为 【答案】BD 【解析】A．将速度分解为沿磁场方向和垂直于磁场方向，则电子在沿磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，其圆周运动半径 其在圆柱体中心一侧运动范围为直径，故圆柱体半径应不小于2r 故A错误； B．一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心点，则运动时间与圆周运动周期关系为 则 当时，电子在圆柱体空间内运动的时间为 故B正确； C．电子沿磁场方向位移 当时 故C错误； D．电子运动时间为半个周期时动量变化量为，故D正确。 故选BD。 【变式9-2】（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）如图，长方体空间区域内存在匀强磁场（包括边界），方向平行于yOz平面且与z轴负方向成，磁感应强度大小为B，长方体x轴方向长为，y轴方向足够长，z轴方向高为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从z轴上的点a沿x轴正方向进入匀强磁场，速度大小为，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 B．粒子会经过x轴上的点e C．若粒子进入磁场的速度大小为，则粒子穿出磁场的点的y坐标为 D．若粒子进入磁场的速度大小为，则粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AD 【解析】A．粒子进入磁场时，速度大小为且与磁场垂直，由洛伦兹力提供向心力有 则其轨迹半径为 故A正确； B．匀强磁场方向平行于yOz平面且与z轴负方向成角，粒子沿x轴正方向进入匀强磁场，根据左手定则可以判断粒子的轨迹平面为平面abcd，如图所示 粒子不会与x轴相交，故B错误； C．若进入磁场的速度大小为，则其轨迹半径为 其中d点刚好为粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，其运动轨迹与bc边相交于P点，如图所示 则 ，， 故 所以粒子穿出磁场的点的y坐标为，故C错误； D．设轨迹的圆心角为，则 则圆心角 所以粒子在磁场中运动的时间为 故D正确。 故选AD。 【变式9-3】（2024·河南开封·二模）如图，空间直角坐标系中，有一边长为L的正方体区域，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中a、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从a点沿方向射入区域，不计粒子重力。 （1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度E的大小； （2）若区域内仅分布着方向垂直于平面向纸外的匀强磁场，则粒子恰能从边之间的e点离开区域，已知，求磁感应强度B的大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）粒子做类平抛运动，恰能从点离开区域 解得 （2）粒子恰能从边之间的e点离开区域，根据几何关系 解得 根据 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$