第三章 圆锥曲线的方程章末题型归纳总结 -2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：求轨迹方程 题型二：焦点三角形问题 题型三：线段和差最值问题 题型四：离心率取值与范围问题 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 题型六：三角形与四边形面积问题 题型七：圆锥曲线定点定值问题 题型八：斜率问题 题型九：中点弦问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：求轨迹方程 【典例1-1】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【典例1-2】（2024·高二·山东临沂·阶段练习）已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【变式1-3】（2024·高二·全国·课堂例题）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程. 题型二：焦点三角形问题 【典例2-1】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 【典例2-2】（多选题）（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【变式2-2】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【变式2-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）设为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且，若的内切圆半径为，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为 D．的离心率为 【变式2-4】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【典例3-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 【变式3-1】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线上的两点，若，则的中点到轴距离的最小值为 . 【变式3-2】（2024·高二·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 【变式3-3】（2024·高二·河北保定·期中）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ． 【变式3-4】（2024·高二·全国·课堂例题）双曲线C：的左、右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则 . 【变式3-5】（2024·高二·上海·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 【变式3-6】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【变式3-7】（2024·高二·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 . 【变式3-8】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知Q是圆上任意一点，F是椭圆上的左焦点，M是椭圆上任意一点，则的最小值 . 题型四：离心率取值与范围问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 【典例4-2】（2024·高二·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为 ． 【变式4-2】（2024·高二·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 【变式4-3】（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【变式4-4】（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．    【变式4-5】（2024·高二·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【变式4-6】（2024·高二·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 【变式4-7】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【典例5-2】（2024·高二·全国·随堂练习）能否从图形的直观分析中判断出直线：与椭圆C：的交点个数？若存在交点，则求出交点坐标；若不存在交点，则求椭圆C上的点到直线l的最小距离． 【变式5-1】（2024·高三·江西抚州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点. (1)求椭圆C及圆M的标准方程； (2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论. 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点．若①，②，③，④，问此时直线共有几条？由此你能探索总结出一般性结论吗？若能，请给予归纳；若不能，请说明理由． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【变式5-4】（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ 【变式5-5】（2024·高二·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【变式5-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 题型六：三角形与四边形面积问题 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 【典例6-2】（2024·高二·四川凉山·期中）已知中心在原点，焦点在轴的椭圆与双曲线有共同的焦点，且过椭圆的焦点作的弦中，弦长的最小值为，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为2，椭圆和双曲线的离心率之比为． (1)分别求椭圆和双曲线的离心率． (2)若为椭圆和双曲线在第一象限的交点，求三角形的外接圆的面积． 【变式6-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为） 【变式6-2】（2024·高二·天津和平·期中）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是． (1)求椭圆的离心率； (2)证明：； (3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程． 【变式6-3】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【变式6-4】（2024·高二·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 题型七：圆锥曲线定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线与抛物线相交于两点. (1)求（用表示）； (2)过点分别作直线的垂线交抛物线于两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）试判断直线与直线的交点是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由. 【典例7-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【变式7-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 【变式7-3】（2024·高二·广西·期末）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 【变式7-4】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点． (1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程； (2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 题型八：斜率问题 【典例8-1】（2024·高二·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为. (1)求的取值范围； (2)若交的两条渐近线于两点，且，求. 【变式8-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 【变式8-2】（2024·高二·河南·期中）已知A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，过点作直线HA，HB分别交于另一点D，C. (1)求直线HA，HB的一般式方程; (2)求直线CD的斜率. 【变式8-3】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 【变式8-4】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 题型九：中点弦问题 【典例9-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【典例9-2】（2024·高二·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【变式9-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【变式9-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式9-3】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程 (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式9-4】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例10-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆中所有 “好弦” 的长度之和为（    ） A．162 B．166 C．312 D．364 【变式10-1】（2024·上海浦东新·高二海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式10-2】（2024·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式10-3】（2024·重庆渝中·高二重庆市求精中学校校考阶段练习）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ②转化与化归思想 【典例11-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是 ．    【典例11-2】（2024·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 【变式11-2】（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【变式11-3】（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C：的准线为l，圆E：，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则的最小值为 . 【变式11-4】（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则 . ③数形结合思想 【典例12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 . 【典例12-2】（2024·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . 【变式12-1】（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ． 【变式12-3】（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为 ． 【变式12-4】（2024·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【变式12-5】（2024·全国·高三专题练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：求轨迹方程 题型二：焦点三角形问题 题型三：线段和差最值问题 题型四：离心率取值与范围问题 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 题型六：三角形与四边形面积问题 题型七：圆锥曲线定点定值问题 题型八：斜率问题 题型九：中点弦问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：求轨迹方程 【典例1-1】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【典例1-2】（2024·高二·山东临沂·阶段练习）已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点的坐标为， 因为，, 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 【变式1-3】（2024·高二·全国·课堂例题）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程. 【解析】设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 所以点的轨迹方程为即. 题型二：焦点三角形问题 【典例2-1】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 【答案】ABD 【解析】对于A,由椭圆，可得， 因为的周长为6，所以，解得， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 当时，由余弦定理可得 ， 则，解得， 所以， 又的内切圆半径为， 所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正确； 对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得，则，故C错误； 对于D，设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b， 故时取最大值，所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【典例2-2】（多选题）（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误； 对于D，设， ， 因此，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-2】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 【变式2-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）设为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且，若的内切圆半径为，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为 D．的离心率为 【答案】BD 【解析】如图，设点在第一象限，如图，设的内切圆与三边相切于点， 则，， 由双曲线的定义得，设，所以， 所以，A错误； 设的中点为，由，知． 因为，，所以为直角三角形，B正确； 在中，，C错误； 在中，， 由为直角三角形， ，知， 由，得，D正确． 故选：BD 【变式2-4】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 【答案】AD 【解析】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 【典例3-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 【答案】7 【解析】曲线可变形为 令，解得， 可知曲线恒过点， 因为在抛物线上，则，解得， 所以的方程为，可知的焦点为，准线为， 又因为，可知点在抛物线内， 设点在准线上的投影为，则， 因为， 当且仅当与的准线垂直时，等号成立， 所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7． 故答案为：7. 【变式3-1】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线上的两点，若，则的中点到轴距离的最小值为 . 【答案】3 【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为， 过两点作准线的垂线，垂足分别为，如下图所示： 由可知，当且仅当三点共线时，等号成立； 则有，可得； 所以的中点到轴距离为，当且仅当三点共线时，等号成立； 即的中点到轴距离的最小值为. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·高二·河北保定·期中）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设右焦点为，如图：连接，过点做于点， 结合题意：为直角三角形，且，所以， 因为到渐近线的距离为， 结合双曲线的定义可得：. 故答案为：. 【变式3-4】（2024·高二·全国·课堂例题）双曲线C：的左、右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则 . 【答案】4 【解析】由题意. 如图， 连接，，则点Q在双曲线C的左支上， 由双曲线的对称性知，，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以由双曲线的定义得. 故答案为：4 【变式3-5】（2024·高二·上海·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 【答案】 【解析】椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为， ， 则，，如图，当，，共线时取等号， 的周长，当且仅当三点，，共线时取等号． 则直线的方程：，整理得. 故答案为： 【变式3-6】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 由题意，点为椭圆的左焦点， 由于满足：，故在椭圆内部， 设椭圆的右焦点为，连接， 由于动点在椭圆上，则， 从而， 因为， 当共线，且在线段上时取等号， 故的最小值为， 故答案为： 【变式3-7】（2024·高二·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，则，， 由已知可得，，即， 整理可得，. 所以，点的轨迹方程为（）. 所以，，，，所以. 则为椭圆的左焦点，设右焦点为， 根据椭圆的定义有， 所以， 所以，. ①当时，根据三边关系可知有， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即位于图中点时，有最大值为， 所以，； ②当时，根据三边关系可知有， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 即位于图中点时，有最小值为， 所以，. 综上所述，. 故答案为：. 【变式3-8】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知Q是圆上任意一点，F是椭圆上的左焦点，M是椭圆上任意一点，则的最小值 . 【答案】 【解析】 因为圆，化为标准式为， 即圆心，半径，且椭圆，则， 设椭圆的右焦点为，则， 所以 ， 当且仅当四点共线时，取得等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型四：离心率取值与范围问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图所示， 由题意可知，，， ，， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 则，又， ，解得， . 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【解析】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】3 【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为四边形为平行四边形，所以与互相平分， 因为的中点坐标为，所以的中点坐标为， 因为，所以点， 因为，所以点在渐近线上， 所以，化简得， 所以离心率. 故答案为：3 【变式4-2】（2024·高二·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 【变式4-4】（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．    【答案】 【解析】 设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 【变式4-5】（2024·高二·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 【变式4-6】（2024·高二·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 【答案】 【解析】由题意可得，所以， 设，的斜率为，中点， 因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式4-7】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【解析】由消去得，，（*） ， 因为在椭圆之外，所以，即， 所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点； 【典例5-2】（2024·高二·全国·随堂练习）能否从图形的直观分析中判断出直线：与椭圆C：的交点个数？若存在交点，则求出交点坐标；若不存在交点，则求椭圆C上的点到直线l的最小距离． 【解析】联立直线与椭圆方程组成方程组，即， 整理得，， 因为， 所以直线与椭圆无交点. 设与直线平行的直线为：， 联立直线与椭圆方程组成方程组，得， 整理得，， 当与椭圆相切时，即， 解得：， 椭圆C上的点到直线的最小距离即为直线与直线之间的距离， 椭圆C上的点到直线的最小距离为. 【变式5-1】（2024·高三·江西抚州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点. (1)求椭圆C及圆M的标准方程； (2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论. 【解析】（1）由对称知：都在椭圆C上， 若在椭圆上，则，显然方程组无解. 若三点在椭圆上，由在椭圆上则， 代入点得：，则 所以椭圆C方程为，则圆M方程为. （2）直线与椭圆C相切.证明如下： 由题意可得，点B在圆M上，且线段为圆M的直径，所以， 当直线轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点，直线的方程为， 则直线的方程为，显然直线与椭圆C相切. 同理，当直线轴时，直线也与椭圆C相切. 当直线与x轴既不平行也不垂直时， 设点，直线的斜率为k，则，直线的斜率为， 所以直线方程为：，直线方程为：， 由，消去y得：. 因为直线与椭圆C相切， 所以， 即   ①. 同理，由直线与椭圆C的方程联立， 消去y得： 即   ② 因为点P为圆上任意一点， 所以，即   ③. 将③代入①式，得 将③代入②式，得 所以此时直线与椭圆C相切， 综上所述，直线与椭圆C相切. 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点．若①，②，③，④，问此时直线共有几条？由此你能探索总结出一般性结论吗？若能，请给予归纳；若不能，请说明理由． 【解析】由双曲线，可得， 过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 若交点位于双曲线的两支时，此时最短距离为， 过左焦点的直线，若与轴垂直时，可得， 所以，当时，这样的直线不存在； 当时，这样的直线仅有1条； 当时，这样的直线仅有2条； 当时，这样的直线仅有4条， 由此归纳出一般性结论如下表所示： 焦点弦长 直线的条数 不存在 1条 3条 2条 4条 不存在 2条 4条 不存在 1条 2条 3条 4条 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【解析】由方程组， 消去，可得（*）， （i）当，即时， 方程（*）为， 此时直线与双曲线仅有一个交点． （ii）当，即时， ， ①若， 即且时，直线与双曲线有两个交点． ②若， 即时，直线与双曲线只有一个交点． ③若， 即或时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点； 当或时，直线与双曲线只有一个交点； 当或时，直线与双曲线没有交点． 【变式5-4】（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ 【解析】联立得. 由题意知 解得且. 若点A, B在双曲线的同一支上，则>0， 解得或， 所以或 若点A, B分别在双曲线的两支上，则， 解得. 【变式5-5】（2024·高二·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【解析】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 【变式5-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为． 因为， 所以. 所以． ∴点P的轨迹方程为． （2） 直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为， 点A的坐标为． 因为， 所以． 所以点B的坐标为． 所以直线PB的斜率为． 因为 所以． 所以直线PB的方程为 代入， 得. 因为 所以直线PB与曲线C相切． 题型六：三角形与四边形面积问题 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 【解析】（1）椭圆的焦距，； 椭圆过点，，又， （舍）或，，椭圆的方程为：. （2） 由（1）知：，， 设，，， 由题意可设直线，其中，， 由得：，， ； 同理可得：； ， ， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 【典例6-2】（2024·高二·四川凉山·期中）已知中心在原点，焦点在轴的椭圆与双曲线有共同的焦点，且过椭圆的焦点作的弦中，弦长的最小值为，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为2，椭圆和双曲线的离心率之比为． (1)分别求椭圆和双曲线的离心率． (2)若为椭圆和双曲线在第一象限的交点，求三角形的外接圆的面积． 【解析】（1）设椭圆方程为：（），双曲线的方程为：（） 根据椭圆与双曲线有共同的焦点，则① 由过椭圆的焦点作的直线中，弦长的最小值为，则② 由椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴之差为2，则③ 再根据椭圆和双曲线的离心率之比为，则④ 解得，，， 椭圆的离心率．双曲线的离心率． （2） 因为为椭圆和双曲线在第一象限的交点， ，故，， 在三角形中，记为， 由余弦定理有．故， 则三角形的外接圆的直径为，半径为 三角形的外接圆的面积为． 【变式6-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为） 【解析】（1）设，则，化简得：， 所以点M 的轨迹E的方程为. （2）设，，，则切线为，切线为， 将点分别代入得，所以直线为， 点到的距离，当时，． 另一方面，联立直线与得， 所以，则， 当时，．所以． 故时，最小值为. 【变式6-2】（2024·高二·天津和平·期中）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是． (1)求椭圆的离心率； (2)证明：； (3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程． 【解析】（1）因为，则，所以，则. （2）因为，则，∴椭圆的方程为， 由，整理得：， 由 可得，则点的坐标是，故直线的斜率为， ∵直线的斜率为 ∴，∴. （3）由（2）知， ， ∴. ∴当时，，∴ ， ∴椭圆方程为. 【变式6-3】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【解析】（1）由题意知， 解得， 则椭圆的方程为． （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 【变式6-4】（2024·高二·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 题型七：圆锥曲线定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线与抛物线相交于两点. (1)求（用表示）； (2)过点分别作直线的垂线交抛物线于两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）试判断直线与直线的交点是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由. 【解析】（1）由，得.设，则 ， （2）（i）显然，设， 则，得，同理， ， （方法一） 设的中点为，则， 点到直线的距离为， 所以四边形面积 （方法二） 令，则，， 所以当时取最小值为 （ii）在定直线上 由（i）得直线的斜率， 的中点， 所以直线的方程为， 即， 由，消去得 所以直线与直线的交点在定直线上. 【典例7-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【解析】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 【变式7-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【解析】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值． 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 【解析】（1）易知圆的圆心为，半径为4， 由题得， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为， 其中， 所以的方程为． （2）易知直线的斜率不为0， 设的方程为，， 联立，得， 则， 又可知点，所以， 由得， 又，所以， 即， 又， 代入得， 整理可得， 因为两点不在轴上，所以， 所以，化简得， 所以，直线的方程为， 故直线恒过定点． 【变式7-3】（2024·高二·广西·期末）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 【解析】（1）∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，， 联立，化为：， ， ，， 解得， ，解得， 直线的方程为：，即. （2）设线段的中点为， ，， 则线段的垂直平分线的方程为：， 化为：， 可得直线经过定点. 【变式7-4】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点． (1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程； (2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设动圆圆心为，半径为， 而圆的圆心，半径，圆的圆心，半径 由动圆与圆外切，得，由动圆与圆内切，得， 则，即点的轨迹是以为焦点，长轴长等于12的椭圆， 显然该椭圆的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以轨迹的方程为； 显然，设，由，得， 当时，，当时，点符合要求， 所以动点的轨迹方程是. （2）依题意，，设点，显然，即， 当点不在轴上时，，则， 设直线，由消去得， ，， 由，得，即 ，整理得， 则，化简得， 解得或，当时，直线过点，不符合题意，则，满足， 直线过定点，当点在轴上时，直线与轴重合，也过点， 所以直线过定点. 题型八：斜率问题 【典例8-1】（2024·高二·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【解析】（1）由题意得，解得，， 椭圆方程为. （2）设直线：，， 联立并整理得，，， ， 解得，符合， 直线方程为，即． 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为. (1)求的取值范围； (2)若交的两条渐近线于两点，且，求. 【解析】（1）由题意可得，则，所以双曲线方程为． 当直线斜率不存在时显然不符合题意， 设直线的斜率为，设，联立 得，且 由得， 所以的取值范围为且， （2）由题知点恰好为线段的两个三等分点， 设， 由得，同理可得， 易知，即，则， 其中， 由（1）可得， 则， 故， 解得． 【变式8-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 【解析】（1）由题意知，，由双曲线定义得， 所以，所以C的方程为． （2）设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 【变式8-2】（2024·高二·河南·期中）已知A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，过点作直线HA，HB分别交于另一点D，C. (1)求直线HA，HB的一般式方程; (2)求直线CD的斜率. 【解析】（1）由题意可得，又， 故，整理得直线HA的一般式方程为； ，整理得直线HB的一般式方程为； （2）设， 联立， 整理得，故， 由得，代入， 得，即； 联立，整理得， 故，由，得， 代入，得，故， 则. 【变式8-3】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 【解析】（1）根据题意得，得，         ∴双曲线C的方程为； （2）∵，∴，∴，      设点， 设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，      整理得， 则，整理得，          由根与系数的关系得，于是 注意到，于是，解得，      又点N满足，即，整理得，         两式消除得，代入消去m得，          因此点N的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，          其渐近线斜率为， ∴直线的斜率范围为. 【变式8-4】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【解析】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. （2）设过点的直线. 联立，消元得，则， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得， 得或. 故的斜率为4或. 题型九：中点弦问题 【典例9-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图： 设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 【典例9-2】（2024·高二·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【解析】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为， 则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以， 即，所以， 即，所以点在直线上． 【变式9-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 【变式9-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 【变式9-3】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程 (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为， 所以， 故抛物线C的方程为； （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，， 则，两式相减得， 整理得， 因为的中点为，故， 所以， 所以直线的方程为，即. 【变式9-4】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【解析】（1）设，由题意可知：， 两边同时平方， 得 所以的方程为或. （2）由题可知曲线为， 设，，则. 由 得， 所以的斜率为. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例10-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设，则，，， 化简得，或（舍去）， 即在以O为圆心的圆上，轨迹方程为， 如上图所示，易知曲线过定点，记为， 若，最多与圆有一个交点，不符合题意，可排除C、D选项； 若，先判定与相切的情况， 则圆心到直线的距离为， 由图形可知当时，曲线与有四个交点. 故选：B 【典例10-2】（2024·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆中所有 “好弦” 的长度之和为（    ） A．162 B．166 C．312 D．364 【答案】B 【解析】由已知可得 ， 所以， 即椭圆的右焦点坐标为，对于过右焦点的弦，则有： 当弦与轴重合时，则弦长， 当弦不与轴重合时，设， 联立方程，消去x得：， 则， 故， ∵，则，可得，即， ∴， 综上所述：，故弦长为整数有， 由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ． 故选 ：B． 【变式10-1】（2024·上海浦东新·高二海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； 当斜率存在时，设为k，则直线方程为， 联立，得， ①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； ②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点. 所以满足题意的直线有3条. 故选：C 【变式10-2】（2024·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． ①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或， 故选：D 【变式10-3】（2024·重庆渝中·高二重庆市求精中学校校考阶段练习）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当不存在时，直线不满足条件； 设直线，与双曲线方程联立可得 ， 即 ， 当时，即，当时，方程无解，不符合题意， 当时，方程只有一解，满足条件； 当时，， 即 解得：或（舍去）， 综上可知，满足条件的有或，共2条直线. 故选：B ②转化与化归思想 【典例11-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是 ．    【答案】 【解析】∵点P是上第一象限内任意一点且，∴，设直线OP的斜率为k，则． 由可得，故，∴， ∵，故， ∴，解得， ∵对任意的恒成立，故， 整理得到对任意的恒成立， 故只需，即，即，故离心率e最小值为． 故答案为： 【典例11-2】（2024·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 【答案】6 【解析】圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又 当时，取得最大值， 的最大值为： ， 故答案为：． 【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】. 【解析】设点， 由得点，而点P为椭圆上的任意一点， 于是得，整理得：， 所以点M的轨迹方程是. 故答案为: 【变式11-2】（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【解析】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：， 两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 【变式11-3】（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C：的准线为l，圆E：，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】抛物线C：的准线为，焦点 圆E：，圆心，半径， 由抛物线的定义知，所以， 由圆的性质知，即 所以，当且仅当三点共线时，等号成立. 又，所以 故答案为：4. 【变式11-4】（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则 . 【答案】/0.5 【解析】设坐标分别为， 又点都在抛物线上， 则， 则， 同理， 所以. 故答案为：. ③数形结合思想 【典例12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 . 【答案】/ 【解析】由题意可得，， ， ，， 为双曲线右支上一点， ， 又 ， ， 则的周长为． 故答案为：． 【典例12-2】（2024·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . 【答案】 【解析】 由双曲线的定义可得， 所以取的中点，连接, 又因为为等边三角形， 则, 在直角三角形中，, 即， 解得：，即， 故答案为：. 【变式12-1】（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】 由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则， ∴，，， ． 故答案为： 【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ． 【答案】/ 【解析】 设，，， 根据双曲线的定义可知：， 可得， 有，解得， 在和中，由余弦定理有 ， 解得， 可得双曲线的焦距为． 故答案为：. 【变式12-3】（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为 ． 【答案】2 【解析】 依题意，的方程为，， 设垂足为P，根据三角函数对应关系，,， 因为，的方程为，即， 则，故， 因为点F，A关于直线对称，， 又，关于y轴对称，所以的倾斜角为， 故，则，则， 所以离心率． 故答案为：. 【变式12-4】（2024·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式12-5】（2024·全国·高三专题练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 【解析】由题意可得，， 所以, 因为， 所以; 因为， 所以. 故答案为：11. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$