第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试卷-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D. 2．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（    ） A．5 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【解析】因为椭圆的面积为，所以，所以， 因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以， 所以由椭圆的定义得，解得，所以，解得， 所以椭圆的短半轴长为. 故选：D. 3．已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是椭圆上一点，且， 所以，解得，所以椭圆方程为， 又点是椭圆上一点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 4．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 6．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 7．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，直线的方程为即， 联立解得，所以，从而， 的周长为，面积为， 又，所以. 故选：A 8．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立，得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【解析】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 10．下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 【答案】ABD 【解析】把曲线中的同时换成， 方程变仍为，所以曲线关于轴对称，故A对； 把曲线中的，同时换成， 方程变仍为，所以曲线关于原点对称，故B对； 把曲线中的，同时换成， 方程变为：，所以曲线不关于直线对称，故C错； 由可得，， 所以所围成的图形的面积小于12，故D对， 故选：ABD 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【解析】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下： 对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 13．已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】如图，设圆的半径为，则； 又到的距离为，则到的距离为. 所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为， 则 14．定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【解析】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确； 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即0，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确； 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即， 所以，所以③错误； 对于④，因为，所以 ， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以④正确． 故答案为：①②④． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【解析】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 16．（15分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【解析】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴ 17．（15分） 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【解析】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 【解析】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为， 过点作的平行线，方程为， 设该平行线与交于点，与轴交于点， 联立，解得，故， 中，令得，故， 则围成的三角形为，其面积为； （2）设直线， ∵直线与圆相切， ∴，故， 联立与得， ， 设，则， ， 所以， 故OPOQ. （3）当直线⊥轴时，，， 则，故到直线的距离为， 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得，所以， 同理可得， 设O到直线的距离为，因为ON， 所以， 由于， 故 ， 所以， 综上，O到直线的距离是定值. 19．（17分） 阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P(4,0)， 则，得，又， 所以，所以， 所以椭圆C的方程为. 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即； （2）由题意，设点Q的坐标为(,)， 因为点Q在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得， 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上. 当时，T是线段MN的中点， 设，直线MN的斜率为， 则，两式相减，整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（    ） A．5 B．4 C．6 D．2 3．已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 6．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 10．下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 13．已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为 . 14．定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 16．（15分） 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 17．（15分） 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 19．（17分） 阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$