精品解析：山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年九年级上学期期中学情评估数学试题

山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年 九年级上学期期中学情评估数学试题 一、选择题（共10题，共30.0分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. －2 C. 6 D. 2 2. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7. 已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共5题，共15.0分） 11. 如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为，若菱形的边长为，，则______cm． 12. 如图，将绕顶点B顺时针旋转30°得到，点C刚好落在边AD上，若，则_________°． 13. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 14. 已知二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________；不等式的解集是________；当________时，随的增大而减小． 15. 如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______． 三、解答题（共8题，共75.0分） 16. 在关于x、y的二元一次方程y＝kx+b中，当x＝2时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝9． （1）求k、b的值； （2）当x＝5时，求y的值． 17. 已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)． (1)求a的值； (2)当x＝3时，求y的值； (3)说出此二次函数的三条性质． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 19. 如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，． （1）线段，的关系是_____； （2）如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； （3）如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； （4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 20. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … 0 2 6 … y … … （3）结合图象，当时，y的取值范围 ． （4）结合图象及所学习的知识，估算的两个根为 （精确到，误差不超过）． 21. 解方程组： 22. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为乙看错了方程组中的b，得到的解为. (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的解． 23. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得的面积是面积的2倍，求点P的坐标以及的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年 九年级上学期期中学情评估数学试题 一、选择题（共10题，共30.0分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. －2 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程在一般形式（a，b，c是常数且）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形旋转对称性，用除以计算即可得解． 【详解】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设木长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺可得，根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺可得，由此即可得到答案． 【详解】解：设木长为x尺，绳子长为y尺， 由题意可得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 5. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 6. 小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：，且x，y为正整数， 符合条件的整数解有： 故共有3种购买方案， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用及解得情况；解题定关键是找到一元二次方程的整数解． 7. 已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当时，，当时，代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ∴， 整理得：， 若，则，故A不符合题意； 若，则，故B不符合题意； 若，则，故C符合题意； 若，则，故D不符合题意； 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选D． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可． 【详解】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40）， 设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40， 将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40， 解得：a＝， ∴h＝（t﹣3）2+40． ①∵顶点为（3，40）， ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确； ③令h＝20，则20＝（t﹣3）2+40， 解得t＝3±，故③错误； ④令t＝2，则h＝（2﹣3）2+40＝m，故④错误． 综上，正确的有①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（共5题，共15.0分） 11. 如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为，若菱形的边长为，，则______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，交于点M，利用轴对称图形和菱形对角线互相垂直平分的性质可知，再由平行线分线段成比例可得F是中点，E是中点，于是是的中位线，因此，在中利用勾股定理求得即可； 【详解】解：如下图，连接，，交于点M， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵菱形的对角线互相垂直平分，对角相等， ∴，， ∴， ∵M是中点，， ∴， ∴F是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵菱形的每一条对角线平分一组对角，， ∴， 中，，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线和勾股定理等知识；综合性较强，利用菱形对角线的性质作辅助线是解题关键． 12. 如图，将绕顶点B顺时针旋转30°得到，点C刚好落在边AD上，若，则_________°． 【答案】47 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝75°，由外角的性质可求解． 【详解】解：∵将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE， ∴AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E， ∴∠BAC＝∠BCA＝75°， ∵∠ACB＝∠D＋∠DBC， ∴∠D＝∠E=75°−28°＝47°， 故答案为：47． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可） 【解析】 【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得． 【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________；不等式的解集是________；当________时，随的增大而减小． 【答案】 ①. 或 ②. ③. 【解析】 【分析】根据二次函数y=-x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式-x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵对称轴为x=1，一个根为3， ∴ =1， ∴x=-1， ∴-x2+2x+m=0的根为x1=-1，x2=3， ∴不等式-x2+2x+m＞0的解集是-1＜x＜3， 当x＞1时，y随x的而减小． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组），解题关键是利用对称轴求得函数图象与x轴的交点坐标，然后由图象解不等式，此题锻炼了学生数形结合的思想方法． 15. 如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出P1∼P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题． 【详解】解：第一次P1 (2，1)， 第二次P2(4，1)， 第三次P3(7，2)， 第四次P4(11，2)， 第五次P5(14，1)， …… 发现点P的位置4次一个循环 ∵2022÷4＝505……2 ∴P2022的纵坐标与P2相同为1，横坐标为4+4×3×505＝6064 ∴P2022 (6064，1) 故答案为：(6064，1)． 【点睛】本题考查坐标规律问题，由前面几个点的坐标寻找出规律是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75.0分） 16. 在关于x、y的二元一次方程y＝kx+b中，当x＝2时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝9． （1）求k、b的值； （2）当x＝5时，求y的值． 【答案】（1）；（2）y＝﹣3． 【解析】 【分析】（1）把已知x、y的对应值代入二元一次方程y=kx+b中，求出k、b的值即可； （2）根据（1）中k、b的值得出关于x、y的二元一次方程，把x=5代入方程求出y值． 【详解】解：（1）由题意，得 解得 ； （2）把代入y＝kx+b，得y＝﹣2x+7 当x＝5时，y＝﹣2×5+7＝﹣10+7＝﹣3． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，先根据题意得出k、b的值是解答此题的关键． 17. 已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)． (1)求a的值； (2)当x＝3时，求y的值； (3)说出此二次函数的三条性质． 【答案】(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一， 【解析】 【详解】试题分析：抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析. 解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)， ∴a·1＝3.∴a＝3. (2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27. (3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，即为所作； 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据旋转可得出确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，． （1）线段，的关系是_____； （2）如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； （3）如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； （4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】（1）； （2）； （3） 当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∴， ，， ， ； （4）． 【解析】 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， ∵， ， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：略． 【小问4详解】 解：如图，设交于点， ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 20. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … 0 2 6 … y … … （3）结合图象，当时，y的取值范围 ． （4）结合图象及所学习的知识，估算的两个根为 （精确到，误差不超过）． 【答案】（1） （2） 解：列表： x … 0 2 4 6 … y … 6 6 … 函数图象如图所示： ； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （3）根据函数图象回答即可； （4）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数图象可知：当时，y的取值范围． 故答案为：． 【小问4详解】 由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在5和6之间． 当时，；当时，； 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 故一元二次方程的近似根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，图象法求一元二次方程的近似根，利用函数图象求得相应的一元二次方程的解是解题的关键． 21. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法解二元一次方程组，解决问题的关键是消元．首先由①得到③，把③代入②得到关于的一元一次方程求出，再把代入③求出即可． 【详解】解： ， 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解为： ． 22. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为乙看错了方程组中的b，得到的解为. (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可； （2）将a与b的值代入方程组，求出解即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：； （2）把代入方程组得：， 解得：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 23. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得的面积是面积的2倍，求点P的坐标以及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入，求出b和c的值，即可得出抛物线表达式； （2）易得，则，进而得出，求出时自变量的值，则 ，连接，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴， 把代入得， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 即， 解得：， ∵点P在第三象限， ∴， 把代入得， 解得：（舍去）， ∴， 连接， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $