2025年河北省九年级中考数学一轮复习考点突破课件：实数

实 数 第一节 实 数 ■考点一 实数的分类（8 年 1 考） 按 定 义 分 有理数 按大小分：正实数、0、负实数 整数 正整数 0 负整数 自然数 分数 正分数 负分数 有限小数或无限①_____小数 无理数 正无理数 负无理数 ②______________ 小数 循环 无限不循环 第一节 实 数 1. 常见的四种无理数形式：（1） π 及化简后含 π 的 数，如 3π，③_______ 等；（2）有规律的无限不循环小数，如0.505 005 000 5…（每相邻两个 5 之间依次多一个 0）； （3）开方开不尽的方根，如④___________ 等； （4）含有根号的三角函数值，如⑤____________________ 等. 2. 具有相反意义的量的表示：一般地，对于具有相反意义的量，若规定其中一个量为正，并在表示这个量的前面放上“+”，则把与它意义相反的量规定为负，并在表示这个量的前面放上⑥“______”.如规定上升 5 m 为“+5 m”，则下降10 m 为⑦“_______”. 满分备考 π-4 tan30°，sin45° - -10 m 第一节 实 数 1. 判断无理数时，不要只看形式，应化简到最终结果再判断，如 不是无理数.所有的分数都是有理数. 2. -a 不一定是负数，如-（-5）=5，遇到-a 要进行分类讨论. 3. 既不是正数也不是负数的数是⑧______.非负数包括⑨__________.最小的正整数是 1，最小的自然数是 0，最大的负整数是-1. 失分警示 0 0 和正数 第一节 实 数 ■考点二 实数的相关概念（8 年 7 考） 数 轴 （2）⑬________ 与数轴上的点一一对应. （3）如图，A，B 两点之间的距离为⑭_______，线段 AB 的 中点 C 对应的实数为⑮______ （1）数轴三要素：⑩_______、⑪_________、⑫____________. 原点 正方向 单位长度 实数 ｜a-b｜ 第一节 实 数 1. 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向. 2. 到数轴上某一点距离相等的点有两个，分别位于该点两侧. 3. 求数轴上两点间的距离，且有动点时，要分情况讨论. 满分备考 第一节 实 数 相 反 数 （1）只有⑯_______ 不同的两个数互为相反数.非零实数 a 的相反数是-a.特别地，0 的相反数是 0. （2）实数 a，b 互为相反数圳a+b ⑰_______， =⑱_______. （3）几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的⑲_____，且到原点的距离⑳_____. 符号 0 -1 两侧 相等 第一节 实 数 绝 对 值 （1）代数意义： a = （2）几何意义：数轴上表示一个数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作㉕________，离原点越远的点表示的数的绝对值越大. 互为相反数的两个数的绝对值相等，绝对值相等的两个数相等或互为相反数.绝对值具有非负性，即 ｜a｜ ㉔________. 失分警示 a 0 -a ≥0 ｜a｜ 第一节 实 数 倒 数 （1）意义：乘积是㉖______ 的两个数互为倒数. （2）ab=㉗______ a，b 互为倒数. （3）倒数是其本身的数是㉘_____，㉙____ 没有倒数 非零实数 a 的倒数是㉚_____；分数 的倒数是㉛______；求小数的倒数，要先把小数化为分数. 满分备考 b a 1 1 ±1 0 第一节 实 数 一题串考点 观察如图所示的数轴，回答下面的问题： （1）点 A，B 所表示的有理数分别为 A：______，B：______； （2）在数轴上，到点 A 的距离为 2 个单位长度的点所表示的数为 ______； （3）经过折叠，点 A 与表示-3 的点重合，则点 B 与表示数 ______ 的点重合； （4）若数轴上 M，N 两点之间的距离为 11 个单位长度（点 M 在点 N 的左侧），且 M，N 两点经过（3）中折叠后重合，则 M，N 两点表示的数分别为 __________； 1 -4 -1 或 3 2 -6.5，4.5 第一节 实 数 （5）数轴上表示互为相反数的两个数的点是 ____________________________； （6）这几个点表示的数的绝对值最大的是点 ________，它表示的数的倒数是 _________； （7）若数轴上有一动点 P，其对应的数为 x．①若点 P 为 GF 的中点，则点 P 对应的数是 ______； ②若点 G、点 F 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 0.5 个单位长度的速度同时向右运动，同时点 P以每秒 6 个单位长度的速度从表示数 1 的点向左运动．当点 G 与点 F 之间的距离为 3 个单位长度时，直接写出点 P 对应的数为 _________. 点 A 和点 G、点 C 和点 D B 1 -3 或-27 第一节 实 数 ■考点三 科学记数法（8 年 7 考） 确定 a 的值：a是整数位数只有一位的数. 1. 定义：把一个数表示成 a×10n 的形式（1≤ a ＜10，n 为整数）. 如：985 000=㉜___________，0.000 211=㉝____________. 2.表 示方法 确定 n的 值 负数同样可用科学记数法表示，只是前面多一个负号． 失分警示 数绝对值≥10， n 为正整数， n=原数的整数位数-1. n=原数变为 a 时，小数点移动的位数. 9.85×105 2.11×10-4 第一节 实 数 先把计数（量）单位转化为数字表示，再用科学记数法表示. 常见计数单位：1 万=㉞_______，1 亿=㉟________ 常见计量单位：1 mm=10-3 m，1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m 等. 2.表 示方法 确定 n的 值 0＜原数绝对值＜1， n 为负整数， ｜n｜ =原数左起第一个非零数字前面所有零 的个数（含小数点前面的零）. ｜n｜ =原数变为 a 时，小数点移动的位数. 3. 含有计数（量）单位的数的表示方法 104 108 第一节 实 数 n>0，a 的小数点向右移动 n 位，如 6.5×105 还原为原数为㊱________. n<0，a 的小数点向左移动｜n｜位，不够的数位用 0 补齐. 如 6.5×10-5 还原为原数为㊲_____________. 4.把用科学记数法表示的数 a× 10n 还原 分数表示成科学记数法形式：（1）先化成小数再表示；（2）先 分离出分子整除分母的部分，将分母剩余部分表示成科学记数法的 形式，再结合 =a-p，表示成科学记数法的形式.如： 3×10-3. 满分备考 650 000 0.000 065 第一节 实 数 ■考点四 近 似 数 接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，常采用四舍五入法得到一个数的近似数.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.如 0.125 3，精确到㊳_______，是 0.13，精确到 0.001，是㊴______. 0.01 0.125 第一节 实 数 ■考点五 平方根、算术平方根、立方根（8 年 2 考） 平方根 算术平方根 立方根 定义 实数 a（a≥0）的平方根为± 实数 a（a≥0）的算术平方根为 ，0 的算术平方根为0 实数 a 的立方根为 被开方数 大于或等于 0 任意实数 任意实数 正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根是 0 只有一个（非负数） 只有一个，符号与被开方数相同 第一节 实 数 续表 平方根 算术平方根 立方根 特殊情况 平方根等于本身的数是㊵_____ 算术平方根等于其本身的数是㊶______ 立方根等于其本身的数是㊷_____ 举例 16 的平方根为㊸______ 16 的算术平方根为㊹______________ 64 的立方根为㊺_____ 0 ±4 0 和 1 4 -1，0 和 1 4 第一节 实 数 ■考点六 实数的大小比较（8 年 2 考） 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数㊻______；（最关键的是在数轴上正确表示数） 距离数轴原点越远的数，绝对值越大. 1. 数轴比较法 2. 性质比较法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而㊼_______；如：∵ ｜-5｜ ＞ ｜-3｜ ，∴-5＜-3. 3. 作差比较法：①a-b＞0 a＞b；②a-b=0 a=b；③a-b＜0 a＜b. 4. 平方比较法：a2＞b a＞ （a＞0，b＞0）（常应用在无理数估值及含有无理数的大小比较中）. 大 小 第一节 实 数 5. 作商法：若 a＞0，b＞0，则① ＞1 a＞b；② =1 a=b；③ ＜1 a＜b. 6. 倒数法：若 ab＞0（a，b 同号），则 a＞b. 7. 特殊值法：当含有字母时，给字母取特殊值更加方便快捷 第一节 实 数 ■考点七 实数的运算（必考） 1. 运算法则 加法 同号两数相加 取相同的符号，再把㊽_______ 相加. 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值㊾_______ 较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加和为 0；一个数同 0 相加，仍得这个数. ㊿______，表示 n 个 a 相加. 绝对值 减去 an 第一节 实 数 乘法 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. 两数相乘，同号得 ______，异号得 _____，并把绝对值相乘. 任何数与 0 相乘都得 ______. 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的 ______.如 a÷b=a× （b≠0）。 减法转化为加法时，减数一定要变符号. 满分备考 正 负 0 倒数 第一节 实 数 （b-c）÷a=b÷a-c÷a（a≠0）能运用分配律，a÷（b-c）不能用分配律. 失分警示 2. 运算律 加法 交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法 交换律：ab=ba 结合律：（ab）c=a（bc） 乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac 第一节 实 数 3. 常见实数运算 法则 乘方 几个相同因数的积的运算. 正数的任何次幂都是正数；0 的任 何正数次幂是 0；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. 第一节 实 数 续表 零次幂 任何非零实数的零次幂都为 1，即 a0=1（a≠0）. 计算题中看到零次幂，直接在原符号后写 1. 负整数指数幂 （a≠0，p 为正整数） 该运算要防止出现此类错误： 去绝对值符号 ±a 第一节 实 数 续表 常见的开方 特殊角的三角 函数值 详情见第四章第五节. 第一节 实 数 4. 实数混合运算的一般顺序 第一节 实 数 5. 简便运算 （1）凑整法：利用交换律、结合律和分配律把算式中的所有小数或分数凑成整数. 第一节 实 数 （2）凑十、凑百法：应用平方差公式或完全平方公式把个位不为 0 的整数凑成整十、整百、整千数等. 第一节 实 数 一题串考点 计算： 第一节 实 数 第一节 实 数 ■考点八 非负数的和 1. 常见的非负数： ｜a｜， （a≥0），a2，这里 a 可表示一个数或式子，最小的非负数是 0. 2. 非负数的和 若几个非负数的和为 0，则这几个非负数分别为 0. 如：若 ｜a｜+b2+ =0，则 ｜a｜=b2= =0，进而可得 a=b=c=0. ■题型一 实数的有关概念（8 年 5 考） 素养指导 第一节 实 数 1 ［创新意识］［2019·河北 2 题］规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记作 （ ） A． +3 B． -3 C． - D． + 2 ［2017·河北 1 题］下列运算结果为正数的是 （ ） A．（-3）2 B． -3÷2 C． 0×（-2 017） D． 2-3 第一节 实 数 B A 3 ［2017·河北 6 题］如图为张小亮的答卷，他的得分应是 （ ） A． 100 分 B． 80 分 C． 60 分 D． 40 分 4 ［2016·河北 1 题］计算：－（－１）＝ （ ） A. ±1 B. -2 C. -1 D. 1 第一节 实 数 B D ■题型二 实数与数轴（8 年 5 考） 素养指导 1. 数轴上表示一个实数的点到原点的距离就是这个数的绝对值，绝对值是一个长度值，不能为负数. 2. 表示一对互为相反数的数的点在数轴上分别位于原点两侧，且到原点的距离相等，即这两点关于原点对称. 第一节 实 数 1 ［推理能力］［2021·河北 11 题］如图，将数轴上-6 与 6 两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是 （ ） A. a3＞0 B. ｜a1｜=｜a4｜ C. a1+a2+a3+a4+a5=0 D. a2+a5＜0 第一节 实 数 C 子题衍生 （1）a4=_________； （2）计算：a1-a4-a3-a2÷a5=_________． 第一节 实 数 2 2 ［2017·河北 20 题］在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中 AB=2，BC=1，如图所示，设点 A，B，C 所对应数的和是 p． （1）若以点 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以点 C 为原点，p 又是多少？ （2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p． 第一节 实 数 第一节 实 数 解：（1）若以点 B 为原点，则点 C 对应的数为 1，点 A 对应的数为-2，∴p=1+0+（-2）=-1；若以点 C 为原点，则点 A 对应的数为-3，点 B 对应的数为-1， ∴p=-3+（-1）+0=-4； （2）若原点 O 在题图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，则点 C 对应的数为-28，点 B 对应的数为-29，点 A 对应的数为-3１，∴p=-31+（-29）+（-28）=-88． 3 ［2016·河北 11 题］点 Ａ，Ｂ 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 ａ 和 ｂ.对于以下结论： 甲：ｂ－ａ＜０；乙：ａ＋ｂ＞０；丙：｜ａ｜＜｜ｂ｜；丁： ＞０.其中正确的是 （ ） Ａ． 甲乙 Ｂ． 丙丁 Ｃ． 甲丙 Ｄ． 乙丁 第一节 实 数 C ■题型三 科学记数法（8 年 7 考，仅 2016 年未考） 素养指导 第一节 实 数 1 ［2023·河北 10 题］光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 9.46×1012 km，下列正确的是 （ ） A． 9.46×1012-10=9.46×1011 B． 9.46×1012-0.46=9×1012 C． 9.46×1012 是一个 12 位数 D． 9.46×1012 是一个 13 位数 第一节 实 数 D 子题衍生 我们肉眼看到的星星，几乎都是银河系里的成员，银河系的直径大约是 10 万光年．银河系的直径约为 _______________ km（精确到 1015 km）. 第一节 实 数 9.46×1017 2 ［2022·河北 6 题］某正方形广场的边长为 4×102 m，其面积用科学记数法表示为 （ ） Ａ． 4×104 m2 B. 16×104 m2 C. 1.6×105 m2 D. 1.6×104 m2 仿真再练一 北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是 1 850 万米．数“1 850 万”用科学记数法表示为 （ ） A． 1.85×107 B． 0.185×109 C． 1.85×108 D． 18.5×107 第一节 实 数 C A 3 ［运算能力］［2020·河北 13 题］已知光速为 300 000 km/s，光经过 t s（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n km，则 n 可能为 （ ） A． 5 B． 6 C． 5 或 6 D． 5 或 6 或 7 4 ［2019·河北 ８ 题］一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为 （ ） A． 5×10-4 B． 5×10-5 C． 2×10-4 D． 2×10-5 第一节 实 数 C D 仿真再练二 ［2023·承德八校联考］某种病毒的直径约为 nm， 用科学记数法表示为 a×10n，下列有关 a，n 的说法正确的是 （ ） A． a 为整数，n 为正数 B． a 为整数，n 为负数 C． a 为小数，n 为正数 D． a 为小数，n 为负数 第一节 实 数 D 5 ［2018·河北 2 题］一个整数 815 550…0 用科学记数法表示为 8.155 5×1010，则原数中“0”的个数为（ ） A． 4 B． 6 C． 7 D． 10 6 ［2017·河北 2 题］把 0.081 3 写成 a×10n（1≤a＜10，n 为整数）的形式，则 a 为 （ ） A． 1 B． -2 C． 0.813 D． 8.13 第一节 实 数 B D ■题型四 平方根、算术平方根、立方根（8 年 2 考） 素养指导 所有数都有立方根，且与原数同号. 1 ［2016·河北 17 题］8 的立方根为 ________. 第一节 实 数 2 ■题型五 实数的运算（必考） 素养指导 实数运算有“三个关键”. 1． 运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，零指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2． 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3． 运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 第一节 实 数 1 ［2022 河北 3 题］与 相等的是 （ ） 2 ［2021·河北 5 题］能与 相加得 0 的是 （ ） 3 ［2021·河北 9 题］若 取 1.442 ，计算 - 3 -98 的结果是 （ ） A. -100 B. -144.2 C. 144.2 D. -0.014 42 第一节 实 数 A C B 4 ［2017·河北 12 题］如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是 （ ） 第一节 实 数 • • D 5 ［2020·河北 20 题］已知两个有理数：-9 和 5． （1）计算： ； （2）若再添一个负整数 m，且-9，5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m，求 m 的值． 第一节 实 数 解：（1） （2）根据题意，得 ＜m，∴-4+m＜3m，∴m-3m＜4，∴-2m＜4，∴m＞-2，∵m 是负整数，∴m=-1． 6 ［2019·河北 20 题］有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2-6-9； （2）若 1÷2×6□9＝－6，请推算□内的符号； （3）若“1□2□6－9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 第一节 实 数 解：（1）1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12； （2）∵1÷2×6□9=-6，∴1× ×6□9=-6， ∴3□9=-6，∴□内的符号是“-”； （3）这个最小数是-20. 1 2 7 ［2016·河北 20 题］ 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 第一节 实 数 (1)999×(-15); 第一节 实 数 =（1 000-1）×（-15）=1 000×（-15）+15=-15 000+15=-14 985； $$