14.2.1 平方差公式 教学设计 2024—2025学年人教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 14.2.1平方差公式 教学目标 1. 会推导平方差公式,掌握平方差公式的结构特征,了解其几何意义,并能熟练运用公式进行简单计算; 2. 经历平方差公式的推导过程,体会公式探究的一般方法,培养学生初步概括能力,并能用公式解决问题,培养逻辑推理能力及运算能力; 3.了解特殊到一般的认识规律,体会类比与数形结合的数学思想. 教学重难点 教学重点： 平方差公式的推导及运用. 教学难点： 平方差公式的结构特点和灵活运用. 教学过程 学科网（北京）股份有限公司 活动1：复习引入 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 活动2：新知探究 1.计算下列多项式的积,你能发现什么规律？ ①(x+ 1)( x－1）= _____________； ②（m＋2)( m－2）=_______________； ③(2m＋1)(2m－1）=____________； ④（3＋x)(3－x）=______________. 想一想：这些计算结果有什么特点？ 大胆猜想： 活动3：新知得出 1.推导并得出公式： (a+b)(a−b)=_________,即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________. 2.剖析式子的结构特征： ①相同项a与相反项b； ②这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． 3.几何意义： 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形,你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？ 剩余部分的面积为：____________ 新长方形的面积为：__________ 得出结论：___________ 活动4：典例分析 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2)(3x-2) ； (2) (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y). 分析: (1)(3x＋2)(3x - 2)= (3x)2-22 =9x2-4； ( a + b ) ( a - b ) = a2-b2 解：(1)(3x＋2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4； (2)(b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b (3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 = x2-4y2 另解： (3) (-x+2y)(-x-2y) =(x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2 = x2-4y2 例2 计算 (1) 102×98 (2)(y+2)(y -2)-(y -1)(y+5) 解：(1)102×98 =(100+2)×(100-2) =1002 - 22 =10000-4 =9996 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5) =y2 – 22- (y2 +4y-5) =y2 - 4- y2 -4y+5 =-4y+1 方法总结: 1．首先判断是否符合公式的形式,或经过简单变形是否可以构造出合适的形式； 2．计算时找准式子中的a和b； 3．注意括号的正确使用. 活动5：学以致用 1．下面各式的计算对不对？如果不对,应当怎样改正？ (1)(x+2)(x-2)=x2-2 不对 改正：(x+2)(x-2)=x2-4 (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 改法1： (-3a-2)(3a-2)= -[(3a+2)(3a-2)]= -(9a2-4)= -9a2+4 改法2： (-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a29 2．利用平方差公式计算： (1)(a+3b)(a-3b)=a2-(3b)2 = a2-9b2 (2)(3+2a)(-3+2a)=(2a+3)(2a-3)= (2a)2 -9= 4a2-9 (3)51×49=(50+1)(50-1)=502-12 = 2500-1=2499 (4)(-2x2-y)(-2x2+y)= (-2 x2)2 - y2=4y4- y2 (5)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= 9x2-16-(6x2+5x -6)=3x2-5x- 10. 活动6：归纳总结 知识层面 1．平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 2．两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 3．几何解释 注意： 1．紧紧抓住 “一同一反”这一特征 ； 2．对于不能直接应用公式的,需经过适当变形方可使用. 思想方法 从特殊到一般 类比思想 数形结合 探究过程 特殊例子 大胆猜想 推导验证 得出公式 灵活应用 课后作业 (见作业练习) $$