14.2.1 平方差公式 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.2.1 平方差公式 年 级：八年级 学 科：数学（人教版） 1 小强去商店买了9.8千克的食品，每千克是10.2元，结账时，售货员正准备用计算器计算时，小强直接就说出了答案，是99.96元. 生活中的学问 你知道小强是怎么做到的吗？你能快速算出答案吗？ 2 学习目标 能推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算和推理. 经历计算、观察、猜想、验证等探究平方差公式的过程，发展推理能力，领悟由一般到特殊、数形结合的思想方法，积累数学活动经验. 理解平方差公式的结构特征及公式中字母的广泛含义，能够灵活运用平方差公式进行计算，体会平方差公式在简化运算中所起的作用． 3 上一节课，我们学习了多项式与多项式相乘，你能说说它的运算法则吗？ 温故知新 问题1： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(p+q) = ap +aq +bp +bq 4 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 探究新知——推导公式 问题2： （1）(x + 1)(x - 1)= 　 ； （2）(m + 2)(m - 2)= ； （3）(2x + 1)(2x - 1)= 　． （4）(3m + n)(3m - n)= 　． 4x2 -1 x2 -1 m2 -4 9m2 -n2 两个数的和与这两个数的差的积 这两个数的 平方差 5 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 探究新知——推导公式 问题2： （1）(x + 1)(x - 1)= 　 ； （2）(m + 2)(m - 2)= ； （3）(2x + 1)(2x - 1)= 　． （4）(3m + n)(3m - n)= 　． 4x2 -1 x2 -1 m2 -4 9m2 -n2 两个数的和与这两个数的差的积,等于 这两个数的平方差. 文字描述: 符号语言: (a+b)(a-b)=a2-b2 从特殊到一般 6 你能利用我们学过的多项式的乘法验证等式 的正确性吗？ 探究新知——推导公式 问题3： (a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 = a2-b2 (a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq (a+b)(a -b)=a2 - b2 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积,等于 这两个数的平方差. 文字语言: 一般到特殊 “数” 代数 7 平方差公式的结构特征 (a+b)(a-b)= a2 - b2 相同项 互为相反数的项 (相同项)2－(相反项)2 两个二项式相乘 公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 8 如何从几何角度去验证平方差公式呢？ 下图是一个边长为 a 的大正方形,剪下一个边长 为 b 的小正方形. 怎样表示它剩下的面积 ？ 平方差公式的几何背景 问题4： b a a b 大减小求面积为： _________________ a2－ b2 9 平方差公式的几何背景 b a a b a-b b b a b 大减小求面积为：_________________ 割补法求面积为：_________________ (a + b)(a－ b) (a+b)(a－ b)= a2－ b2 a2－ b2 10 平方差公式的几何背景 b a a b (2a + 2b)(a－ b) a2－ b2 b a b a a-b (a+b)(a－ b) = a2－ b2 = 11 平方差公式的几何背景 b a a b (a+b)(a－ b)= a2－ b2 b a-b a b a 12 平方差公式的几何背景 b a a b (a+b)(a－ b)= a2－ b2 a b a-b 13 平方差公式的几何背景 b a a b (a+b)(a-b)= a2- b2 b a-b a b a b a b a a-b a-b b b a b “形” 几何 a b a-b 14 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 辨析公式 C 分析：使用平方差公式的前提条件是，相乘的两个多项式的项必须是一项相同，另一项互为相反数，否则不能使用. 平方差公式的应用 （1）(3x+2)(3x-2) 在(1)中，可以将( )看作a，将( )看作b，等于( )2-( )2. 解：（1）(3x+2)(3x-2) = (3x)2-22 = 9x2-4 3x 2 3x 2 例1 运用平方差公式计算： 此处为3x整体的平方，结果是9x2. 分析：运用平方差公式计算时，关键是找相同项和互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方. （2）(-x+2y)(-x-2y) 16 平方差公式的应用 （2）(-x+2y)(-x-2y) 在(2)中，可以将( )看作a，将( )看作b，等于( )2-( )2. 解：（2）(-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2 -x 2y -x 2y 例1 运用平方差公式计算： 17 平方差公式的应用 例2 计算： (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 解：(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22- (y2+4y-5) = y2-4- y2-4y+5 = -4y+1 总结：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行. 符合平方差公式 乘法法则 18 生活中的学问 小强去商店买了9.8千克的食品，每千克是10.2元，结账时，售货员正准备用计算器计算时，小强直接就说出了答案，是99.96元. 10.2×9.8 练一练：998×1002 998×1002 = (1000-2)×(1000+2) = 10002-22 = 999996 =(10+0.2)×(10-0.2) =102-0.22 = 99.96 19 平方差公式的应用 巩固练习： 运用平方差公式计算： (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 20 能力提升——平方差公式的应用 例3：运用平方差公式进行计算： 解:原式= (a2-4)(a2+4) = a4-16. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) = x8-y8. (1)（a-2)(a+2)(a2 + 4) 21 拓展延伸——平方差公式的应用 例4：运用平方差公式进行计算. 解:原式= (999+1)(999-1) = 1000×998 = 998000 (2) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) = (24-1)(24+1)(28+1) (1) 9992-1 = (28-1)(28+1) = 216-1 22 归纳总结 想一想，我们这节课学习了哪些知识？ 23 归纳总结 平方差公式 内容 推导 两个数的和与这两个数的差的积,等于 这两个数的平方差. 文字语言: 符号语言: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 一般到特殊 p=a,q=-b 代数: 几何： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 应用 数形结合 作用: 可以简化运算. 左边一项是“相同项”，另一项是“相反项” 结构特征: 右边是“相同项”的平方减去“相反项”的平方 24 自我检测 2．填空： (1) (5a+2b) (　 　)＝25a2﹣4b2； (2) (2x+y)(　 　)＝y2﹣4x2； (3) (　 　)(a﹣1)＝1﹣a2． 3．已知a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则3a+3b＝　 　． 4. 简便计算：2021×2023﹣20222． 1．下面式子计算正确的是（　　） A．(x﹣2)(x+2)＝x2﹣2 B．(3x+2)(3x﹣2)＝3x2﹣4 C．(﹣2x+3y)(﹣2x﹣3y)＝4x2﹣9y2 D．﹣(a﹣b)(a+b)＝﹣a2﹣b2 C 5a-2b y-2x -1-a 6 4. 2021×2023﹣20222． =（2022﹣1)(2022+1)-20222 = 20222﹣1﹣20222 = ﹣1 25 必做题： 1. 下列计算正确的是( ) A.(2x+3)(2x-3)=2x2-9 B.(x+4)(x-4)=x2-4 C.(5+x)(x-6)=x2-30 D.(-1+4b)(-1-4b)=1-16b2 2. 课本112页 习题14.2 第1题 课后作业 选做题： 3. 若 (a + b - 1)(a + b + 1) - 4 = 0，则a + b的值为_____． 4. 阅读下列材料： 某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4+1)(42+1)＝(4-1)(4+1)(42+1)＝(42-1)(42+1)＝162-1． 请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值： $$