14.2.1 平方差公式 教学设计 2024—2025学年人教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 14.2.1 平方差公式 教学目标 1.能推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算和推理. 2.经历计算、观察、猜想、验证等探究平方差公式的过程，发展推理能力，领悟由一般到特殊、数形结合的思想方法，积累数学活动经验. 3.理解平方差公式的结构特征及公式中字母的广泛含义，能够灵活运用平方差公式进行计算，体会平方差公式在简化运算中所起的作用． 教学重难点 教学重点： 1. 探究平方差公式，了解平方差公式的几何背景． 2. 剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式进行计算. 教学难点： 理解平方差公式的结构特征及公式中字母的广泛含义，能够灵活运用平方差公式进行计算． 教学过程 （一）创设情境，引入新课 小强去商店买了9.8千克的食品，每千克是10.2元，结账时，售货员正准备用计算器计算时，小强直接就说出了答案，是99.96元. 你知道小强是怎么做到的吗？你能快速算出答案吗？ （设计意图：引用生活中的一个小情境，设置课堂悬念，激发学生的求知欲望，让学生有兴趣学习新的知识．） （二）探究新知，推导公式 问题1：上一节课，我们学习了多项式与多项式相乘，你能说说它的运算法则吗？ 师生活动：回顾多项式与多项式相乘的法则，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq. （设计意图：从学生的思维最近发展区出发，复习多项式与多项式相乘的法则，并呈现文字语言和符号语言，为问题2的探究奠定知识基础．） 问题2：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x + 1)(x - 1)= 　 ； （2）(m + 2)(m - 2)= ； （3）(2x + 1)(2x - 1)= 　； （4）(3m + n)(3m - n)= 　． 师生活动：学生计算，师生共同分析计算结果. （设计意图：让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式与多项式的乘法与本节内容的关系，为学习平方差公式作了铺垫，承上启下，让学生体会从一般到特殊的认知，四个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础.） 追问1：仔细观察计算结果与相乘的两个多项式，你发现了什么规律？ 发现：左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差. 追问2：如果分别用a、b表示这两个数，你能用式子表示你所发现的规律吗？ 猜想：(a+b)(a-b)=a2-b2. 追问3：你能用文字描述你所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括. （设计意图：让学生通过观察，发现每个算式的特点和结果的特点，挖掘式子之间的共性，发现规律，猜想公式，经历“观察——发现——猜想——归纳”的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想．） 问题3：你能利用我们学过的多项式的乘法验证等式的正确性吗？ 师生活动：学生利用多项式与多项式相乘的法则对猜想进行证明.教师总结，给出公式名称——平方差公式. 代数推导（从“数”的角度）：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 追问1：能用文字语言表述平方差公式吗？ 追问2：仔细观察，你发现平方差公式具有怎样的结构特征？ (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2) 右边是“相同项”的平方减去“相反项”的平方； (3) 公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． （设计意图：学生再次用代数方法验证平方差公式，体现数学的严谨性；由结果的简洁性体会数学公式的简洁美.用语言描述公式，锻炼学生的归纳概括能力和语言表达能力．启发学生对平方差公式的结构进行深层次的剖析，抓住“一同一反”这个特征，深入剖析平方差公式的本质，加深学生的理解，为后续的公式的灵活运用做好铺垫.） 问题4：如何从几何角度去验证平方差公式呢？ 下图是一个边长为a的大正方形,剪下一个边长为b的小正方形.怎样表示它剩下的面积？ 师生活动：学生通过割补、裁剪、拼接等方法得到不同的面积表示方法，从而验证平方差公式. （设计意图：从几何图形面积的多种表示方法入手，让学生经历从几何的角度验证平方差公式，同时了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想.） （三）辨析公式，应用新知 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 例1 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y) 在(1)中，可以将( )看作a，将( )看作b，等于( )2-( )2. 在(2)中，可以将( )看作a，将( )看作b，等于( )2-( )2. 解：（1）(3x+2)(3x-2) （2）(-x+2y)(-x-2y) =(3x)2-22 = (-x)2-(2y)2 = 9x2-4 = x2-4y2 师生活动：师生共同分析解答，教师引导学生分析判断哪一个数或式相当于公式中的a、b，确定相同项和互为相反数的项，然后按照公式写出平方差，再计算出结果. （设计意图：两道例题的设置是对平方差公式的直接运用，让学生深刻体会公式中a,b的含义，熟悉平方差公式的结构，检验学生是否理解公式的本质。） 例2 计算： (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 解：(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22- (y2+4y-5) =y2-4- y2-4y+5 =-4y+1 师生活动：师生共同分析，明确只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行. （设计意图：本题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘多项式的法则进行．） 情境问题解答——生活中的学问 小强去商店买了9.8千克的食品，每千克是10.2元，结账时，售货员正准备用计算器计算时，小强直接就说出了答案，是99.96元． 解：10.2×9.8 =(10+0.2)×(10-0.2) =102-0.22 =99.96 练一练：998×1002 （设计意图：与情境相呼应，通过解决情境问题。引出把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想．） 巩固练习： 运用平方差公式计算： (1) 51×49； (2) (3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) （设计意图：学生在整式乘法的综合应用中体会应用平方差公式进行计算时的简便性.） （四）能力提升 思维拓展 例3 运用平方差公式进行计算 (1)（a-2)(a+2)(a2+4) (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). （设计意图：通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算.） 例4 运用平方差公式进行计算 (1) 9992- 1. (2) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 师生活动：学生思考练习，教师点拨引导. （设计意图：通过题组练习，合理变形，运用转化等思想方法解决问题，达到灵活运用公式的目的，培养学生数学思维能力.） （五）归纳梳理 总结升华 想一想，我们这节课学习了哪些知识？ 师生活动：引导学生对一节课所学内容进行知识梳理. （设计意图：通过小结，学生梳理本节课所学，利于学生自主构建知识体系，理清知识之间的联系.进一步认识公式的结构特征和运用公式的注意事项，并总结研究数学问题的方法和数学思想，为以后研究数学问题提供思路和方法.） （六）自我检测 学情反馈 1．下面式子计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 C．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 D．﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2 2．填空： （1）（5a+2b） （　 　）＝25a2﹣4b2； （2）（2x+y）（　 　）＝y2﹣4x2； （3）（　 　）（a﹣1）＝1﹣a2． 3．已知a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则3a+3b＝　 　． 4．简便计算：2021×2023﹣20222． 师生活动：学生完成自我检测,教师展示答案,学生订正. （设计意图：通过让学生完成课堂自我检测，编制的检测题要指向目标的落实和思维的提升,学生完成后及时反馈答题情况，达到精准教学的目的.） （七）课后作业 提升能力 必做题： 1. 下列计算正确的是( ) A.(2x+3)(2x-3)=2x2-9 B.(x+4)(x-4)=x2-4 C.(5+x)(x-6)=x2-30 D.(-1+4b)(-1-4b)=1-16b2 2. 运用平方差公式计算：（课本112页 习题14.2 第1题） （1）（x-y)(x+y）； （2）（xy+1)(xy-1）； （3）（2a-3b)(3b+2a）； （4）（-2b-5)(2b-5）； （5）2001×1999； （6）998×1002． 选做题： 3. 若 (a + b - 1)(a + b + 1) - 4 = 0，则a + b的值为_____． 4. 阅读下列材料： 某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算： 3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162-1． 请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值： （1）（1）（1）（1）． （设计意图：作业分层布置，必做题达到熟练应用公式的目的，选做题运用整体、转化等思想方法解决问题，达到灵活运用公式的目的，培养学生数学思维能力.体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展.） 学科网（北京）股份有限公司 $$