1.1 锐角三角函数（第一课时）教学设计 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 锐角三角函数（第一课时） 教学目标 1.通过比较现实情境中梯子的陡与缓，会用不同方法刻画梯子的倾斜程度，感受数学的广泛应用，体会特殊到一般、转化等数学思想，发展抽象能力、推理能力. 2.经历探索直角三角形边角关系的过程，利用相似的直角三角形建立锐角三角函数的概念，能结合图形说明正切、正弦、余弦的含义，能准确用tanA，sinA，cosA表示直角三角形中两边的比，在已知边长的直角三角形中，会求一个锐角的正切、正弦、余弦，进一步体会研究图形的一般思路，发展抽象能力、推理能力、几何直观. 3.经历运用直角三角形边角关系解决简单问题的过程，体会锐角三角函数概念的关系性，发展推理能力、应用意识. 教学重难点 教学重点：1.建立直角三角形边角之间的关系 2.形成锐角三角函数（正切、正弦、余弦）概念 教学难点：“正切”的引入；“正切、正弦、余弦”概念的关系性与函数性 教学过程 1.1锐角三角函数 一、温故知新 让学生观察直角三角形，回顾相关知识. 设计意图：回顾直角三角形相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. 学生回顾的基础上,老师说同学们提到的这些性质都是直角三角形中同类元素之间的关系，——即角的性质，边的性质，那么直角三角形边与角之间有怎样的性质呢？有的同学说有直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半。老师说这只是特殊的边角之间的关系，那究竟一般的直角三角形中的边和角之间有没有关系呢？而这些关系又能帮助我们解决哪些实际问题呢？带着这些疑问进入本章的探究学习,总结并引出今天探究的重点-------直角三角形的边角关系. 二、新知探究 探究活动一：比较梯子的倾斜程度 梯子在变陡的过程中，哪些量发生了变化？倾斜角、铅直高度、水平宽度 如图，比较以下几组梯子AB和DE哪个更陡？ 40° 55° 问题1： 倾斜角的大小影响着梯子的陡缓，让学生发现梯子的倾斜程度与倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。 问题2： 很多实际问题中，人们无法测量角度，我们也可以从边的角度进行研究.铅直高度一定时，水平宽度越小，梯子越陡或水平宽度一定时，铅直高度越大，梯子越陡。 （引导学生证明倾斜角的大小关系，边的变化本质上是角的变化） 问题3： 铅直高度与水平宽度不同，但是他们是成比例的。这样就可以通过证明两个三角形相似得到对应角相等，因而倾斜角也相等，因此两个梯子一样陡的结论.关键是从相似的证明过程中得出铅直高度与水平宽度的比值。 问题4： 铅直高度与水平宽度不同，但是他们也不成比例时，学生自然想到把他转化为我们前面研究过的方法-要么铅直高度相同，要么水平宽度相同。为了研究方便把水平宽度变得相同，进行缩放：使水平宽度都变成1，这样就得到了比较两个梯子的倾斜程度的通性通法，用铅直高度与水平宽度的比值刻画梯子的倾斜程度，得出结论：比值越大，梯子越陡。 问题5： 通过一组探究后，让学生思考梯子的倾斜程度与什么相关？ （1） 倾斜角 （2） 通过刚才的活动，我们发现刻画梯子的倾斜程度，一个是跟倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡，第二个是跟铅直高度与水平宽度的比值有关，这个比值越大，梯子越陡。那么既然跟他俩都有关系，那究竟这两个量之间有什么关系？ 设计意图：通过一组梯子问题的探究一方面让学生发现梯子的倾斜程度与哪些量有关系，更重要的是让学生逐步建立锐角和对边与邻边比值之间的关系.在发现问题和解决问题的过程中，学生的逻辑推理能力，数据分析能力都得到了发展. 探究活动二：探索角度与比值的关系 活动1-计算∠A的对边与邻边的比值 我们先从我们手中最熟悉的三角板开始，有30度，45度和60度。通过计算我们发现这些锐角对边与邻边的比值是一个定值。这样的锐角有很多，不止我们研究的特殊的角度，这样的比值也还有很多。我们在几何画板中给大家演示一下。 在几何画板中给出任意锐角后，通过操作让学生体会每当角度确定时，比值也唯一确定角度改变比值也就改变。那么只通过大量的例子来说明他俩的关系好像不够严密，我们在数学上要论证一个问题就必须要对他进行严密的推理论证。 活动2-证明：在一组相似三角形中证明锐角确定比值就确定与其所处的三角形和对边、邻边的具体值无关. 学生体会：在直角三角形中，当一个锐角的度数变化时，它的对边与邻边的比值也随之变化，而对于锐角的每一个确定的度数，对边与邻边的比值都是唯一确定的。这种角度和比值之间存在一种对应关系-函数关系 设计意图：让学生经历从具体到一般的研究问题过程，学会在直角三角形中研究边角关系.先计算几个特殊角的对边与邻边的比值再过渡到几何画板中展示任意锐角的情况，到最后严密的推理论证.从感知猜想到验证结论，最终确定了两者之间的函数关系，学生经历概念形成过程，由感知、表象抽象出准确的数学概念.教学中老师注重引导，以问题串的形式引发学生深刻思考，学生能够对数学对象的属性或数学问题进行综合分析，提升了推理能力和逻辑思维能力. 探究活动三：建立概念--锐角三角函数 在Rt△ABC中，如果锐角A确定。那么角A的对边与邻边的比便随之确定。这个比叫做角A的正切记作tanA， 需要注意以下几点:1.前提必须是直角三角形。2.写法：tanA,不表示tan乘以A,它是一个完整的符号，表示角A的正切值。如果是三个字母表示角或数字角，就必须加角的符号。tan∠ABC,tan∠1。3.正切值是一个比值，没有单位。4.比值随角度的变化而变化。 我们同样可以得到：Rt△ABC中，∠A的对边与斜边之比是一个定值，我们把这个比值叫做∠A的正弦，记作sinA=∠A的对边比斜边,。接下来，继续探究，用同样的方法可以得到：Rt△ABC中，∠A的邻边与斜边之比仍然是一个定值，我们把这个比值叫做∠A的余弦，记作cosA=∠A的邻边比斜边。注意事项和正切一样。 函数 三角函数 正切、正弦、余弦的定义 三、巩固练习 例1.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=5，BC=12， 则sinA =____________；tanC=______________；cosC=_____________. 例2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,tanA=,求AC. 例3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，sinA＝0.8，求AB． 思考题：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sinB，cosB，tanB． 四、小结收获 谈谈你这节课都有哪些收获和困惑？ 设计意图：首先让学生回顾总结本节课学了哪些知识，得到了什么结论，其次是怎么得到这个结论的，交给学生研究问题的方法，让它的方法结构化.第三是让学生知道我们学了这些知识能干什么，我们今后还要研究什么，使知识进一步形成网络结构. 在总结的过程中，为学生架构从知识内涵到思想方法的桥梁，使学生学有所获，学有所用.让学生从整体上把握本节的地位和作用，不仅丰富了直角三角形的知识树，更是为后续锐角三角函数的学习奠定了基础，起到了承上启下的作用. 五、目标检测设计 1.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα 的值是___________ （第1题 图） （第2题 图） 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，各边的长度同时扩大为原来的2倍，sinA的值（ ） A.扩大2倍 B.缩小为原来的 C.扩大4倍 D.不变 4.如图，拦水坝的坡度为i＝1:，若坝高BC=20 米，求坝面AB的长.（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比） 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（　　） A． B．2 C． D． 考查目的：第1和2题考查学生锐角三角函数的掌握情况，落实基本目标.第3题是针对锐角三角函数概念的本质，考察角度和比值之间的函数对应关系，检测学生对概念本质的理解和掌握。第4题将概念用于解决实际问题，发展学生的应用意识，体会数学的价值.第5题进一步发展学生的推理能力.这5个题都针对了本节课最核心，最基本的目标，对拓展学生思维，起着重要的作用. 六、作业练习 基础达标作业; 1.如图，在Rt△ACB中，∠B=90°，若AB=7，BC=24， 则sinA =____________；tanC=______________；cosC=_____________. （第1题图） （第2题图） （第3题图） 2.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10,sinA=,则AC= . 3.在Rt△ABC中，各边的长度同时扩大为原来的2倍，cosA的值（ ） A.扩大2倍 B.缩小为原来的 C.扩大4倍 D.不变 4.如图，某人从山脚下的点A处走了1000米爬到了山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为600米，则该山坡的坡度为____________. （坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比） 能力提升作业; 5.在等腰△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则sinB= ，cosB= ，tanB= ． 拓展延伸作业; 6.在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA与cosC有什么关系？ 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$