2.2 1 二次函数 教学设计 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 二次函数（第一课时） 课标及教育价值分析 二次函数是初中数学“数与代数”领域的重要内容。它是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础、积累经验。 数学课标对二次函数概念的要求是：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；能够用二次函数表示实际问题，建立二次函数模型；能用二次函数解决实际问题。因此，本节课教学要注意：①创设丰富的实际问题情境，帮助学生理解二次函数的意义，发展符号意识，渗透模型思想；②“二次函数的意义”不仅要关注教材给出的形式化定义，更要注意揭示二次函数的本质属性——变化特征“自变量递增时，因变量呈二阶等差规律”； 二次函数作为代数模型的概念课，教育价值体现在发展学生符号意识、应用意识、渗透模型思想，从而落实数学抽象、数学建模的学科素养，学生只有亲自经历观察、分析、概括、选择、判断等数学活动，得到概念，才能从根本上领悟数学思想，体会二次函数的概念既来源于实际的需要，又是数学内部发展的需要。积累用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界的活动经验. 教材分析 本节通过对具体情境的分析，概括出二次函数的表达形式，明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识，理解二次函数的意义. 学情分析 学生在七年级通过大量实例体会了变量之间的关系；在八年级认识了函数，理解并能用表格、图象、表达式三种方法表示函数关系，后来又分别对一次函数和反比例函数进行了系统研究，积累了一定的研究函数的经验与方法，形成了研究函数的思路和步骤：概念、图象、性质、应用。这些都是学生学习二次函数的基础. 学习二次函数概念可能出现的困难： ①通过具体问题抽象二次函数概念，归纳二次函数的形式化定义；但学生不容易关注到“自变量递增时，因变量二次作差后的数据呈现均值变化规律”这一特征； ②从相对复杂的现实情境中分析条件，建立二次函数模型，其中分析条件是学生认知的另一个难点. 教学目标 1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系，发展数学建模和符号意识。 2. 结合实际情景，初步理解二次函数所反映的变量间的关系，体会二次函数的意义；能够表示简单变量之间的二次函数关系，发展数学抽象和应用意识 3. 经历从具体问题情境中抽象出二次函数模型的过程，通过分析二次函数模型的共同特征，探索并概括概念，体会数学中的类比思想，以及研究函数概念的基本思路与方法。 教学重难点 教学重点： 1. 借助实例体会二次函数的意义，能够表示简单变量之间的二次函数。 2. 经历探索和表示二次函数的关系，概括共同特征，获得二次函数的概念。 教学难点： 1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表是变量之间关系的体验。 2. 理解二次函数概念本质，并归纳自变量和因变量的变化规律。 教学过程 导语：同学们，我们生活在一个变化的世界中，很多事物都在悄然发生变化，但又存在着一定规律。开普勒“行星运动三大定律”，牛顿“三大运动定律”，生物学领域中动物体长和体重的关系，新陈代谢和身体质量的关系，还有自由落体运动，关乎民生的果树、农作物产量问题，以及我们身边随处可见的喷泉水流路径。投篮运动篮球的运动路径等等。哪些是我们今天所学的二次函数呢？ 第一环节：温习回顾 回顾学习函数的方法： 1．什么是函数？ 2．我们研究过哪些函数类型? 我们是从哪些方面研究这些函数的? 3. 请同学们回忆已学的两种函数概念的研究思路，并回答下列问题。 观察表格，判断 y 是 x 的那种函数？说明理由。 （1） x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 -1 -3 -5 … y 是 x 的 函数. （2） x … -3 -2 -1 1 2 3 … y … 4 6 12 -12 -6 -4 … y 是 x 的 函数. 分析小结： 表格（1），自变量x每增加1，因变量y就减少2，数据呈现的变化规律是“均值变化”，由此可判断y是x一次函数。也可以从另一个角度来判断，利用规律求出表达式：y=-2x+1，因为它形如一次函数y=kx+b，所以y是x的一次函数。通过变化规律和表达式两种方法，都可以判断y是x的一次函数。 表格（2），变量x，y的乘积是一个定值“-12”。根据这个变化规律，判定y是x的反比例函数。我们也可以求出函数表达式，其表达式形如反比例函数，所以判定y是x的反比例函数。 认识函数概念时，我们既要关注函数的本质“变化特征”，也要关注函数的形式定义——表达式。 我们研究某一类函数的定义，往往是从具体实例中抽象出两个变量，借助表格反映出来的变化规律和关系式特征两方面来研究函数，概括共性，建立函数的概念，这就是研究函数概念的方法，用这样的方法我们研究了一次函数，反比例函数的概念。今天，继续研究二次函数的概念。 【设计意图】回顾研究一次函数概念和反比例函数概念的方法和研究思路，明确本节课二次函数概念的研究主题，同时引导学生研究概念的思考重心是函数表达式的共性特征和借助表格分析函数的变化规律的共性特征。 第二环节：研学新知 （一）再现情景 情景一：如图是一数值转换机的示意图，若输入x，输出y，则y关于x的关系式为 （1）计算后填写表格： x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 情景二：现准备用总长为20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一个矩形花圃ABCD。要求围成的矩形花圃一面靠墙。怎样围才能使花圃的面积最大？ （1）若设AB长为x m，矩形ABCD的面积S. 试写出S与x的关系式？ （2）计算并补全表格： AB长(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长 16 12 8 面积S 48 18 情景三：某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出10件.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. （1）若设商场销售此种衬衫的总利润为y（元），每件衬衫降价 x（元），请写出y与x之间的关系式. （2）计算并填写表格： 每件衬衫降价x（元） 销售总利润y（元） 【设计意图】通过真实的数学情境和生活情境，引导学生关注数学源于生活，感受如何用数学方法描述变量之间的数量关系，发展数学建模和符号意识。 （二）数学思考 请用以前的研究经验分析： 1.指出每个例子中的自变量和因变量，判断因变量是不是自变量的函数； 2.如果是函数，是我们研究过的某一类函数吗？为什么？ 3.这些例子有哪些共同特征？（可以从不同角度分析） 分析小结： （1）3个函数表达式的共同特征： ①3个等式的左边是因变量，右边都是含有自变量的整式。 ②自变量的最高次数都是二次 ③二次项系数都不为零；一次项和常数项的系数可能是0，也可能不是0。 （2）3个函数的变化规律的共同特征： “一次做差后数据，呈现等差变化规律，二次做差后数据，呈现均值变化规律”因此，二次函数的变化规律可概括为：二次函数描述变量之间的关系，满足“二次做差，均值变化”这一特征。 【设计意图】借助问题引导学生根据已有经验，判断出3个例子是函数，但不是已经学习的一次函数和反比例函数。引发学生研究新函数的好奇心和探究欲，并引导学生从不同角度分析3个函数例子的共同特征，为后续二次函数的概念形成铺垫。 （三）概括概念 具有这样特征的函数就是二次函数，请尝试概括二次函数的概念 二次函数概念： 1.二次函数的定义： 其中，一般形式： 特殊形式： 2.二次函数变化规律： 分析小结：一般地，两个变量x，y之间的对应关系可以表示为，其中a，b，c都为常数，且a≠0，则称y是x的二次函数。这里特别强调了a≠0这一条件。 其中，一般形式： y=ax²+bx+c（a≠0） 特殊形式：(1) y=ax²+bx (a≠0，b≠0，c=0) (2)y=ax²+c (a≠0，b=0，c≠0) (3) y=ax2 (a≠0，b=0，c=0) 【设计意图】二次函数的概念的形成是难点，从两个角度给出学生思考的方向，以问题思考、补全填空的形式，引导学生进行概括。尤其是二次函数变量的变化规律，可以借助“自变量每增加1，函数值增加或减少的值相等吗？有什么规律？”引发学生思考，从而得到结论。 （四）梳理提升 思考：上述三个情景中，自变量x能取哪些值？为什么？ 情景一：y关于x的关系式y=3x2 情景二：S与x的关系式S = -2x2 + 20x 情景三：y与x的关系式y = -2x2 + 30x + 200 分析小结：自变量的取值一定要结合实际问题情境。 情景一，数值转换机，在这样一个数学背景下，x可取所有实数。 情景二，关于栅栏的实际问题，AB和BC是两条线段要大于0，所以0且0，解不等式组，得。 情景三，实际问题中，降价是正数且要保证利润不低于20元，所以。 【设计意图】目的是让学生了解自变量的取值范围，是函数的一个有机组成部分。今后，除解决最值问题，一般不刻意讨论自变量的取值范围。 第三环节：问题解决 1.下列函数哪些是二次函数?为什么?（x是自变量） （2） （3） （4） 2.圆的半径是1cm，假设半径增加 x cm时,圆的面积增加 y cm2 （1）写出 y 与 x 之间的关系式; y 是 x 的二次函数吗? （2）当圆的半径分别增加1cm,cm时,圆的面积各增加多少? 3.物体从某一个高度落下，已知下落的高度h（m）和下落的的时间t（s）的关系是：h=4.9t2，填表表示物体在前5s下落的高度： t/s 1 2 3 4 5 h/m （1）填写表格 （2）h 是 t 的二次函数吗? 【设计意图】引导学生根据二次函数的概念，可以从两个角度 “因变量随自变量的变化规律”或“表达式的形式”，判断因变量是自变量的二次函数。 第四环节：总结提升 请按照下面的问题梳理本节课的收获: 1.二次函数的定义及其注意事项是什么? 2.二次函数表达式的一般形式是什么?特殊形式有哪些? 3.怎样研究归纳出了二次函数的概念? 分析小结： 1.我们从表达式形式和变量的变化规律两个角度概括了二次函数的概念。 ①一般地，两个变量x，y之间的对应关系可以表示为，其中a，b，c都为常数，且a≠0，则称y是x的二次函数。 ②二次函数的变化规律可概括为：二次函数描述变量之间的关系，满足“二次做差，均值变化”这一特征。 2．二次函数表达式 3.二次函数的概念的研究思路： 【设计意图】通过问题串的形式，帮组学生梳理知识，在学生总结的基础上，形成研究二次函数的方法。 第五环节：达标检测 1. 下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． 2. n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式是什么？m是n的二次函数吗? 3.假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税). 课后作业： 必做题：课本31页习题2.1第2,3,4题。 选做题：拓展应用 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园的产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个， （1）试写出y（个）与x（个）之间的函数关系式； （2）判断y是x的什么函数，说明理由； （3）你根据表达式，你还能提出哪些问题？ 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$