2.1 二次函数 第一课时课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

二次函数（第一课时） 年 级：九年级 学 科：数学（北师大版） 1 伽利略 （动物体长和体重） 克莱伯 （新陈代谢和身体质量） 牛顿 （三大运动定律） 开普勒 （行星运动三大定律） h 自由落体 y+bx+c 果树产量 变化的世界 2 …… 喷泉 y+c 水运动路径 投篮 篮球运动路径 y+c 变化的世界 3 【温习回顾】 思考： （1）什么是函数? （2）研究过哪些具体的函数类型?我们是从哪些方面研究这些函数的? 4 思考： （1）什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y是x的函数. 【温习回顾】 5 函数 一次函数 反比例函数 概念 图象 应用 性质 研究思路 （2）研究过哪些具体的函数类型?我们是从哪些方面研究这些函数的? 【温习回顾】 思考： （1）什么是函数? （正比例函数） 6 思考并完成下列问题 观察表格中的变量 y与 x 之间的变化规律，判断 y 是 x 的哪种函数？ x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... 7 5 3 1 -1 -3 -5 ... （1） x ... -3 -2 -1 1 2 3 ... y ... 4 6 12 -12 - 6 - 4 ... （2） 【温习回顾】 7 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... 7 5 3 1 -1 -3 -5 ... （1） -2 -2 -2 -2 -2 -2 均值变化 y=-2x+1 x 每增加 1 一次函数 变化规律 表 达 式 8 思考并完成下列问题 观察表格中的变量 y与 x 之间的变化规律，判断 y 是 x 的哪种函数？ y=-2x+1 均值变化 一次函数 【温习回顾】 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... 7 5 3 1 -1 -3 -5 ... （1） x ... -3 -2 -1 1 2 3 ... y ... 4 6 12 -12 - 6 - 4 ... （2） 9 反比例函数 -12 -12 -12 -12 -12 -12 乘积定值 变化规律 表 达 式 x ... -3 -2 -1 1 2 3 ... y ... 4 6 12 -12 - 6 - 4 ... （2） 10 变化规律 表 达 式 思考并完成下列问题 乘积定值 反比例函数 【温习回顾】 观察表格中的变量 y与 x 之间的变化规律，判断 y 是 x 的哪种函数？ y=-2x+1 均值变化 一次函数 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... 7 5 3 1 -1 -3 -5 ... （1） x ... -3 -2 -1 1 2 3 ... y ... 4 6 12 -12 - 6 - 4 ... （2） 11 列表格 列关系式 （变化规律） 具体 实例 两个 变量 建立概念 概括共性 一次函数 (正比例函数) 反比例函数 ？函数 研究方法 数学发展史对函数概念的认知 【温习回顾】 12 情景1：如图是一数值转换机的示意图，若输入 x，输出 y， 则 y 关于x 的关系式为 . y= 3x2 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 48 27 12 3 （1）计算后填写表格： 0 3 12 27 48 【研学新知】 13 （1）若设AB长为x m，矩形ABCD的面积S. 写出S与x的关系式 . （2）计算并补全表格： 情景2：现准备用总长为20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一个矩形花圃ABCD。要求围成的矩形花圃一面靠墙。怎样围才能使花圃的面积最大？ 【研学新知】 A D B C AB长(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长 16 12 8 面积(S) 48 18 14 （1）若设AB长为x m，矩形ABCD的面积S. 写出S与x的关系式 . 化简 S= -2x2+20x 【研学新知】 【分析】 x 20-2x 矩形ABCD面积 AB长度 BC长度 S x 20-2x = （ ） × S= -2x2+20x 情景2：现准备用总长为20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一个矩形花圃ABCD。要求围成的矩形花圃一面靠墙。怎样围才能使花圃的面积最大？ A D B C 15 AB长(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长 16 12 8 面积(S) 48 18 18 10 14 6 4 2 18 32 42 50 48 42 32 S= -2x2+20x 【研学新知】 （1）若设AB长为x m，矩形ABCD的面积S. 写出S与x的关系式 . （2）计算并补全表格： 情景2：现准备用总长为20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一个矩形花圃ABCD。要求围成的矩形花圃一面靠墙。怎样围才能使花圃的面积最大？ A D B C 16 情景3：某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出10件. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 每件衬衫降价x(元) 销售总利润y(元) （1）若设商场销售此种衬衫的总利润为y(元)，每件衬衫降价 x(元)，则 y与x之间的关系 式 . （2）计算并填写表格： 【研学新知】 17 情景3：某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出10件. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. （1）设每件衬衫降价x元,商场销售衬衫总利润为y(元)， 【研学新知】 【分析】 单件利润 销售数量 总利润 调价前 调价后 y 60-40 10 60-40-x 10+2x = （ ） × ） （ 化简 y = -2x2 + 30x + 200 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 228 252 272 288 300 308 312 312 308 y = -2x2 + 30x + 200 【研学新知】 情景3：某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出10件. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. （1）若设商场销售此种衬衫的总利润为y(元)，每件衬衫降价 x(元)，则 y与x之间的关系 式 . （2）计算并填写表格： 每件衬衫降价x(元) 销售总利润y(元) 19 【研学新知】 y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 【关系式】 【变化规律 (表格）】 请用以前的研究经验分析： 1.指出每个例子中的自变量和因变量，判断因变量是不是自变量的函数； 2.如果是函数，是我们研究过的某一类函数吗？为什么？ 3.这些例子有哪些共同特征？（可以从不同角度分析） 20 【研学新知】 有两个变量， 自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与其对应 因变量是自变量的函数。 y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 【关系式】 【变化规律 (表格）】 请用以前的研究经验分析： 1.指出每个例子中的自变量和因变量，判断因变量是不是自变量的函数； 21 【研学新知】 一次函数，也不是反比例函数 请用以前的研究经验分析： 2.如果是函数，是我们研究过的某一类函数吗？为什么？ y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 【关系式】 【变化规律 (表格）】 22 【研学新知】 请用以前的研究经验分析： 3.这些例子有哪些共同特征？（可以从不同角度分析） y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 【关系式】 【变化规律 (表格）】 23 【梳理概括】 y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 思考: 1.这些函数关系式有什么共同特点？ 2.能写出这类函数关系式的一般形式吗？ 【关系式】 1.右边含有自变量的整式 2.自变量的最高次数是二次 3.二次项的系数都不是零 表达式的特点: 24 【梳理概括】 一般地，两个变量x，y之间的对应关系可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c都为常数，且 a≠0）的形式，则称y是x的二次函数。 一般形式：y=ax2+bx+c 特殊形式：y=ax2+bx y=ax2+c y=ax2 二次函数的概念（形式） 25 【变化规律】 【梳理概括】 思考: 1.这些函数关系式有什么共同特点？ 2.能写出这类函数关系式的一般形式吗？ 26 【梳理概括】 -21 一次做差 等差变化 -15 -9 -3 3 9 15 21 +6 +6 +6 +6 +6 +6 +6 二次做差 均值变化 自变量每增加1，函数值增加或减少的值相等吗？有什么规律？ 思考: 【变化规律】 27 【梳理概括】 14 10 6 2 -2 -14 -10 -6 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 24 20 16 12 8 -4 0 4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 变化特征：“一次作差，等差变化” “二次作差，均值变化” 【变化规律】 28 【梳理概括】 二次函数的概念（变化规律） 二次函数所描述的变量关系满足“二次作差，均值变化”的特征。 29 【梳理概括】 【关系式】 【变化规律 】 二次函数的概念 两个变量x，y之间的对应关系可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c都为常数，且 a≠0）的形式，则称y是x的二次函数。 二次函数所描述的变量关系满足“二次作差，均值变化”的特征。 30 【梳理概括】 思考：下列二次函数，自变量x能取哪些值？ 情景1 如图是一数值转换机的示意图，若输入 x，输出 y， 则 y 关于x 的关系式为 . 情景3 某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件60元销售，平均每天可售出 10件. 商场决定采取降价措施. 经调查发现，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 若设商场销售此种衬衫的总利润为y(元)，每件衬衫降价x(元)，则 y与x之间的函数关系 式 . 情景2 用总长20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一矩形花圃ABCD.设AB为x m，矩形ABCD的面积 S. S与x的关系式 . y = 3x2 S = -2x2 + 20x y = -2x2 + 30x + 200 x取实数 0<x<10 0<x<20 31 情景2：现准备用总长为20m的栅栏，借助房屋的外墙围成一个矩形花圃ABCD。 要求围成的矩形花圃一面靠墙。怎样围才能使花圃的面积最大？ 【梳理概括】 0< x <10 【分析】 由题可知 x 20-2x 且 x x 且 x 20-2x A D B C 32 【问题解决】 1. 下列函数哪些是二次函数?为什么?（x是自变量） ① y=＋3x² ② ③ y=(x+3)²-x² ④ y=x²+x³+25 右边是分式. x的最高次数是3. y=6x+9 是一次函数 方法归纳：整理化简后的形式再作判断 33 【问题解决】 2. 圆半径是1cm,假设半径增加 x cm时,圆面积增加 y cm2 (1)写出 y 与 x 之间的关系式；y 是 x 的二次函数吗? (2)当圆半径分别增加1cm,cm时,圆面积各增加多少? 方法归纳：二次函数关系式的形式作判断 解：(1) 即 y 是 x 的二次函数 34 【问题解决】 (2)当x 当x 答：当圆的半径分别增加1cm,cm时,圆的面积分别增加了， 2. 圆半径是1cm,假设半径增加 x cm时,圆面积增加 y cm2 (1)写出 y 与 x 之间的关系式；y 是 x 的二次函数吗? (2)当圆半径分别增加1cm,cm时,圆面积各增加多少? 35 3. 物体从某一个高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2， 填表表示物体在前5s下落的高度 （1）填写表格 【问题解决】 t/s 1 2 3 4 5 h/m           （2）h是t的二次函数吗? 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 答：h是t的二次函数 36 方法归纳：二次函数的表达式或表格变化规律作判断 【问题解决】 t/s 1 2 3 4 5 h/m           4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 14.7 24.5 34.3 44.1 9.8 9.8 9.8 变化规律：二次作差是均值变化 【方法一】 表达式 ：h=4.9t 2 【方法二】 答：h是t的二次函数 37 请按照下面的问题梳理本节课的收获: 1.二次函数的定义及其注意事项是什么? 2.二次函数表达式的一般形式是什么?特殊形式有哪些? 3.怎样研究归纳出了二次函数的概念? 【总结提升】 38 【关系式】 【变化规律 】 二次函数的概念 两个变量x，y之间的对应关系可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c都为常数，且 a≠0）的形式，则称y是x的二次函数。 二次函数所描述的变量关系满足“二次作差，均值变化”的特征。 39 一般形式：y=ax2+bx+c (a0) 特殊形式：y=ax2+bx y=ax2+c y=ax2 二 次 函 数表达式 40 列表格 列关系式 （变化规律） 具体 实例 两个 变量 建立概念 概括共性 二次函数 研究方法 应 用 图象与性质 41 【达标检测】 1．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C． D．y＝3x2＋1 2． n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式是什么？m是n的二次函数吗? D 解：m= n (n-1) 即m= m是n的二次函数 42 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园的产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y个， （1）试写出y(个)与x(个)之间的函数关系式； （2）判断y是x的什么函数，说明理由； （3）你根据表达式，你还能提出哪些问题？ 【课后作业】 必做题：课本31页习题2.1第2,3, 4题。 选做题：拓展应用 43 $$