6.1反比例函数 教学设计 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 6.1反比例函数 课标及教育价值分析 反比例函数是初中数学“数与代数”领域的重要内容，课标对这一概念的要求是：“结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能用反比例函数解决实际问题”.由此，可明确本节课教学要注意的几点：①“反比例函数的意义”不能仅仅停留在教材给出的形式化定义，要注意揭示反比例函数的本质属性——两个变量的乘积一定；②反比例函数是重要的数学模型，在教学中，要紧密联系实际，帮助学生理解反比例函数的意义，发展符号意识，渗透模型思想；③要落实确定反比例函数表达式的方法，明确表达式的作用. 作为代数模型的概念课，本节课教育价值体现在发展学生符号意识、应用意识、渗透模型思想，从而落实数学抽象、数学建模的学科素养，学生只有亲自经历观察、分析、概括、选择、判断等数学活动，得到概念，才能领悟数学思想，体会数学与外部世界的联系，积累用数学的眼光分析现实世界的活动经验. 教学目标 1．经历从具体问题情境中抽象出反比例函数模型的过程，通过分析一类模型的共同特征，归纳反比例函数的概念； 2．结合实际初步理解反比例函数所反映的变量间的关系，体会反比例函数的意义,能根据情境中的数量关系或用待定系数法确定反比例函数的表达式，能借助反比例函数表达式解决简单的实际问题； 3．通过讨论反比例函数中两个变量之间的相依关系，进一步理解函数概念，体会反比例函数的模型作用，进一步发展数学抽象、数学建模的学科素养，发展符号意识与应用意识，体会数学与生活、数学与其他学科的联系. 教材内容分析 教材从具体问题入手，引导学生经历从若干具体问题抽象出函数模型的过程，在此基础上，分析所得函数模型的共同特征，归纳出反比例函数的定义。然后，再通过几个具体问题巩固学生对反比例函数意义的认识，体现了概念的形成过程，也突出了从不同角度对概念的理解.这里，概念的建立是一个“抽象”的过程，是从感性到理性的认识，概念形成后，剥离模型原有的实际背景得到的反比例函数更一般、更深刻，成为一类新的数学研究对象，成为本单元要系统研究的问题.但教材的呈现凸显的是“形式化”的定义，要借助表格强化反比例函数的本质属性——两个变量的乘积是一个定值. 教学重难点 教学重点： 借助具体实例理解反比例函数的意义，会求反比例函数表达式。 教学难点： 反比例函数概念本质的归纳——表达式与变化规律。 学情分析 学生在小学已认识了成反比例关系的量，七年级又通过大量实例体会了变量之间的关系；在八年级对一次函数进行了系统研究，学生已经能理解用表格、图象、表达式表示的一次函数关系，初步积累了研究函数的经验与方法，形成了由函数概念、到函数图象与性质、再到实际应用的研究步骤和程序，这些都是学生学习反比例函数的基础. 学习反比例函数概念可能出现的困难： ①通过具体问题抽象反比例函数概念，归纳反比例函数的形式化定义； ②学生容易把“自变量增大，因变量减小”当成反比例函数概念的本质属性，不容易关注到“两个变量的乘积一定”这一特征； ③从对现实情境中的反比例函数模型（k>0）的认识，到对脱离实际背景的、纯数学化的反比例函数的理解，是学生认知的另一个难点. 教学过程 教　师　导 学学 生　活 动 第一环节：情境导入 上课！同学们好！ 这节课老师给大家带来一个视频，请大家看屏幕. 【播放视频】 提问：这个实验中有哪些变化的量和不变的量？ 导语： 从数学角度研究一个变化过程中的两个变量之间的关系，我们用的了重要的数学模型---函数. 提问：对于函数我们研究过哪些内容呢？ 我们通过一个例子来回忆一下函数的有关知识. 第二环节：复习回顾 【出示手撕钢图片】 导语：请大家看图片.你知道他撕的是什么吗？这可不是纸，而是一种超薄钢板——“手撕钢”，是太钢集团的高科技产品.其厚度相当于头发丝直径的三分之一，一张A4纸厚度的四分之一.“手撕钢”工艺复杂，价格不菲. 【出示问题情境】 某实验室用1000元的经费购买“手撕钢”作为研究材料.其购买手撕钢的数量x(g)与剩余经费y（元）之间的关系如下表所示： x（g) 1 2 3 4 5 ... y（元） 994 988 982 976 970 ... 提问： 1.这里的y是x的函数关系吗？为什么？ 【根据回答进行点拨，引导学生回顾函数概念】 2.x每增加1，y是怎样变化的？ 【指出：这里的变化是一种“均值变化”】 3.能写出y与x的函数关系式吗？ 4.y与x的关系是哪种函数类型？能说出一次函数的一般形式吗？ 小结：我们认识一次函数，是从“y随x的变化规律”和“表达式的形式”两个方面进行研究的. 【根据学生回答板书相应内容】 生活中的变量关系还有很多，这节课我们进一步进行研究. 第三环节：探究新知 【出示问题1】 一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分为a cm和b cm. 提问： 1.矩形相邻两边a 和b满足怎样的等量关系？ 2.填写下表： 追问：你填表的依据是什么？表中每一组a，b的值都满足这个关系吗？ 3.这里b是a的函数吗？ 4.请用含a的式子表示b. 【根据学生回答板书相应内容】 接下来请大家独立完成任务单中的问题2和问题3. 【问题2】伴随着环太原国际公路自行车赛的举行，太原西山自行车赛道全线贯通，全长136公里.设某自行车运动员的平均速度为v(km/h)，行驶完全程所需为时间t（h）. 1. 时间t（h）与平均速度v(km/h)之间满足的等量关系是 ； 2.用含v的式子表示t： ； 3.填写下表： 【问题3】如图所示的数值转换机中，输入的数x与输出的数y之间的部分值如下表所示： 1. x和y之间的等量关系是____________； 2. 用含x的式子表示y：__________. 【巡视学生完成情况，进行个别指导】 在小组内交流你思考的结果. 【指定两个同学板书问题2，3中的关系式】 组织学生交流：你同意这两个同学的看法吗？ 追问：问题2中的表格又是怎样填的？ 填写的依据？ 表中每一组v，t的值都满足这个关系吗？ t是v的函数吗？ 问题3中y是x的函数吗？每一组x，y的值都满足“xy＝－4”这个关系吗？ 同时出现三个例子 提问：这三个例子中的变量关系有哪些共同特征？ 【引导学生从变化规律和表达式的形式两个角度进行归纳】 根据变化规律追问：这三个例子中两个变量是否满足“均值变化”的特征？ 根据表达式结构追问：能不能用一个一般的式子表示这个结构呢？ 【板书关键信息】 指出：像这样的两个变量x，y的乘积为定值，且可以写成的形式，我们就说y是x的“反比例函数”. 【板书“y是x的反比例函数”】 第一个例子中，b与a乘积一定，写成的形式，我们就说b是a的反比例函数. 请大家打开书149页，阅读反比例函数的概念. 指出：我们给反比例函数下定义的方式和一次函数相同，都是从表达式的形式这个角度得到的.但我们在认识反比例函数“表达式”的同时，要注意它的变化规律的本质特点——“乘积一定”. 【出示“引例”图片】 指出：还记得课前的物理实验吗？实验中涉及到的物理量压强P是用来比较压力F作用效果的，压强越大，压力作用效果越明显.压强的计算公式是. 已知一物体对地面压力F为200N. 1.压强P与受力面积S之间的函数关系式为 ； 追问：P是S的反比例函数吗？你是怎样判断的？ 列函数关系式的依据是什么？ 指出：我们可以根据实际问题中的数量关系求得反比例函数关系式. 2.利用这个关系式能解决哪些问题？举几个例子. 指出：这就是模型的作用. 追问：这个问题中的S可以取哪些值？如果去掉实际背景，从数学的角度看呢？ 强调： 这也是我们研究反比例函数要注意的一个方面，自变量x≠0. 下面我们做一些练习.首先请大家独立完成任务单上“活动三——辨析理解”. 第四环节：辨析理解 【教师巡视，关注学生完成情况，组织小组交流】 1．下列表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中y是x的是反比例函数的是_______. 2.下列关系式中的y是x的反比例函数的有 . 组织交流：谁来汇报你们组思考的结果？ 第五环节：问题解决 【出示实际问题】 请大家完成任务单“问题解决”. 【教师巡视，关注学生完成情况，指定学生板书解答过程】 追问：（1）你是怎样得到表达式的？ 如果学生直接写出结果，则追问：怎样写出完整的解答过程？引导学生回忆待定系数法的求解步骤，然后学生完成解答过程； 如果学生写出了步骤，则进行展示，明确解答方法——待定系数法，强调解答步骤. （2）第2小题中求出的眼镜度数是多少度？ 指出：这里是按照医学验光配镜中的说法，近视眼镜的度数D是负数，与我们生活中的说法是有区别的，大家要注意. 问题拓展： （1）你的眼镜多少度？能求出焦距吗？ 动手算一算. （2）请你再举出两个生活中反比例函数的实例. （3）根据学生所举例子，给表达式赋予实际情境. 第六环节：小结回顾 提问：这一节课研究了什么问题？我们是怎样认识反比例函数的？ 根据学生回答小结：我们类比一次函数从“表达式的形式”和“变化规律”两个方面认识了反比例函数的概念.我们可以进一步按照这样的思路对其他函数进行研究. 第七环节：达标检测 请大家完成达标检测. 出示答案，组织学生自主批阅、改错、评价. 【结束语】 八年级我们在学习一次函数时，除了概念，我们还研究了什么呢？ 你能规划一下我们下一步怎样反比例函数吗？ 相信同学们在后面的学习中能有很大的收获！ 下课！ 学生观看视频 【学生回答预设】压力不变，受力面积与压强（或下陷的深度）是变量 【学生回答预设】如函数的概念、表示方式以及一次函数的概念、性质等 观看图片，简单了解“手撕钢” 感受问题情境 【学生回答预设】 1.y是x的函数；对于x的每一个值，y有唯一的值与它对应（学生可能会遗忘判断函数的概念）； 2.x每增加1，y减少6； 3.y＝－6x+100； 4.一次函数； 一般形式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）. 阅读问题1，审题 【学生回答预设】 1.ab=20； 2.口答，依次填表； 体会每一组a，b的乘积都是定值 3.b是a的函数； 4.. 独立完成任务单上的内容： 小组交流，两生板书 【学生回答预设】 问题2：vt＝136；； 问题3：.xy＝－4；； 学生核对所写等量关系与表达式. 汇报问题2表格中的结果：17；6.8； 根据vt＝136来填，体会每一组v，t的乘积都是定值； t是v的函数. y是x的函数，体会每一组x，y的乘积都是定值. 对比分析，归纳梳理共同特征： 【学生回答预设】 1.从变化规律看，两个变量的乘积一定； 2.从表达式的形式看，等式的左边是表示因变量字母，右边都是分式的形式，其中分母是表示自变量的字母，分子是个固定的常数. 概括出（k是常数，k≠0） 类比描述问题2，3中：t是v的反比例函数；y是x的反比例函数. 打开课本149页，阅读反比例函数的定义. 体会压力、压强、受力面积的关系 观看PPT，口答相关问题 【学生回答预设】 1.；P是S的反比例函数，可从表达式或乘积一定两个角度分析；依据是压强的计算公式； 2.已知F，求P的值；或者已知P，求F的值； 【举例进行计算】 当S=10，代入关系式可得：P=20； 当P=50，那么S=4. 【学生回答预设】 此问题中S>0；去掉背景后，S的取值范围是S≠0. 独立完成任务单相关内容，小组交流： 【学生个别回答】 对于有疑惑的问题进行小组讨论，明确判断的依据. 【根据学生回答进行追问：对于问题1要明确判断的依据，并写出相应的函数关系式；对于问题2中是反比例函数的，指出k的值】 学生可能在判断（5）时出现困难，先组织小组讨论，再进行点拨. 独立解答任务单中的“问题解决”： 近视眼镜的度数D(度)（D＜0）是镜片焦距f (m)的反比例函数.当镜片焦距f为0.2米时，近视眼镜的度数D为-500度. (1)求D与f之间的函数关系式； (2)当镜片焦距为0.5米时，近视眼镜的度数为多少？ 【学生回答预设】 学生可能在完成（1）时根据乘积为定值直接写出结果；要进一步用待定系数法完成解答过程. －200度 【学生回答预设】 （1）联系实际灵活进行计算； （2） 联系实际举例； （3） 描述表达式可能表示的实际问题. 【学生回答预设】 研究了什么是反比例函数、怎样确定反比例函数、指导反比例函数表达式的作用等； 类比一次函数进行学习. 独立完成，自主核对、改错 【学生回答预设】 我们还研究了一次函数的图象，性质和应用 后续同样研究反比例函数的图象、性质、应用 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$