第1章空间向量与立体几何章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1章空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，且，则的值为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 2．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．在三棱锥P-ABC中，已知是PC的中点，且，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（  ） A． B． C． D． 6．已知，、，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角可能是 B．平面平面 C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形 8．如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．在上存在点，使平面 C． D．二面角的大小为 三、填空题 9．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，9），则在基底下的坐标为 ． 10．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点.若，则线段长度为 . 11．已知空间中的三个点，则点到直线的距离为 ． 12．已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标是 ． 四、解答题 13．已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 14．如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.    (1)求四边形的面积； (2)证明：平面； (3)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，四面体ABCD中，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，点在上，，求与平面所成的角的正弦值. 16．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB//平面EFG； （2）平面EFG//平面PBC. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D B D BCD ABD 1．A 【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 2．A 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故选：A 3．D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案. 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 4．D 【解析】是侧棱的中点，可得，又，．代入化简与比较即可得出． 【详解】解：是侧棱的中点，， 又，． ， 又，，． 则． 故选：D 5．B 【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系, 是左侧面上的一个动点, 设，其中 ，， 又， 设， 设，， 在上单调递减，在上单调递增，且 又且在上单调递减，时取最大值 与的夹角的最大值为 故选：B 6．D 【分析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值. 【详解】设向量与的夹角为， ，， 则，所以，，故选D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 7．BCD 【分析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1﹣CDP的体积为定值；对于D，当AP延长线交BB1的中点时，可以得到等腰梯形的截面． 【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ，设 当时，； 当时，， ,∴, , ∴直线D1P与AC所成的角为， 故A错误； 对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB， ∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP， ∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确； 对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1， ∴三棱锥D1﹣CDP的体积： 为定值，故C正确； 对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面与直线B1C1交于点F, 因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1, 平面∩平面ADD1A1=AD1, 平面∩平面BCC1B1=EF,所以EF∥AD1,∴F为B1C1的中点，∴截面AD1FE为等腰梯形的截面，故D正确； 故选：BCD． 8．ABD 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质证明，即可判断；对于B，取的中点分别为，证明平面平面，即可判断；对于C，建立空间直角坐标系，求是否为，即可判断；对于D，方法一：几何法，利用三垂线定理，证是二面角的平面角，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，平面的法向量，利用向量法求二面角的大小. 【详解】对于A，因为，， 则，所以， 在直三棱柱中，平面， 又平面，则， 又，平面， 故平面， 又平面，所以， 则直线与直线所成的角为，故选项A正确； 对于B，取的中点分别为，连接， 又为的中点，所以，， 又，，平面，平面， 故平面平面， 又平面，所以平面， 则在上存在点，使平面，故选项B正确； 对于C，以点为坐标原点，以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以，， 因为， 所以与不垂直，故选项C错误； 对于D，方法一：几何法——三垂线定理 在平面内，过作于，连接，由三垂线定理得，所以是二面角的平面角， 依题意知，，，所以，所以二面角的大小为，故选项D正确. 方法二：坐标法 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为， 则，令，则，故， 所以， 又二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：ABD. 9．，，． 【分析】设，由空间向量基本定理列出方程组，即可求解． 【详解】解：由题意有， 设， 则有，得， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了空间向量基本定理，属简单题． 10． 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，分别表示出点坐标，设，再利用列方程可求出的值，求出的坐标，再求模长即可求解. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且 所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，点､､分别是､､的中点， 所以，，， 因为点是上的动点，设，所以， 因为，所以，解得：， 所以，， 所以，即线段长度为， 故答案为：. 11．/ 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 12．． 【分析】利用向量坐标运算性质即可得出． 【详解】∵， ∴ ， 则． 故答案为 【点睛】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．(1)证明见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【详解】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，解得，， 故不能作为基底. 14．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用圆的性质判断得四边形为菱形，再利用面积公式即可得解； （2）结合（1）中结论，证得，进而得到，从而证得，由此利用线面垂直的判定定理即可可证； （3）利用（2）中条件，结合题设条件建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点， 所以有，又因为，    所以都为正三角形， 所以，四边形是菱形， 则到边的距离为， 所以四边形的面积为. （2）记与的交点为，连接， 因为四边形是菱形，则为和的中点， 因为，所以为正三角形， 所以，则， 而在等边中，易知， 即，所以， 因为是半球面上一点，是半球的直径，所以， 又，平面，所以平面. （3）因为点在底面圆内的射影恰在上， 由（2）知，即为点在底面圆内的射影，所以底面， 因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直， 以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，所以， 取，则， 设直线与平面的所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用三角形中线为对应边的一半得到该三角形为直角三角形，从而迎刃而解. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量法即可得解. 【详解】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，如图， 由（1）与条件知，， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以， 在中，，所以， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 又， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设与平面所成的角的为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，构建空间直角坐标系A-xyz，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，法一：求得，即可确定平面EFG的一个法向量，又有，则 PB//平面EFG得证； 法二：由，，，可知，根据向量共面定理即有，与共面，进而可证PB//平面EFG； （2）由（1）有即，可得BC//EF，根据线面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，结合面面平行的判定即可证平面EFG//平面PBC. 【详解】（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).　 法一： 设平面EFG的法向量为， 则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量， ∵， ∴，所以， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB//平面EFG. 法二：，，. 设， 即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)， 所以解得s＝t＝2. ∴，又与不共线，所以，与共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知：， ∴，所以BC//EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC， 同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG//平面PBC. 【点睛】关键点点睛：根据面PAD⊥面ABCD且ABCD为正方形构建空间直角坐标系A-xyz，进而确定相应点的坐标， （1）根据空间向量的垂直或共面关系，结合线面垂直的性质或平行判定证线面平行； （2）根据空间向量的平行关系，结合线面平行判定有EF//面PBC，GF//面PBC，结合面面平行的判定即可证面EFG//面PBC. 学科网（北京）股份有限公司 $$