第16讲 一元一次不等式组（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第16讲 一元一次不等式组（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型强化 题型一．一元一次不等式组的定义 1．（2004•三明）已知不等式组有解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的 　　，叫作一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 题型二．解一元一次不等式组 3．（2023秋•婺城区校级月考）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•下城区校级月考）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 　　． 5．（2024秋•上城区校级月考）已知关于的方程组． （1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． （2）若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，设，求的取值范围． 题型三．一元一次不等式组的整数解 6．（2023秋•婺城区期末）已知关于的不等式组的整数解为1，2（其中，为整数），则满足条件的共有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．（2023秋•乐清市校级月考）若不等式组有三个非负整数解，则的取值范围是 　　． 8．（2023•鄞州区校级开学）对、定义一种新运算“▽”，规定：▽（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽． （1）已知2▽，3▽． ①求、的值； ②若关于的不等式组有且只有两个整数解，求字母的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数、，结论“▽▽”都成立，试探究、应满足的关系． 题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式组 9．（2023秋•滨江区校级期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为，则列式正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的应该为多少才能合格？设第3次的值为，由题意可得　　 A． B． C． D． 题型五．一元一次不等式组的应用 11．（2023秋•衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是　　 A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 12．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　　． 13．（2024秋•上城区校级月考）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 分层练习 一、单选题 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．不等式的整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．不等式组的整数解的个数是（  ） A． B． C． D． 5．解不等式组解答过程如下： (1)解不等式①，得x≥3. (2)解不等式②，得x≤5. (3)把不等式①和②的解集表示在数轴上，如图. (4)原不等式组的解集为x≥5. 则开始出现错误的步骤是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 6．若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为（    ）． A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3 7．若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（    ） A．7种 B．6种 C．4种 D．3种 10．“河南交通广播第四届登山节”于清明节在嵩山峻极峰开始，有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人带了矿泉水，但不足2瓶，则这家人参加登山的有　　人． A．3 B．4 C．5 D．4或5 二、填空题 11．已知 的解集为，则的取值范围 . 12．不等式组的解集为 ． 13．若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等式组的解集为 ． 14．满足5（x﹣1）≤4x+8＜5x的整数x为 ． 15．不等式组的整数解的个数为 ． 16．对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：min{0，﹣2，3}＝﹣2，min{1，﹣2，﹣2}＝﹣2．若min{3x+4，2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 ． 三、解答题 17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（1）解不等式： （2）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 19．为了降低海岛生态旅游区的空气污染，区公交公司决定将148路公交车部分更换节能环保的电动公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． (1)A型和B型两种公交车的单价分别是多少万元辆？ (2)如果每辆A型和B型公交车的年载客量分别为60万人次/年，100万人/次年，该公司购买的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客总和不少于680万人次．请求出所有可能购车方案． 20．哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元． (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元； (2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A，B 两种商品共65件，且A种商品不高于37件，如果将这65件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场有几种进货方案？ (3)哪种方案利润最高，最大利润是多少？ 21．2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ (3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 22．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 23．关于的二元一次方程（是常数），． （1）当时，求c的值． （2）当时，求满足的方程的整数解． （3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 24．今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下． 名称 小份（） 大份（） 肉松小贝 16元 18元 巧克力欧包 12元 20元 购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份． (1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________． (2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数） (3)在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 一元一次不等式组（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型强化 题型一．一元一次不等式组的定义 1．（2004•三明）已知不等式组有解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】分别解这两个不等式，得出解集，既然有解，根据同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则，建立适当的不等式，进行解答． 【解答】解：由（1）得，由（2）得，故原不等式组的解集为， 不等式组有解， 的取值范围为． 故选：． 【点评】解不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则解答． 2．一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的 　　，叫作一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 【分析】直接根据一元一次不等式组的定义解答即可． 【解答】解：一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 故答案为：不等式组． 【点评】此题考查的是一元一次不等式组，掌握其定义是解决此题的关键． 题型二．解一元一次不等式组 3．（2023秋•婺城区校级月考）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可得到的取值范围． 【解答】解：解不等式， 得：， 关于的不等式组的解集为， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．掌握一般解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键． 4．（2022秋•下城区校级月考）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 　　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：由，得：， 由，得：， 不等式组的解集为， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2024秋•上城区校级月考）已知关于的方程组． （1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． （2）若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【分析】（1）先解方程组可得：，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：，从而可得，然后进行计算即可解答； （3）根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 解得：， 此方程组的解也是方程的解， ， 解得：； （2）此方程组的解为正数，为负数， ， ， 解得：； （3）设， ， 解得：， ， ， 解得：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程的解，二元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型三．一元一次不等式组的整数解 6．（2023秋•婺城区期末）已知关于的不等式组的整数解为1，2（其中，为整数），则满足条件的共有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题． 【解答】解：解不等式得， ； 解不等式得， ； 因为不等式组的整数解为1，2， 所以，且， 则，． 又因为，为整数， 所以，，8，9， 所以满足条件的共有3对． 故选：． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 7．（2023秋•乐清市校级月考）若不等式组有三个非负整数解，则的取值范围是 　　． 【分析】首先确定不等式组非负整数解，然后根据不等式的非负整数解得到一个关于的不等式组，从而求解． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有三个非负整数解， 不等式组三个非负整数解是0，1，2， ． 【点评】本题考查根据不等式组的整数解的个数求未知系数问题，涉及一元一次不等式组的解法．理解“根据题意在解集内找出连续的几个整数解，未知系数的范围就在与最后一个整数解差1个单位长度的范围内”是解答此类题目的关键，注意端点值的确定． 8．（2023•鄞州区校级开学）对、定义一种新运算“▽”，规定：▽（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽． （1）已知2▽，3▽． ①求、的值； ②若关于的不等式组有且只有两个整数解，求字母的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数、，结论“▽▽”都成立，试探究、应满足的关系． 【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； ②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可； （2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案． 【解答】解：（1）①◇，3◇， ， 解得：，； ②，，， ， ， 即， 解得：， 关于的不等式组，有且只有两个整数解， ， 解得：， 即字母的取值范围是； （2）◇◇， ， ， ， ， 、为任意数， 不一定等于0， ， 即、所应满足的关系式是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键． 题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式组 9．（2023秋•滨江区校级期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为，则列式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可以得到不等式，从而可以判断哪个选项昂符合题意． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式，注意不足8个暗含着小于8个，同时题干中有每个学生都分到苹果，则最少1个． 10．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的应该为多少才能合格？设第3次的值为，由题意可得　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，从而得出答案． 【解答】解：根据题意知， ， 故选：． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 题型五．一元一次不等式组的应用 11．（2023秋•衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是　　 A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【分析】根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可． 【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为 ， 则有：， 解得：， 一颗玻璃球的体积在以上，以下， 故选：． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是关键． 12．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　10间　． 【分析】设该科技馆位于一楼的活动室数为间，则二楼的活动室为间，根据某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设该科技馆位于一楼的活动室数为间，则二楼的活动室为间， 依题意得：， 由①得：③， 由②得：④， 由③、④知，， 为正整数， ， 即该科技馆位于一楼的活动室数为10间， 故答案为：10间． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 13．（2024秋•上城区校级月考）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买气排球个，则购买篮球个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元． 根据题意得：， 解得：， 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． （2）设购买气排球个，则购买篮球个． 根据题意得：， 解得， 又为正整数， 排球的个数可以为27，28，29， 购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个， ②购买排球28个，篮球22个， ③购买排球27个，篮球23个． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案． 【详解】A、是二元一次不等式组，故A错误； B、是一元一次不等式组，故B正确； C、是一元二次不等式组，故C错误； D、不是一元一次不等式组，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，不等式组中只含有一个未知数并且未知数的最高次的次数是一次的． 2．不等式组的解集是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】由原不等式组得出，结合不等式组的解集为得出关于、的方程组，解之即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组的解集是， ，且， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．不等式的整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算以及解不等式，先化简不等式，得，再根据，得出的范围，最后取整数解，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ ∵为整数 ∴ 故选：C 4．不等式组的整数解的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后确定其整数解的个数即可． 【详解】解：解得x≤3， 所以，不等式组的解集为1＜x≤3， 所以不等式组整数解为2，3，共2个． 故选：C． 【点睛】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 5．解不等式组解答过程如下： (1)解不等式①，得x≥3. (2)解不等式②，得x≤5. (3)把不等式①和②的解集表示在数轴上，如图. (4)原不等式组的解集为x≥5. 则开始出现错误的步骤是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【答案】D 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）不等式①，得x≥3； （2）不等式②，得x≤5； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （4）原不等式组的解集为3≤x≤5． 故开始出现错误的步骤是（4）． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为（    ）． A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组求出的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可． 【详解】 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∵方程组得解为非负整数， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵，是整数， ∴是8的因数， ∴正整数是1，3 故选：D 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件． 7．若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解． 【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x， 解不等式4x﹣m＞0，得：x， ∵不等式组有解， ∴， 解得m＜4， 如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个； 如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个； 如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个； 故选C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，那么整数a的个数为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查解不等式组和分式方程的能力，根据不等式组的解集情况和分式方程的解得出关于a的范围是解题的关键．先解出不等式组，然后由不等式组有且只有3个整数解可得a的范围；再解分式方程可得，根据分式方程有负整数解可得a的值，两者结合最终确定a的值． 【详解】解： 由①得： ， 由②得：， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， 由方程得： ∵方程有正整数解， ∴，4 又∵， ∴，4 ， 故选：C． 9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（    ） A．7种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组应用 【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【详解】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得， ， 解得，3≤x≤9， ∵x为整数，也为整数， ∴x=3或6或9， ∴有3种购买方案． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在． 10．“河南交通广播第四届登山节”于清明节在嵩山峻极峰开始，有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人带了矿泉水，但不足2瓶，则这家人参加登山的有　　人． A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】要求登山的人数，就先设出登山人数，再通过理解题意列出相应的关系式，即3×（登山人数-1）＜2×登山人数+3＜3×（登山人数-1）+2，根据这个关系列不等式组求解． 【详解】解：设登山有x人， 根据题意得 解得：4＜x＜6，所以x=5； 答：则这家人参加登山的有5人． 故选C． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系列出不等式组，再求解． 二、填空题 11．已知 的解集为，则的取值范围 . 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据的解集为，得出． 【详解】解：∵的解集为， ∴． 故答案为：． 12．不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13．若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组得， ， 由数轴知， ∴不等式组解集为， 故答案为：． 14．满足5（x﹣1）≤4x+8＜5x的整数x为 ． 【答案】9，10，11，12，13 【知识点】求不等式组的解集 【详解】根据题意得 解①得x≤13， 解②得x＞8， 所以不等式组的解集为8＜x≤13， 所以不等式组的整数解为9，10，11，12，13． 故答案为9，10，11，12，13． 【点睛】考查了解一元一次不等式组的整数解：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集，再在解集内找出所有整数，得到一元一次不等式组的整数解． 15．不等式组的整数解的个数为 ． 【答案】4个 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后找出其整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式的解集为， 不等式的整数解为0、1、2、3，共有4个， 故答案为：4个． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 16．对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：min{0，﹣2，3}＝﹣2，min{1，﹣2，﹣2}＝﹣2．若min{3x+4，2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 ． 【答案】−≤x≤1 【知识点】一元一次不等式组应用 【分析】三个数3x+4，2，4﹣2x中最小的数是2，由此联立不等式组求得答案即可． 【详解】解：根据题意得；， 解得−≤x≤1， 故答案为−≤x≤1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则． 三、解答题 17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集， 先分别求出每个不等式组的解集，然后求出公共部分，然后再在数轴上表示出基恩即可． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示如下： 18．（1）解不等式： （2）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】（1）；（2），数轴见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． （1）解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，据此求解； （2）先解每一个不等式，再取公共解集，最后把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为： ． 不等式组的解集在数轴上表示如下：    19．为了降低海岛生态旅游区的空气污染，区公交公司决定将148路公交车部分更换节能环保的电动公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． (1)A型和B型两种公交车的单价分别是多少万元辆？ (2)如果每辆A型和B型公交车的年载客量分别为60万人次/年，100万人/次年，该公司购买的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客总和不少于680万人次．请求出所有可能购车方案． 【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 (2)有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆 【知识点】一元一次不等式组应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元” 列出方程组解决问题； （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元” 和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可． 【详解】（1）设A型和B型两种公交车的单价分别是x万元和y万元， 由题意得： ， 解这个方程组得：， 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元； （2）设购买A型公交车a辆，购买B型公交车辆， 由题意得： ， 解得：， 有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； ②购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆； ③购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆． 【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． 20．哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元． (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元； (2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A，B 两种商品共65件，且A种商品不高于37件，如果将这65件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场有几种进货方案？ (3)哪种方案利润最高，最大利润是多少？ 【答案】(1)A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元 (2)35件A种商品，30件B种商品；36件A种商品，29件B种商品；37件A种商品，28件B种商品 (3)利润最高的方案为：37件A种商品，28件B种商品，最高利润为10200元 【知识点】一元一次不等式组应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为元和元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设A种商品的进货数量为件，则B种商品的进货数量为件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围，即可得到最终方案； （3）分别计算出各种方案的利润，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为元和元， 根据题意得：， 解方程组：， 故件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元． （2）解：设A种商品的进货数量为件，则B种商品的进货数量为件， 根据题意得：， 解不等式组得：， ∴进货方案有三种：35件A种商品，30件B种商品；36件A种商品，29件B种商品；37件A种商品，28件B种商品； （3）解：当35件A种商品，30件B种商品时，利润为：元； 当36件A种商品，29件B种商品时，利润为：元； 当37件A种商品，28件B种商品时，利润为：元； ∴利润最高的方案为：37件A种商品，28件B种商品，最高利润为10200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 21．2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ (3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元 (2)该销售店共有3种进货方案，详见解析 (3)进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元 【知识点】一元一次不等式组应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题． （1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可； （2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答； （3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元． （2）解：根据题意，得 ， 解得：， ∵m取整数， ∴， ∴该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个． （3）解：方案①的利润为：（元）； 方案②的利润为：（元）； 方案③的利润为：（元）； ∴方案③的利润最大，为1345元． 答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元． 22．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【答案】(1)方程的解是的“理想解” (2) (3)M的值为19或或26 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． 【点睛】本题主要考查了不等式（组）的解法，一次方程的解法，新定义，解题的关键是根据新定义，正确建立新的不等式组． 23．关于的二元一次方程（是常数），． （1）当时，求c的值． （2）当时，求满足的方程的整数解． （3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析． 【知识点】求不等式组的解集、二元一次方程的解 【分析】（1）由题意，得，解得代入已知式可得，代入即可求得； （2）当时，方程为，即x+3y=5，根据方程和解的范围即可求得； （3）由题意，得，x、y均为正整数，则，a是正整数，则y-2是负整数，从而求得y=1，把y=1代入①得，ax=1，即可求得a=1，此时方程的正整数解是x=1，y=1． 【详解】解：（1）， ， ， 将代入上式得， 解得， ． （2）当时，， 原方程为， 即， ∴， 又∵， ，，． （3）， ， 整理得， 两边同时除以a得， 整理得， 是正整数， ， ， ， 即， 是正整数， ， 代入方程得， 则， 是正整数，a是正整数， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键． 24．今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下． 名称 小份（） 大份（） 肉松小贝 16元 18元 巧克力欧包 12元 20元 购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份． (1)根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________． (2)为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数） (3)在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝． 【答案】(1)巧克力欧包 (2)大份每份应优惠4元 (3)然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝，见解析 【知识点】一元一次不等式组应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出不等式组． （1）根据题中表格分别计算即可； （2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元，由题意列不等式解答即可； （3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包，由题意列不等式组解答即可； 【详解】（1）解：购买肉松小贝大份每克的价格：元， 肉松小贝小份每克的价格：元， ∴购买肉松小贝大份每克的价格比小份每克的价格便宜； 巧克力欧包大份每克的价格：元， 巧克力欧包小份每克的价格：元， ∴购买巧克力欧包大份每克的价格比小份每克的价格还贵； 故此种糕点为巧克力欧包， 故答案为：巧克力欧包． （2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元． 由题意，得， 解得． ∵x取最小整数， ∴，即大份每份应优惠4元． （3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包． 由题意，得 解得． 答：然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝． 学科网（北京）股份有限公司 $$