第16讲 勾股定理（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第16讲 勾股定理（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点6．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 题型强化 题型一．勾股定理 1．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 2．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　　． 3．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 题型二．勾股定理的证明 4．（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为　　 A．1 B．2 C．2.5 D．5 5．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　　． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　　，边上的高为 　　． 题型三．勾股定理的逆定理 7．（2023秋•静安区校级期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是　　 A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，点为上一点，联结，，，，则　　． 9．（2024秋•浦东新区校级月考）已知、、是△的三边长，且，求： （1）的值． （2）若△的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 题型四．勾股定理的应用 10．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 11．（2021秋•黄浦区校级期末）一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了　　米． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 题型五．平面展开-最短路径问题 13．（虹口区校级期中）如图：有一圆柱，它的高等于，底面直径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，需要爬行的最短路程大约　　 A． B． C． D． 14．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边的行程，若上、下行速度都是3米分钟，横行速度是4米分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形的面积为，而且机器人走的路线较短？ 题型六．等腰直角三角形 15．（2023秋•宝山区校级月考）如图，等腰直角三角形中，，是上一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 16．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，四边形中，与交于点，，，于点．若，则　　． 17．（2023秋•金山区校级月考）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． （1）若，求线段的长； （2）求证：． 分层练习 一、单选题 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．5，12，13 D．7，24，25 2．下列各组数据表示三角形的三边，能构成直角三角形的一组是（    ） A．4，8，7 B．2，2，2 C．26，24，10 D．2，2，4 3．已知的三边长分别为a，b，c，则以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能说明是直角三角形的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，若，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形且 C．是钝角三角形 D．是直角三角形且 5．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）    A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 二、填空题 7．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为 ． 8．如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高 （）. 9．如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为轴，若，则 ．    10．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是 ． 11．如图，中，，的垂直平分线交于点D．若，，则的面积为 ． 12．在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点处，只告诉同学们两个标志点，的坐标分别为，，点的坐标为(如图，图中1个单位长度表示)．若同学们打算从点处直接赶往点处，则的距离 ． 13．如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为 ． 14．如图：，的面积为20，在的同侧，分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 ． 15．如图，∠AOE=∠BOE=22.5°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ． 16．如图，等腰RtABC中，∠ABC=90°，O是ABC内一点，OA=6，OB=，OC=10，为ABC外一点，且CBO≌AB，则四边形的面积为 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，则点D到BC的距离是 ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连结AE．如果AECD时，恰好CD＝2.5，那么此时BE＝ ． 三、解答题 19．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 20．如图，在离水面高度为3米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子恰好拉直的长度为的3倍．求此时船离岸边的距离的长．（结果保留根号） 21．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 22．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 23．如图，以下两个相同的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ⑴在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长是； ⑵在图2中，画一个直角三角形，使它的面积是．    24．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3． （1）求BC的长； （2）求证：CE⊥EF． 25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．    (1)请以三点中其中一点为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出、三点的坐标； (2)小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由； (3)的面积是多少？ 26．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 27．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 勾股定理（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点6．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 题型强化 题型一．勾股定理 1．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为1和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 2．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　6　． 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，，是边的中线，， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键． 3．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ， 的度数为； （2）在中，，， ， 的面积， ， ， 解得：， ， ， 的长为1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 题型二．勾股定理的证明 4．（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为　　 A．1 B．2 C．2.5 D．5 【分析】根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，求得的面积，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 的面积， 的面积为1， ， ， ， ， ， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　　． 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出和的长，进而可得的值． 【解答】解：小正方形的面积是25， ， ， ， 大正方形的面积为49， ， ， 设， 则， 在中：， 解得：，， 当时，， 当时，， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握勾股定理的应用． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　6　，边上的高为 　　． 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设边上的高为，则： ， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：6，． 【点评】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 题型三．勾股定理的逆定理 7．（2023秋•静安区校级期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是　　 A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：．．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． ．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．（8），能组成直角三角形，故本选项符合题意； （1）（3），不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，点为上一点，联结，，，，则　16.9　． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，再设，则，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：16.9． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 9．（2024秋•浦东新区校级月考）已知、、是△的三边长，且，求： （1）的值． （2）若△的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【分析】（1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【解答】解：（1）， 设，，， ； （2）设，，， △的周长为24， 可得， ， 解得：， ，，， ， △是直角三角形． 【点评】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，正确表示出各边长是解题关键． 题型四．勾股定理的应用 10．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意米， ， 米， 米． 故选：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 11．（2021秋•黄浦区校级期末）一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了　8　米． 【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据、求，根据计算，根据，计算，即可解题． 【解答】解：由题意知米，米，米， 在直角中，为直角边， 米， 已知米，则米， 在直角中，为直角边 米， 米米米． 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【分析】根据勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：在中，， 则， 米， ， （米， 在中，， ， （米， 米， 答：行走的通道拓宽了米． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键． 题型五．平面展开-最短路径问题 13．（虹口区校级期中）如图：有一圆柱，它的高等于，底面直径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，需要爬行的最短路程大约　　 A． B． C． D． 【分析】根据两点之间，线段最短．首先把和展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度． 【解答】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即，矩形的宽是圆柱的高即8． 根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面． 14．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边的行程，若上、下行速度都是3米分钟，横行速度是4米分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形的面积为，而且机器人走的路线较短？ 【分析】设安排机器人上行的时间为分钟，则下行的时间为分钟，横行的时间为分钟，根据面积为，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设安排机器人上行的时间为分钟，则下行的时间为分钟，横行的时间为分钟， 根据题意得： ， 解得或， 当时，机器人走的路程为： （米； 当时，机器人走的路程为： （米， ， 取，从而， 安排上、下行和横行的时间分别为3分钟，3分钟，2分钟． 【点评】本题主要考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，读懂题意，设出合适的未知数列出方程是解题的关键，注意对答案的取舍． 题型六．等腰直角三角形 15．（2023秋•宝山区校级月考）如图，等腰直角三角形中，，是上一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】设的中点为，连接，根据直角三角形的性质得，再根据得，由此可判定为等边三角形，则，进而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得的度数． 【解答】解：设的中点为，连接，如图所示： 点为的中点，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等腰直角三角形，且， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 16．（2024秋•徐汇区校级月考）如图，四边形中，与交于点，，，于点．若，则　　． 【分析】作，先证△△，得，，再证得△△，即可得答案． 【解答】解：作， 由， 得， 由， 得， 由，，， 得△△， 得，， 由， 得△△， 得， 得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，解题关键是构造全等三角形． 17．（2023秋•金山区校级月考）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． （1）若，求线段的长； （2）求证：． 【分析】（1）由，，可得； （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，即可得出结论． 【解答】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 分层练习 一、单选题 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．5，12，13 D．7，24，25 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 2．下列各组数据表示三角形的三边，能构成直角三角形的一组是（    ） A．4，8，7 B．2，2，2 C．26，24，10 D．2，2，4 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，是解题的关键．熟记常见的勾股数可以快速解题． 3．已知的三边长分别为a，b，c，则以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能说明是直角三角形的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形； ②设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形； ③设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形； ④∵， ∴， 不能构成三角形； ⑤∵， ∴， 即， ∴是直角三角形； ∴能说明是直角三角形的有3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．在中，若，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形且 C．是钝角三角形 D．是直角三角形且 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】∵，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理的解题步骤，属于中考常考题型． 5．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）    A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据正方形的折叠和勾股定理计算即可． 【详解】∵正方形纸片ABCD的边长为3， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝3， 根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF， 设DF＝x， 则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， ∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5， ∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，通过折叠得到线段相等是解题的关键． 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 二、填空题 7．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为 ． 【答案】21或9 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，BC边上高， 如图所示，当为锐角三角形时， 在中，，由勾股定理得： ， ∴， 在中，，由勾股定理得： ， ∴， ∴BC的长为：； 如图所示：当为钝角三角形时， 在中，，由勾股定理得： ， ∴， 在中，，由勾股定理得： ， ∴， ∴BC的长为：； 综上可得：BC的长为：21或9． 故答案为：21或9． 【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键． 8．如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高 （）. 【答案】4 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这根木杆折断之前的高度． 【详解】解：∵一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处， ∴折断的部分长为 =2.5， ∴折断前高度为2.5+1.5=4（m）． 故答案为4． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 9．如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为轴，若，则 ．    【答案】128 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，根据求出A点坐标，再代入即可． 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， ∵，点C与原点O重合， ∴ ∵与y轴平行， ∴A点坐标为， ∵A在上， ∴， 解得 故答案为：． 10．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是 ． 【答案】7cm≤h≤16cm 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h=24-8=16cm； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD=15，BD=8， ∴此时h=24-17=7cm， 所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故答案为7cm≤h≤16cm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 11．如图，中，，的垂直平分线交于点D．若，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要利用了线段垂直平分线定理以及勾股定理来进行解答． 根据线段垂直平分线的性质可求得的长，从而求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，从而求三角形面积． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 的面积为． 故答案为：． 12．在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点处，只告诉同学们两个标志点，的坐标分别为，，点的坐标为(如图，图中1个单位长度表示)．若同学们打算从点处直接赶往点处，则的距离 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查的是两点间的距离公式，直接利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案为： 13．如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】首先利用勾股定理计算出OB的长，然后再由题意可得BO=CO，进而可得CO的长． 【详解】∵数轴上点A对应的数为2， ∴AO＝2， ∵AB⊥OA于A，且AB＝1， ∴BO＝＝＝， ∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C， ∴OC的长为， 则点C所对应的数为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长． 14．如图：，的面积为20，在的同侧，分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 ． 【答案】20． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，，则阴影部分的面积为： ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，解题关键是利用面积和差表示阴影部分面积． 15．如图，∠AOE=∠BOE=22.5°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ． 【答案】 【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据勾股定理求出EF，根据等腰三角形的性质解答. 【详解】作EH⊥OA于H，∵∠AOE＝∠BOE＝22.5°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH＝EC＝1，∠AOB＝45°，∵EF∥OB，∴∠EFH＝∠AOB＝∠FEH＝45°，∴FH＝EH＝1，EF＝＝，∠FEO＝∠FOE，∴OF＝EF＝. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 16．如图，等腰RtABC中，∠ABC=90°，O是ABC内一点，OA=6，OB=，OC=10，为ABC外一点，且CBO≌AB，则四边形的面积为 ． 【答案】40 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接．先由，得出，，，根据等式的性质得出，由勾股定理得到，则．再利用勾股定理的逆定理证明，得到，那么根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接． ， ，，， ， ， ， ． 在中，，，， ， ， ． 故答案为40． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，则点D到BC的距离是 ． 【答案】2cm 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到△ABC三边的距离相等，然后利用△ABC的面积列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm， ∴AB==10cm， 过点D作DE⊥AB、DF⊥BC、DG⊥AC，垂足分别为E、F、G， ∵AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴DE=DF=DG， ∴S△ABC=AC•BC=（AB+BC+AC）•DF， 即×6×8=（10+8+6）•DF， 解得DF=2， 即点D到BC的距离为2cm． 故答案为2cm. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，作辅助线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得到点D到△ABC三边的距离相等是解题的关键． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连结AE．如果AECD时，恰好CD＝2.5，那么此时BE＝ ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】画出图形，设与的交点为点，过作于，先根据勾股定理可得，根据折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，利用勾股定理可得，最后利用的面积可求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，设与的交点为点，过作于， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， （等腰三角形的三线合一）， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 三、解答题 19．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 【答案】2.4米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴（米）， 答：此时梯顶A距地面的高度是2.4米． 20．如图，在离水面高度为3米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子恰好拉直的长度为的3倍．求此时船离岸边的距离的长．（结果保留根号） 【答案】（米） 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先根据题意求得米，然后运用勾股定理求解即可；将实际问题转化成勾股定理问题是解题的关键. 【详解】解：由开始时绳子恰好拉直的长度为的3倍，米.则米， 所以（米）. 21．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 22．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【知识点】利用平移解决实际问题、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 23．如图，以下两个相同的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ⑴在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长是； ⑵在图2中，画一个直角三角形，使它的面积是．    【答案】(1)见解析；(2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（1）画出两直角边长分别为1和2，则根据勾股定理斜边长为；（2）根据直角三角形的面积为，则两直角边长分别为，据此画出图形即可. 【详解】（1）∵， ∴两直角边长分别为1和2， 图形如图所示：    （2）∵直角三角形的面积为， ∴两直角边长分别为， 图形如图所示：    ∵，， ∴△ABC为直角三角形， 所以△ABC即为所求. 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识，主要考查学生的计算能力和动手操作能力. 24．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3． （1）求BC的长； （2）求证：CE⊥EF． 【答案】（1）；（2）详见解析． 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）依据Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，利用勾股定理即可得到BC的长； （2）利用勾股定理求得EC＝，EF＝，CF＝3，即可得到CE2+EF2＝CF2，进而得出△CEF是直角三角形，即可得到CE⊥EF． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1， ∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°， ∵AF＝2， ∴BF＝1， ∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3， ∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2， ∴BC＝ ＝＝， ∴BC的长是； （2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝， ∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2， ∴根据勾股定理得，EF＝ ＝ ， ∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1， ∴根据勾股定理得，EC＝＝， ∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3， ∴CE2+EF2＝CF2， ∴△CEF是直角三角形， ∴CE⊥EF． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．    (1)请以三点中其中一点为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出、三点的坐标； (2)小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由； (3)的面积是多少？ 【答案】(1)图见解析， (2)同意，理由见解析 (3)5 【知识点】坐标与图形、判断三边能否构成直角三角形、写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）以点为坐标原点，构建直角坐标系，进而写出三个点的坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可； （3）利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，构建直角坐标系，如图：    由图可知：； （2）同意，理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （3）的面积． 【点睛】本题考查坐标与图形，正确的建立直角坐标系，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键． 26．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，，全等三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据线段之间的关系，求出，根据勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理求出，再根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可；分类讨论：当点在上；当点在的延长线上；根据，得到，再根据三角形的性质，即可． 【详解】（1）∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． （2）∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵． 当点在上，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 27．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， 是直角三角形 着火点C受洒水影响 （2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点 则 在中， 着火点C能被扑灭． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$