精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市2024-2025学年高三上学期10月期中教学质量检测数学试题

秘密★启用前 石嘴山市2025届高三年级教学质量检测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 5.本试卷共5页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则等于（ ）． A. B. 6 C. D. 18 3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 66 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与直线有两个交点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 设a，b是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上为增函数 D. 函数在上有且只有2个零点 11. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当为正整数时， C. 对任意正实数，在区间内恰有一个极大值点 D. 若在区间内恰有个极大值点，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，则___________；___________. 13. 某公司进行招聘，甲､乙､丙被录取的概率分别为，且他们是否被录取互不影响，若甲､乙､丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为______. 14. 代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明､计算过程､证明过程. 15. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知函数其中为常数. （1）求在处的切线方程； （2）若，使成立，求的最小值. 17. “政府送温暖，老人有饭吃”.近年来，石嘴山市各级政府，重视提高老年人的生活质量.在医疗､餐饮等多方面，为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区，创建了“幸福大食堂”､“爱心午餐”､“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）完成上面列联表；依据小概率值的的独立性检验，能否据此推断用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望. 附：参考公式和临界值表其中，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 （1）求的值； （2）若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 石嘴山市2025届高三年级教学质量检测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 5.本试卷共5页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分，每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数函数单调性求解集合，再结合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：C. 2. 已知向量，则等于（ ）． A. B. 6 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积定义直接运算. 【详解】因为向量，所以，且，则， 故选:C． 3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质及求和公式进行计算即可. 【详解】由，得，得. 故选：D 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断. 【详解】由，，若，则，解得， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：结合两角差与和的正弦公式可得，再结合二倍角公式化简即可求解； 方法二：先利用诱导公式可得，进而结合两角和的余弦公式得到，可得的值，进而求解. 【详解】方法一：由， 得， 即， 即， 所以， 即. 方法二：由， 得， 即 所以，，即， 所以 故选：A. 7. 已知函数的图象与直线有两个交点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可； 【详解】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点， 所以分析函数的对称中心为， 所以，， 所以， 故选：C. 8. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可． 【详解】设，则，，， 由，可得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 则椭圆长轴长的最小值是. 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 设a，b是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据空间中线面的关系，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：若，，则可平行，可相交，也可异面，故A错误； 对于B：若，，则，故B正确； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：，，则，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上为增函数 D. 函数在上有且只有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的周期判断A，根据函数的对称轴判断B，根据正弦型函数的单调性判断C，根据数形结合判断D. 【详解】对于选项A：由题意得函数的最小正周期为， 所以成立，A项正确； 对于选项B：因为为最小值， 可知直线是图象的一条对称轴，所以成立，B项正确； 对于选项C：当时，， 且在内单调递减，可知在上为减函数，C项错误； 对于选项D：由题意知在有两个不等实根， 设，且， 由函数的图象，如图， 易知与直线有两个不同的交点，D项正确. 故选：ABD 11. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. 当时， B. 当为正整数时， C. 对任意正实数，在区间内恰有一个极大值点 D. 若在区间内恰有个极大值点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出在上的表达式，然后利用函数工具分别考查每个选项，即可得到答案. 【详解】当满足时，有 . 此时有. 从而对有，对有， 故在上递增，在上递减， 这表明的全部极大值点是. 对于A，取即知，所以A错误； 对于B，有，所以B正确； 对于C，在中取和，即知和都是的极大值点， 它们都在中，故结论对不成立，所以C错误； 对于D，由于，故的前四个极大值点分别是的情况， 对应的极大值点是，这表明条件等价于，所以D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对不同的区间分别讨论对应的函数表达式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，则___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求出，即可求解，再利用求解即可. 【详解】由于，则， 所以； . 故答案为：，. 13. 某公司进行招聘，甲､乙､丙被录取的概率分别为，且他们是否被录取互不影响，若甲､乙､丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件， 则， 所以 ， ， . 故答案为：. 14. 代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明､计算过程､证明过程. 15. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 16. 已知函数其中为常数. （1）求在处的切线方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即，令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则， 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 17. “政府送温暖，老人有饭吃”.近年来，石嘴山市各级政府，重视提高老年人的生活质量.在医疗､餐饮等多方面，为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区，创建了“幸福大食堂”､“爱心午餐”､“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）完成上面列联表；依据小概率值的的独立性检验，能否据此推断用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望. 附：参考公式和临界值表其中，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关； （2）分布列： 1 2 3 数学期望为2 【解析】 【分析】（1）依题意补全列联表；计算值和临界值比较，得到结论； （2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知的可能取值为，再利用古典概型求出相应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人， 得完整列联表如下表： 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 假设：用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关 . 根据小概率值的的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认定成立，即可以认定用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关； 【小问2详解】 由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人， 方法一：易知的可能取值为， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . 方法二：根据题意可得：服从超几何分布，且 的分布列为： . 18. 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 （1）求的值； （2）若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 【答案】（1）； （2）（i），依题意，， 设，，求导得， 函数在上单调递增，即当时，， 即， 因此，，所以. （ii）由（i）知， 且， 因此 ，即， 所以当且时，. 【解析】 【分析】（1）利用定义求出，再利用错位相减法求和即得. （2）（i）构造函数，利用导数探其单调性推理得证；（ii）利用（i）的结论，结合裂项相消法求和即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断其单调性，赋值计算得到是解决第2问的关键. 19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【答案】（1）设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． 【小问3详解】 设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取， ，不妨设， ，，因此随增大而增大，因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $