精品解析：江西省景德镇市乐平市洪马中学2024届高三下学期5月第三次模拟数学试题

江西省乐平市洪马中学2024届高三下学期5月份第三次模拟试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答在答题卡上.选择题每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，满足，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知（其中为自然对数的底数），，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设数列的前项和为，且，记为数列中能使成立的最小项，则数列的前2023项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12 10. 已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 的对称中心为 D. 在的值域为 11. 在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线，所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 当，，，四点共面时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 已知向量，，，且，则___________. 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的面积； （2）若的内切圆半径为，，求的值． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. （1）求证:; （2）若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 18. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值． 19. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省乐平市洪马中学2024届高三下学期5月份第三次模拟试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答在答题卡上.选择题每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集及补集运算即可求解. 【详解】由条件可得：， 所以， 故选：D 2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘方求出复数，再利用复数除法求出及共轭复数. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：A 3. 已知空间向量，满足，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】目标式平方，利用转化法求解可得 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：C 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 6. 已知（其中为自然对数的底数），，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的单调性可判断大小，在构造新函数，对其求导根据其单调区间，在根据单调性，可判断大小. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，可得， 由在上递增，可得，即， 综上可得. 故选：A 7. 已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，由在区间上恰有个零点，结合正弦函数图象得，最后根据函数在区间上单调递增，结合正弦函数的单调性得，最后确定的取值范围. 【详解】因为，得，又，则， 当时，， 因为在上只有个零点，所以，解得， 当时，， 因为，所以，， 又因为在上单调递增，所以，解得， 综上可得. 故选：C. 8. 设数列的前项和为，且，记为数列中能使成立的最小项，则数列的前2023项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据与的关系，得到数列的通项公式，再根据规律找到满足条件能使成立的最小项，并对于不同的值，计算满足条件的个数，从而求和得解. 【详解】因为，则， 两式相减，得， 又当时，，故， 所以是以，的等比数列，则， 显然递减，要使得最小，即要使得最大， 令，得. 若，则; 若，则; 若，则 若，则; 若，则， 则 ， ， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得，从而分类讨论的取值范围，求得对应的值，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A,根据函数值结合对称性判断C,应用函数对称性结合单调性判断B,数形结合判断的图象与的图象所有交点个数再结合对称性判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确. 对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为， 故当时，，故，故B错误. 对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确. 对于D，因为，故的图象关于对称， 而，且时，此时在上为增函数， 故图象如图所示： 由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 的对称中心为 D. 在的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域. 【详解】对于A，由题意得，则， 所以，故正确； 对于B，时，，故B错误； 对于C，由，解得， 所以函数的对称中心为，故C正确； 对于D，时，， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以，故正确. 故选：. 11. 在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线，所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 当，，，四点共面时， 【答案】AC 【解析】 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求点Q到平面的距离，然后可得三棱锥的体积，可判断A；利用向量法求，即可判断B；利用两点间距离公式和二次函数性质可判断C；根据四点共面求出点Q坐标，然后由向量数量积即可判断D. 【详解】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设，则， 设为平面的法向量， 则，取得， 所以，点Q到平面的距离， 易知，所以， 所以，A正确； 因为， 所以直线，所成角的余弦值为，B错误； 由上可知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为，C正确； 当，，，四点共面时，则有， 因为， 所以， 即，解得， 此时，，又，所以， 因为， 所以与不垂直，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】35 【解析】 【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 而由二项式定理得的通项为， 令，解得，令，解得， 则含有的项为， 即的系数为35． 故答案为：35. 13. 已知向量，，，且，则___________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算列方程组求解参数，即可得结论. 【详解】由题意得， 因为，所以，得，，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 而的定义域为，故为上的奇函数， （不恒为零），故为上的单调减函数， 又即为：， 也就是，故， 故的解集中有且仅有两个正整数， 若，则当时，， 此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意； 若，因为，， 故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3， 不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数， 设，， 故在上为增函数，由题设可得， 故， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可； （2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； 【小问2详解】 由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的面积； （2）若的内切圆半径为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值． 【小问1详解】 在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. 【小问2详解】 根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故， 即. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. （1）求证:; （2）若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 所以， 因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形是矩形，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 因为 所以，即； （2）是棱PD的中点. 【解析】 【分析】（1）首先利用垂直关系证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用数量积证明线线垂直； （2）首先求平面的法向量，再利用线面角的向量公式，建立方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得 设为平面的法向量， 则，令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以，因为，所以， 即是棱PD的中点. 18. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可； （2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果. 【小问1详解】 设 因为过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8 所以则有 所以 所以 所以的方程为 【小问2详解】 斜率不存在时.方程为，方程为 则有 所以 斜率为时.方程为，此时无法构成，不符合题意； 斜率存在且不为时.设方程为 则方程为 所以 由 得 所以 所以 同理，设 代入并化简可得. 所以 即... 令则 即 所以此时当时，面积最小， 【点睛】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果. 19. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）零点个数为1，理由如下： 令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 【解析】 【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式； （2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题； （3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 由题意得，， 令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $