1.4二次函数的应用 课件2024-2025学年 浙教版九年级数学上册

1.4二次函数的应用 问题情境 给你长6m的铝合金条，设问： （1）你能用它制成一个矩形窗框吗？ （2）怎样设计，窗框的透光面积最大? 请你求出最大面积. 图片来源：百度图片 3-x x （2）解：设矩形的宽为x(m)， 矩形面积为S(m2). 则S=x(3-x)=-x2+3x ∵3-x＞0， 解得0＜x＜3. ∵x=，且在0＜x＜3的范围内 , 答：当长和宽都为m时，面积最大为m2. ∴3-x=此时S最大= . 解：设圆的半径为x(m)，窗户透光面积为S(m2). 则S=2x(3-3.5x-x)+x2 =-7x2-x2+6x ∵3-3.5x-x＞0，解得0＜x＜. ∵x=，在0＜x＜取值范围内. ∴当x=≈0.53，3-3.5x-x≈1.23时，S最大≈1.05. 答：当窗户半圆的半径为0.53m，矩形的长为1.23m时，窗户透光面积最大，最大值约为1.05m2. 例1 如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大(精确到0.01m)? πx 2x 2x x x x 图片来源：百度图片 实际应用 方法小结 二次函数解决几何面积最值问题： 1.设自变量； 2.建立函数表达式； 3.求自变量的取值范围； 4.利用配方变形或顶点公式求最大值或最小值. （注意考虑自变量取值范围） 例2 如图1-18，Ｂ船位于Ａ船正东26km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 解：设经过t(h)后，A，B两船分别到达A′，B′处， 则两船之间的距离 A′B′= = = (t＞0). ∵t=-=＞0 此时A′B′最小=24(km) 答：经过小时，两船之间的距离最近， 最近距离为24km. 问题情境 26- 实际应用 如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，问： （1）经过几秒，△PBQ的面积最大？ （2）经过几秒，点P、Q之间的距离最小？ （1）解：运动时间为t(s)， △PBQ的面积为S(cm2). 则S=2t(6-t)÷2=-t2+6t（0＜t≤4） ∵t=，且3在0＜t≤4的范围内 , 此时S=9cm2 答：经过3s，△PBQ面积最大为cm2. A B C P Q （2）解：运动时间为t(s)， P、Q间的距离为ycm. 则y== 求y的最小值，即求的最小值. ∵t=-=，且在0＜t≤4的范围内， 此时y最小=. 答：P、Q之间的距离最小为. A B C P Q 利用二次函数解决有关几何动点问题： 解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式，求函数的最大(小)值. 方法小结 问题情境 某商场将进价为8元的某小商品按每件10元出售，每天可以售出140件，该小商品每件涨1元，其销量就会减少10件．求: （1）每天的利润y元与涨价x元之间的函数关系. （2）该小商品每件涨价多少元时，每天的利润最大？ 【分析】总利润=(每件商品所获利润)×(销售件数) （1）解：根据题意得：y=(10-8+x)(140-10x) =-10x2+120x+280 （2）解：∵y =-10x2+120x+280 ∵a=-10＜0， ∴函数有最大值 ∴当 x=时，y最大 答：该小商品每件涨价6元时，每天的利润最大. 例3 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 实际应用 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元. 则y=(x-9)(1360-80x)=-80x2+2080x-12240(10≤x≤14) x=，且13在10≤x≤14的范围内, 此时y最大=1280. 答：当售价为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元. 【分析】日均毛利润=(每件商品所获利润)×(销售件数) 根据题意，知日均销售量为400-80(x-12)=1 360-80x， 1 元 80瓶 10≤x≤14 方法小结 二次函数解决利润最值问题： 1.设自变量； 2.明确等量关系，列出函数表达式； 3.求自变量的取值范围； 4.利用配方法或顶点公式求最大值或最小值. （注意考虑自变量取值范围） 例4 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时，球的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，h=v0tgt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²). 问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 问题情境 解：由题意，得h(m)关于t(s)的二次函数表达式为h=10t-5t2. 取h=0，得一元二次方程10t-5t2=0， 解这个方程，得t1=0，t2=2. ∴t2-t1=2(s) 取h=3.75，得一元二次方程10t-5t2=3.75, 解这个方程， 得t1=0.5，t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2s，经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m. 例5 利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的解(或近似解). 解：设y=x2+x-1，则方程x2+x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图象： 由函数y=x2+x-1的图象得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解. 观察，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6. 所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6，x2≈-1.6. 知识小结 二次函数图象与一元二次方程解的关系： 此类问题考查的是，运用一元二次方程求二次函数图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，或根据函数图象，求一元二次方程的解（或近似解）. 在解决问题的过程中，体验函数与方程的相互转换. 二次函数的应用 学有所获 转化 二次 函数 数学 模型 增减性 最值 图形面积 几何动点 利润问题 与一元二次方程的关系 $$