1.4 二次函数的应用 教学设计2024-2025学年浙教版九年级数学上册

课题 1.4二次函数的应用 教学目标 1. 探究实际问题与二次函数的关系，在应用中体会二次函数的实际意义； 2. 学会用二次函数最值的性质解决最大、最小值问题； 3.培育学生独立思考和合作探究的能力，在沟通、探讨的过程中培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力，促进学生综合素养的养成. 教学内容 重点：利用二次函数求最值 难点: ①从现实问题中建立二次函数模型 ②在自变量范围内利用二次函数求最值 教学过程 教师出示问题： 想一想：用二次函数解决几何面积最值问题的方法是什么？ 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 想一想：用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 审：仔细审题，理清题意. 设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 问题情境 给你长6m的铝合金条，设问： （1）你能用它制成一个矩形窗框吗？ （2）怎样设计，窗框的透光面积最大?并求出最大面积. 实际应用 例1 如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大(精确到0.01m)? 学生根据上节课所学知识，说一说用二次函数解决几何面积最值问题的方法是什么？ 方法小结 二次函数解决几何面积最值问题： 1. 设自变量； 2.建立函数表达式； 3.求自变量取值范围； 4.利用配方法或顶点公式求最大值或最小值. 教师出示课本问题： 问题情境 例2 如图1-18，Ｂ船位于Ａ船正东26km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 学生思考，回答课本中的问题. 学生在教师的引导下完成解题过程，教师讲解解题方法. 实际应用A B C P Q 如图，在△ABC中，∠B=90°.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，问： （1）经过几秒，△PBQ的面积最大？ （2）经过几秒，点P、Q之间的距离最小？ 方法小结 利用二次函数解决有关几何动点问题： 解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式，求函数的最大(小)值. 活动意图说明： 数学不能脱离生活实际，通过例题，加深对知识了解，做到数和形完美结合，经过此题有意训练，培养学生的思维严密性，为以后能灵活地利用知识处理问题奠定了坚实基础. 问题情境 某商场将进价为8元的某小商品按每件10元出售，每天可以售出140件，该小商品每件涨1元，其销量就会减少10件．求: （1）每天的利润y元与涨价x元之间的函数关系. （2）该小商品每件涨价多少元时，每天的利润最大？ 实际应用 例3 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 活动意图说明： 学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力. 方法小结 二次函数解决利润最值问题： 1.设自变量； 2.明确等量关系，列出函数表达式； 3.求自变量取值范围； 4.利用配方法或顶点公式求最大值或最小值. 学生在教师的指导下完成课本利润问题. 师生共同完成解题过程. 学生在教师的引导下总结求解最大利润问题的一般步骤. 教师出示课本问题： 学生思考，回答课本中的问题. 学生在教师的引导下完成解题过程，教师讲解解题方法. 学生共同总结利用二次函数解决抛球问题的方法. 问题情境 例4 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时，球的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，h=v0t-gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 活动意图说明： 数学不能脱离生活实际，通过例题，加深对知识了解，做到数和形完美结合，经过此题有意训练，培养学生的思维严密性，为以后能灵活地利用知识处理问题奠定了坚实基础. 例5 利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的解(或近似解). 知识小结 二次函数图象与一元二次方程解的关系： 此类问题考查的是，运用一元二次方程求二次函数图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，或根据函数图象，求一元二次方程的解（或近似解）. 在解决问题的过程中，体验函数与方程的相互转换. 学生在教师的指导下完成课本例题。 师生共同完成解题过程。 学生在教师的引导下总结求利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤. 活动意图说明： 学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力. 教师设问：本节课你学到了哪些知识？ 学生回顾梳理： 用二次函数的知识解决：图形面积、几何动点、利润问题、二次函数与一元二次方程的关系 学有所获 学科网（北京）股份有限公司 $$