几何解答题冲刺卷2024－2025学年人教版数学八年级上册

2024八年级几何解答题冲刺卷 一．解答题（共30小题） 1．如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 　 　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性． 2．如图1，已知△ABC和△DBE都是等边三角形，且点D在边AC上，AD＞CD． （1）求证：△ABD≌△CBE． （2）求∠DCE的度数． （3）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，设△BCE的面积为S1，△BCD的面积为S2，求△BFD的面积（用含S1，S2的代数式表示）． 3．在△ABC中，AB＝AC，点P为线段BC上任意一点（P与B，C不重合），连接AP． （1）若BC＝16，AB＝10， ①求AP的最小值． ②当AP＝7时，求BP的长． （2）若AB＝m，AP＝n，请用含m，n的代数式表示BP•PC，并说明理由． 4．如图，已知等腰△ABC，AC＝BC，∠CBD是△ABC的外角． （1）尺规作图：作∠CBD的平分线，与AC的延长线交于点E； （2）在（1）条件下，设∠CBE为α，∠A为β． ①求β关于α的函数表达式； ②若△CBE为等腰三角形，求α的值． 5．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边向上作等腰△ADH，使得∠ADH＝∠C，DH交AB于点K， （1）若∠B＝20°，求∠H度数； （2）若HD＝BC． ①求证：AD＝2AC； ②设AC＝a，求HK的长（用含a的代数式表示）． 6．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠BCD＝60°，∠ABC＝α（60°＜α＜180°），E为AD中点，连接AC，BE交于点F． （1）当α＝100°时，∠BAC＝　 　，∠ABF＝　 　； （2）当α的大小改变时，∠BFC的度数是否发生改变？若变化，求∠BFC的变化范围，若不变，求∠BFC的度数； （3）猜想AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由； （4）若S△ABF：S△CBF＝3：8，则＝　 　． 7．如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸A的坐标为（﹣5，2），磁吸B的坐标为（﹣3，6）． （1）现要在展板上再放置两个磁吸C和D，使点C，D分别与点A，B关于y轴对称．画出点C，D的位置，并分别写出点C，D的坐标． （2）将A，B，C三点两两连接，判断△ABC的形状，说明理由． （3）在（1）的条件下，若要在直线AD，BC的交点处放置磁吸E，求点E的坐标． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 9．综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是斜边AC上动点，点E在直线BC上，满足PB＝PE，过点E作EQ⊥AC，垂足为Q，设∠PBE＝α． 圆圆同学提出的问题：探究PQ与AC之间的数量关系； 方方同学提出的问题：探究AP，PQ，QC之间的数量关系； 经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取AC中点D，连接BD，可以证明：△BDP≌△PQE，从而得到对应线段相等… 请你继续完成以下问题： （1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当α＝60°时，请直接写出PQ与AC这两条线段长度之间的数量关系 　 　； （2）数学思考：如图2，当45°≤α≤90°时， ①PQ与AC这两条线段长度之间的数量关系：　 　； ②探究AP，PQ，QC这三条线段长度之间的数量关系得：　 　；并写出探究过程； （3）延伸拓展：如图3，当0°≤α＜45°时，探究AP，PQ，QC这三条线段长度之间的数量关系得：　 　；并写出探究过程． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BA至点D，使，连结CD，作∠BAC的平分线与∠BDC的平分线交于点E，连结EB，EC． （1）求证：AD⊥CD； （2）求∠DBE的度数； （3）求的值． 11．【综合与实践】 问题情景： 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝4，点E，F分别在AB，AC上，将△AEF沿EF折叠得△DEF，使点A的对应点D落在线段CE上．各学习小组先解决老师提出的问题，然后又提出了新的数学问题，请你解决这些问题． 问题解决： （1）老师提出问题：如图1，若∠ACE＝30°，求AE：AF的值． 深入探究： （2）如图2，勤学小组提出问题：若CE是AB边上的中线，求AE：AF的值． 拓展探究： （3）如图3，奋进小组提出问题：将直角三角形纸片换成等边三角形纸片，即在等边△ABC中，若CE是AB边上的中线，求AE：AF的值． 12．【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫作为“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B＝3∠D，求∠B的度数； （2）如图②，∠MON＝60°，OB平分∠MON，A是射线OM上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”． ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数； ②若OB＝m，若S△BOC：S△BOA＝n，求OC的长（用含m、n的代数式表示）． 13．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F． （1）求证：△BEO是等腰三角形． （2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长． （3）如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OA，当∠BAC＝60°，OG＝1时，求OA的长度． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，CD是∠ACB的角平分线，点E，F分别是边AC，BC上的动点（不与点A，B，C重合），连结DE，DF． （1）若分别记△BCD，△ACD的面积为S△BCD，S△ACD，求S△BCD：S△ACD的值． （2）设AE＝x，BF＝y， ①若S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF，求x+y的值． ②若S△ADE+S△BDF＝，x﹣y＝2，请判断△BDF的形状，并说明理由． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E在AD上，DE＝DC，连接BE．M，N分别是BE，AC的中点，连接MN，ND，MD． （1）求证：△BED≌△ACD； （2）求证：△MND是等腰直角三角形； （3）若DC＝1，∠ABE＝15°，求MN的长． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，在AC的右侧作锐角三角形ACD，使AC＝AD，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE． （1）求证：∠ABE＝∠ACE； （2）求证：△ACE≌△ADE； （3）若，DE＝1，求AD的长． 17．如图，已知△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，连接BD、CE． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由． 18．如图，点A在直线l上，在直线l右侧作等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE． （1）求证：∠ADC＝∠ACD； （2）求证：∠BEC＝α； （3）当α＝90°时，求证：ED2+CE2＝2AB2． 19．如图1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点F在边BC上，过点B作BE⊥AB于点B，交AF的延长线于点E，且BF＝BE． （1）求证：∠CAF＝∠BAF； （2）如图2，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FG⊥BA于点G． ①求证：BM＝CF； ②若AC＝6，AB＝10，求AE的长．（结果可以保留根号不化简） 20．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF， （1）试说明：△FBD≌△ACD； （2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：； （3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由． 21．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）． （1）如图1，若△ADC是直角三角形， ①当AD⊥BC时，求AD的长； ②当AD⊥AC时，求CD的长． （2）如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B． ①若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD ②若△ADE是等腰三角形，求CD的长． 22．如图，C是线段BD上的一点，以BC，CD为斜边在线段BD同侧作等腰直角三角形△ABC和△CDE，过D作DF⊥DE于点D，且DF＝AB，连接AF交BD于点G，连接AE，EF． （1）求证：△AGB≌△FGD； （2）请判断△AEF的形状，并说明理由； （3）请写出∠CAG与∠DEF的数量关系，并说明理由． 23．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由． 24．（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD； 琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD＝AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论； 宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG＝CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论．请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程． （2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、AC上的点，DA平分∠FDE，且∠FDE＝120°，求证：BE＝CF． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°． （1）求BC的长． （2）在线段BC上取点M，使BM＝BA，求△ACM的面积． 26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，以EF为边构造△EFD，使ED＝DF，∠EDF＝90°，过点D作DH⊥AE，垂足为H，延长BF交DH于点G． （1）如图①，若点D恰好在AC的延长线上，此时点A与点H重合，点C与点G重合． ①求证：△HDE≌△GFD． ②若BF＝1，CF＝3，求DF的长． （2）如图②，将点F沿着BC边继续平移，此时△HDE≌△GFD仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，连结AD，当点C与点F重合时，请直接写出AD与DH的数量关系． 27．在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是BC边上的高，点E在边BC上，连接AE． （1）当AD＝6时， ①求△ABC的面积． ②若AE平分∠BAD，求CE的长． （2）探求三条线段AE，BE，CE之间的等量关系． 28．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF，连接PA、PE、PF． ①如图2，当PF⊥AC时，求AP的长． ②如图3，当点P落在BC上时，求证：PF＝FC． 29．如图，四边形ABCD，BC∥AD，P为CD上一点，PA平分∠BAD．且BP⊥AP． （1）若∠BAD＝80°，求∠ABP的度数； （2）求证：BA＝BC+AD； （3）设BP＝3a，AP＝4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E点F．若AB＝EF，求AE的长（用含a的代数式表示）． 30．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE． （1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长； （2）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数； （3）若CD≠CF，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由． 2024八年级几何解答题冲刺卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 　BC　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性． 【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB， （2）由ASA证明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB， （3）由ASA证明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB， ∴河宽AB的长度就是线段BC的长度． 故答案为：BC； （2）第二小组的方案可行，理由如下： ∵O是BE中点， ∴OB＝OE， ∵AB⊥BE，EF⊥BE， ∴∠ABO＝∠FEO＝90°， 在△ABO和△FEO中， ， ∴△ABO≌△FEO（ASA）， ∴EF＝AB， ∴河宽AB的长度就是线段EF的长度． （3）见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D， 测量示意图 只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下： ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠DBC＝90°， 在△ABC和△DBC中， ， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴BD＝AB， ∴河宽AB的长等于线段BD的长． 【点评】本题考查全等三角形的应用，关键是设计出全等三角形，即可求出河的宽度． 2．如图1，已知△ABC和△DBE都是等边三角形，且点D在边AC上，AD＞CD． （1）求证：△ABD≌△CBE． （2）求∠DCE的度数． （3）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，设△BCE的面积为S1，△BCD的面积为S2，求△BFD的面积（用含S1，S2的代数式表示）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明△ABD≌△CBE； （2）结合（1）根据等边三角形的性质即可求∠DCE的度数； （3）结合（1）利用三角形的面积公式分别求出△ABD的面积＝△BCE的面积＝S1＝AF•BF+FD•BF，△BCD的面积＝S2＝AF•BF﹣FD•BF，进而可以用含S1，S2的代数式表示△BFD的面积． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣∠DBC＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 由（1）知：△ABD≌△CBE， ∴∠CEB＝∠A＝60°， ∴∠DCE＝∠ABC+∠BCE＝60°+60°＝120°； （3）解：∵△ABC是等边三角形，BF⊥AC， ∴AF＝CF， 由（1）知：△ABD≌△CBE， ∴△ABD的面积＝△BCE的面积＝S1＝AD•BF＝（AF+FD）•BF＝AF•BF+FD•BF， ∵△BCD的面积＝S2＝CD•BF＝（CF﹣FD）•BF＝（AF﹣FD）•BF＝AF•BF﹣FD•BF， ∴S1﹣S2＝（AF•BF+FD•BF）﹣（AF•BF﹣FD•BF）＝FD•BF， ∴△BFD的面积＝FD•BF＝（S1﹣S2）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△ABD≌△CBE． 3．在△ABC中，AB＝AC，点P为线段BC上任意一点（P与B，C不重合），连接AP． （1）若BC＝16，AB＝10， ①求AP的最小值． ②当AP＝7时，求BP的长． （2）若AB＝m，AP＝n，请用含m，n的代数式表示BP•PC，并说明理由． 【分析】（1）①过点A作AD⊥BC于点D，当点P与点D重合时，AP最小，由勾股定理可得出答案； ②由勾股定理求出PD，则可得出答案； （2）过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理得出AB2＝m2＝AE2+BE2①，AP2＝n2＝AE2+PE2②，①﹣②可得出答案． 【解答】解：（1）①过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC，BC＝16， ∴BD＝CD＝8， ∵AB＝10， ∴＝＝6， 当点P与点D重合时，AP最小， ∴AP的最小值为6； ②∵PA＝7，AD＝6， ∴PD＝＝＝， ∴BP＝BD﹣DP＝8﹣或BP＝BD+DP＝8+； （2）过点A作AE⊥BC于点E，由（1）可知BE＝CE， 在Rt△ABE中，AB2＝m2＝AE2+BE2①， 在Rt△APE中，AP2＝n2＝AE2+PE2②， ①﹣②得， m2﹣n2＝BE2﹣PE2＝（BE+PE）（BE﹣PE） ＝（CE+PE）BP ＝CP•BP． 即BP•PC＝m2﹣n2． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线段的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 4．如图，已知等腰△ABC，AC＝BC，∠CBD是△ABC的外角． （1）尺规作图：作∠CBD的平分线，与AC的延长线交于点E； （2）在（1）条件下，设∠CBE为α，∠A为β． ①求β关于α的函数表达式； ②若△CBE为等腰三角形，求α的值． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）①利用角平分线的定义求解即可； ②由∠EBD＝∠EBC＞∠AEB，推出两种情形：∠ECB＝∠EBC或∠BCE＝∠BEC．分别构建方程求解． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）①∵CA＝CB， ∴∠A＝∠ABC＝β， ∴∠CBD＝180°﹣β， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠CBD， ∴α＝（180°﹣β）， ∴α＝90°﹣β； ②∵∠EBD＝∠EBC＞∠AEB， ∴两种情形：∠ECB＝∠EBC或∠BCE＝∠BEC． ∴2β＝90°﹣β， ∴β＝36°， ∴α＝72°． 或90°﹣β＝2β+2β ∴β＝20， ∴α＝80°， 综上所述，α的值为72°或80°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边向上作等腰△ADH，使得∠ADH＝∠C，DH交AB于点K， （1）若∠B＝20°，求∠H度数； （2）若HD＝BC． ①求证：AD＝2AC； ②设AC＝a，求HK的长（用含a的代数式表示）． 【分析】（1）先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C＝70°，再利用等腰三角形的性质可得∠HAD＝∠ADH，然后利用等量代换可得∠HAD＝∠ADH＝∠C＝70°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答； （2）①过点H作AE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BAC＝∠HED＝90°，然后利用AAS证明△ACB≌△EDH，从而可得AC＝DE，再根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝2DE，从而可得AD＝2AC，即可解答； ②利用①的结论可得AD＝2a，再利用直角三角形的斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，从而可得BC＝DH＝4a，∠C＝∠CAD，进而可得∠CAD＝∠ADH，然后利用内错角相等，两直线平行可得AC∥DK，从而可得点K是AB的中点，进而可得DK是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线定理可得DK＝AC＝a，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠CAB＝90°，∠B＝20°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝70°， ∵HA＝HD， ∴∠HAD＝∠ADH， ∵∠ADH＝∠C， ∴∠HAD＝∠ADH＝∠C＝70°， ∴∠H＝180°﹣∠HAD﹣∠ADH＝40°， ∴∠H度数为40°； （2）①证明：过点H作AE⊥AD，垂足为E， ∴∠HED＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠HED＝90°， ∵∠C＝∠ADH，HD＝BC， ∴△ACB≌△EDH（AAS）， ∴AC＝DE， ∵HA＝HD，HE⊥AD， ∴AD＝2DE， ∴AD＝2AC； ②解：∵AC＝a，AD＝2AC， ∴AD＝2a， ∵∠CAB＝90°，点D是边BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴BC＝2AD＝4a， ∴BC＝DH＝4a， ∵DA＝DC， ∴∠C＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ADH， ∴AC∥DK， ∴点K是AB的中点， ∴DK是△ABC的中位线， ∴DK＝AC＝a， ∴HK＝DH﹣DK＝4a﹣a＝a， ∴HK的长为a． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠BCD＝60°，∠ABC＝α（60°＜α＜180°），E为AD中点，连接AC，BE交于点F． （1）当α＝100°时，∠BAC＝　40°　，∠ABF＝　20°　； （2）当α的大小改变时，∠BFC的度数是否发生改变？若变化，求∠BFC的变化范围，若不变，求∠BFC的度数； （3）猜想AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由； （4）若S△ABF：S△CBF＝3：8，则＝　　． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出∠BAC的度数，根据，可以求出∠ABF的度数； （2）连接BD，求出△BCD是等边三角形，分别表示出∠ABE，∠BAC，即可求解； （3）如图，作∠FBG＝60°，BG交AC于点G，求出△BFG是等边三角形，再证明△AFB≌△CGB（AAS），从而得出AF，BF，CF之间的数量关系； （4）根据，设AF＝3a，CF＝8a，结合（3）得出BF＝GF＝CF﹣CG＝5a，再根据∠CAE＝30°，由30度直角三角形性质得出，由此即可解题． 【解答】解：（1）∵AB＝BC，∠ABC＝α＝100°， ∴∠BAC＝∠BCA＝40°， 如图，连接BD ∵BC＝CD，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形 ∴BD＝CD＝AD，∠CBD＝60°， 又∵E为AD中点， ∴， ∵AB＝BC， ∴． ∴． ∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF， ∴∠ABF＝60°﹣40°＝20°． 故答案为：40°，20°； （2）结论：不变， 证明：如图，连接BD， ∵BC＝CD，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝AD，∠CBD＝60°， 又∵E为AD中点， ∴， ∵AB＝BC， ∴． ∴； （3）如图，作∠FBG＝60°，BG交AC于点G． ∵∠BFC＝60°，∠FBG＝60°， ∴△BFG是等边三角形， ∴∠BGF＝60°，BF＝FG， ∴∠BGC＝∠BFA＝120°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴△AFB≌△CGB（AAS）， ∴AF＝GC， ∵CG+CF＝CF，AF＝GC，BF＝FG， ∴AF+BF＝CF． （4）∵， ∴设AF＝3a，CF＝8a， 由（3）得：AF+BF＝CF， ∴BF＝CF﹣AF＝5a， ∵BA＝BD，E为AD中点， ∴BE⊥AD， 由（2）知∠BFC＝60°， ∴∠AFE＝∠BFC＝60°， ∴∠CAE＝30°， 在Rt△AFE中，∠CAE＝30°， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的知识，解题的关键是根据题目的条件，证明出等边三角形，之后运用相关性质定理进行推论． 7．如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸A的坐标为（﹣5，2），磁吸B的坐标为（﹣3，6）． （1）现要在展板上再放置两个磁吸C和D，使点C，D分别与点A，B关于y轴对称．画出点C，D的位置，并分别写出点C，D的坐标． （2）将A，B，C三点两两连接，判断△ABC的形状，说明理由． （3）在（1）的条件下，若要在直线AD，BC的交点处放置磁吸E，求点E的坐标． 【分析】（1）根据y轴对称即可得到点C和点D的坐标； （2）求出AC，AB和BC的长度，通过勾股定理的逆定理即可得到△ABC是直角三角形； （3）求出直线AD和直线BC的函数解析式，通过求两个一次函数的交点即可得到点E的坐标． 【解答】解：（1）由点C，D分别与点A，B关于y轴对称，作出对应的点C和点D， 得点C的坐标为（5，2），点D的坐标为（3，6）； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 连接AB、AC、BC， ∵A（﹣5，2），B（﹣3，6），C（5，2）， ∴AC＝10，AB＝，BC＝， ∵AB2+BC2＝100，AC2＝100， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）设直线AD的解析式为y＝ax+b， 代入A（﹣5，2），D（3，6）， 得， 解得， ∴直线AD的解析式为， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 代入B（﹣3，6），C（5，2）， 得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 联立， 解得， ∴直线AD，BC的交点的坐标为， ∴点E的坐标为． 【点评】本题考查平面直角坐标系中的y轴对称，勾股定理的逆定理，待定系数法求函数解析式，求函数交点等知识，本题的关键是求出直线的解析式，通过求交点得到点E的坐标． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论； （2）过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E，证明△EQP≌△CQD（AAS），由全等三角形的性质得出QE＝QC，则可得出结论； （3）方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F，证明△AMB≌△EMC（SAS），得出∠B＝∠ECM，证出PF＝AE＝2AM，DQ＝DF，则可得出结论． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DP⊥BC， ∴∠B+∠P＝∠C+∠CQD＝90°， ∴∠AQP＝∠CQD＝∠P， ∴AP＝AQ． （2）解：QC＝2AQ． 理由：过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E， ∴∠E＝∠C，∠APE＝∠B， 由题意，得∠E＝∠APE， ∴AE＝AP＝AQ． ∴QE＝2AQ． ∵点Q是线段DP的中点， ∴PQ＝DQ， ∵∠EQP＝∠DQC， ∴△EQP≌△CQD（AAS）， ∴QE＝QC， ∴QC＝2AQ． （3）解：DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM， ∵∠AMB＝∠CME，AM＝ME， ∴△AMB≌△EMC（SAS）， ∴∠B＝∠ECM， ∴AB∥CE， ∵AM⊥BC，PD⊥BC， ∴AM∥PD， ∴四边形AEFP是平行四边形， ∴PF＝AE＝2AM， ∵AM＝ME，AM⊥CM， ∴AC＝CE， ∴∠CAM＝∠CEM， ∵AE∥QFD， ∴∠CAM＝∠CQF，∠CEM＝∠CFQ， ∴∠CQF＝∠CFQ， ∴CQ＝CF， ∴DQ＝DF， ∴PD+DQ＝PD+DF＝PF＝2AM． 即DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【点评】本题考查了等腰三角形与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是斜边AC上动点，点E在直线BC上，满足PB＝PE，过点E作EQ⊥AC，垂足为Q，设∠PBE＝α． 圆圆同学提出的问题：探究PQ与AC之间的数量关系； 方方同学提出的问题：探究AP，PQ，QC之间的数量关系； 经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取AC中点D，连接BD，可以证明：△BDP≌△PQE，从而得到对应线段相等… 请你继续完成以下问题： （1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当α＝60°时，请直接写出PQ与AC这两条线段长度之间的数量关系 　PQ＝AC　； （2）数学思考：如图2，当45°≤α≤90°时， ①PQ与AC这两条线段长度之间的数量关系：　PQ＝AC　； ②探究AP，PQ，QC这三条线段长度之间的数量关系得：　AP+QC＝PQ　；并写出探究过程； （3）延伸拓展：如图3，当0°≤α＜45°时，探究AP，PQ，QC这三条线段长度之间的数量关系得：　AP＝QC+PQ　；并写出探究过程． 【分析】（1）取AC中点D，连接BD，先说明△PBE为等边三角形，再证明△BDP≌△PQE即可解答； （2）①取AC的中点D，连接BD，证明△BDP≌△PQE即可解答； ②由①知AC＝2PQ，结合AC＝AP+PQ+QC，即可得到2PQ＝AP+PQ+QC，进而得到答案； （3）AP＝QC+PQ，过B作BD⊥AC，证明△PDB≌△EQP得出BD＝PQ，再根据线段直角的关系即可解答． 【解答】解：（1）取AC中点D，连接BD， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，D为中点， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BAC＝∠BCA＝45°，BD＝AD＝CD＝AC，∠BDA＝∠CDB＝90°， 当α＝60°时， ∵PB＝PE， ∴△PBE为等边三角形， ∴∠PBE＝∠PEB＝∠BPE＝60°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠BPD＝90°﹣15°＝75°， ∴∠EPQ＝75°﹣60°＝15°＝∠PBD， ∵∠PDB＝∠PQE＝90°，PB＝PE， ∴△BDP≌△PQE（AAS）， ∴BD＝PQ， ∵BD＝AC， ∴PQ＝AC； 故答案为：； （2）①取AC的中点D，连接BD， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，D为中点， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BAC＝∠BCA＝45°，BD＝AD＝CD＝AC，∠BDA＝∠CDB＝90°， ∵PB＝PE， ∴∠PBE＝∠PEB， ∵∠PBE＝∠DBC﹣∠DBP＝45°﹣∠DBP，∠PEB＝∠C﹣∠EPQ＝45°﹣∠EPQ， ∴∠DBP＝∠EPQ， ∵PB＝PE，∠PDB＝∠EQP， ∴△BDP≌△PQE（AAS）， ∴BD＝PQ， ∵BD＝AC， ∴PQ＝AC； 故答案为：； ②AP+QC＝PQ； 由①知AC＝2PQ， ∵AC＝AP+PQ+QC， ∴2PQ＝AP+PQ+QC， ∴AP+QC＝PQ； 故答案为：AP+QC＝PQ； （3）AP＝QC+PQ， 过B作BD⊥AC， ∵∠DBP＝45°﹣α， 在△PCE 中，∠QPE＝45°﹣α， ∠DBP＝∠QPE， 在△PDB与△EQP中， ， ∴△PDB≌△EQP（AAS）， ∴QE＝DP，PQ＝BD＝AD＝CD， 在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴BD＝AC， ∴PQ＝AC， ∵PC＝PQ﹣CQ，AP+PC＝AC， ∴AP+PQ﹣CQ＝AC＝2PQ， ∴AP＝QC+PQ． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BA至点D，使，连结CD，作∠BAC的平分线与∠BDC的平分线交于点E，连结EB，EC． （1）求证：AD⊥CD； （2）求∠DBE的度数； （3）求的值． 【分析】（1）先证△ADH是等边三角形，可得AD＝DH＝AH，∠ADH＝∠AHD＝60°，由等腰三角形的性质可求∠HDC＝30°，即可求解； （2）由“HL”可证Rt△CEF≌Rt△BEG，可得∠BEG＝∠CEF，可证∠BEC＝∠GEF＝90°，即可求解； （3）由直角三角形的性质可得BC＝2CD，BE＝BC，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，取AC的中点H， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAC＝60°， ∵AD＝AB＝AC，点H是AC的中点， ∴AD＝AH＝HC， ∴△ADH是等边三角形， ∴AD＝DH＝AH，∠ADH＝∠AHD＝60°， ∴DH＝HC， ∴∠HDC＝∠HCD＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD； （2）解：如图，过点E作EF⊥直线DC于F，EG⊥AB于G， 又∵∠ADC＝90°， ∴∠GEF＝90°， ∵DE平分∠BDC，EF⊥DC，EG⊥AB， ∴EG＝EF， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴Rt△CEF≌Rt△BEG（（HL）， ∴∠BEG＝∠CEF， ∴∠BEC＝∠GEF＝90°， 又∵BE＝CE， ∴∠EBC＝45°， ∴∠DBE＝30°+45°＝75°； （3）解：∵∠ADC＝90°，∠DBC＝30°， ∴BC＝2CD， ∵BE＝CE，∠BEC＝90°， ∴BE＝BC， ∴BE＝CD， ∴＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．【综合与实践】 问题情景： 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝4，点E，F分别在AB，AC上，将△AEF沿EF折叠得△DEF，使点A的对应点D落在线段CE上．各学习小组先解决老师提出的问题，然后又提出了新的数学问题，请你解决这些问题． 问题解决： （1）老师提出问题：如图1，若∠ACE＝30°，求AE：AF的值． 深入探究： （2）如图2，勤学小组提出问题：若CE是AB边上的中线，求AE：AF的值． 拓展探究： （3）如图3，奋进小组提出问题：将直角三角形纸片换成等边三角形纸片，即在等边△ABC中，若CE是AB边上的中线，求AE：AF的值． 【分析】（1）根据折叠的性质得∠EDF＝∠A＝90°，∠AFE＝∠DFE，根据三角形的内角和定理得到∠CFD＝60°，∠AFE＝∠DFE＝60°，求得∠AEF＝30°，根据勾股定理得到AE＝AF，于是得到AE：AF＝； （2）根据三角形中线的定义得到AE＝BE＝AB＝3，根据勾股定理得到CE＝＝＝5，由折叠的性质得∠EDF＝∠A＝90°，AF＝DF＝AC﹣CF＝4﹣CF，DE＝AE＝3，CD＝2根据勾股定理得到AF＝，于是得到AE：AF＝3：＝2； （3）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，根据CE是AB边上的中线，求得AE＝BE＝AC，∠AEC＝∠BEC＝90°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝30°，由折叠的性质得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，设AE＝x，则AC＝2x，根据勾股定理得到CE＝＝x，求得AF＝（﹣1）x，于是得到AE：AF＝x：（﹣1）x＝． 【解答】解：（1）由折叠的性质得∠EDF＝∠A＝90°，∠AFE＝∠DFE， ∵∠ACE＝30°， ∴∠CFD＝60°，∠AFE＝∠DFE＝60°， ∴∠AEF＝30°， ∴EF＝2AF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， ∴AE2+AF2＝（2AE）2， ∴AE＝AF， ∴AE：AF＝； （2）∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝AB＝3，在Rt△AEC中，AE2+AC2＝EC2， ∴CE＝＝＝5， 由折叠的性质得∠EDF＝∠A＝90°，AF＝DF＝AC﹣CF＝4﹣CF，DE＝AE＝3，CD＝2， 在Rt△CDF中，CD2+DF2＝CF2， ∴22+AF2＝（4﹣AF）2， ∴AF＝， ∴AE：AF＝3：＝2； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵CE是AB边上的中线， ∴AE＝BE＝AC，∠AEC＝∠BEC＝90°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝30°， 由折叠的性质得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF， ∴∠CDF＝120°， ∴∠CFD＝∠DCF＝30°， ∴DF＝CD， 设AE＝x，则AC＝2x， ∴CE＝＝x， ∵AE＝DE＝x， ∴CE﹣DE＝﹣x＝CD＝AE， ∴AF＝（﹣1）x， ∴AE：AF＝x：（﹣1）x＝． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫作为“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B＝3∠D，求∠B的度数； （2）如图②，∠MON＝60°，OB平分∠MON，A是射线OM上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”． ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数； ②若OB＝m，若S△BOC：S△BOA＝n，求OC的长（用含m、n的代数式表示）． 【分析】（1）根据四边形ABCD是“对角互补四边形”，求得∠B+∠D＝180°，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到∠ABC＝120°，根据角平分线的定义得到∠BOC＝∠BOA＝30°，当∠BCO＝∠BOC＝30°时，求得∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°＝∠ABC（不符合题意，舍去），当∠CBO＝∠BOC＝30°时，求得∠BAN＝∠BOA+∠ABO＝120°；当∠CBO＝∠OCB时，求得∠BAN＝∠BOA+∠ABO＝75°； ②如图②，过点B作BG⊥ON于G，BH⊥OM于H，根据已知条件得到OC：OA＝n，根据四边形COAB是“对角互补四边形”，求得∠ABC＝180°﹣∠MON＝120°，根据全等三角形的性质得到CH＝AG，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是“对角互补四边形”， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝3∠D， ∴∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝135°； （2）①∵四边形COAB是“对角互补四边形”，∠MON＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∵OB平分∠MON， ∴∠BOC＝∠BOA＝30°， 当∠BCO＝∠BOC＝30°时， ∴∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°＝∠ABC（不符合题意，舍去）， 当∠CBO＝∠BOC＝30°时， ∴∠ABO＝120°﹣30°＝90°， ∴∠BAN＝∠BOA+∠ABO＝120°； 当∠CBO＝∠OCB时， ∴∠OBC＝＝75，∠ABO＝120°﹣75°＝45°， ∴∠BAN＝∠BOA+∠ABO＝75°． 综上所述：∠BAN的度数为120°或75°； ②如图②，过点B作BG⊥ON于G，BH⊥OM于H， ∵∠BOC＝∠BOA＝30°， ∴BG＝BH＝OB＝m，OH＝m， ∴S△BOC：S△BOA＝OC•BH：OA•BG＝n， ∴OC：OA＝n， ∵四边形COAB是“对角互补四边形”， ∴∠ABC＝180°﹣∠MON＝120°， ∵∠BHO＝∠BGO＝90°， ∴∠HBG＝180°﹣∠MON＝120°， ∴∠CBH＝∠ABG， 在△CBH与△ABG中， ， ∴△CBH≌△ABG（AAS）， ∴CH＝AG， ∴OC+CH＝OA﹣AG， ∴OC+2CH＝OC， ∴（﹣1）OC＝2CH， ∴CH＝OC， ∵OH＝OC+CH， ∴OC+OC＝m， ∴OC＝． 【点评】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键． 13．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F． （1）求证：△BEO是等腰三角形． （2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长． （3）如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OA，当∠BAC＝60°，OG＝1时，求OA的长度． 【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠EBO与∠OBC的关系，∠FCO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠FOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OE＝BE，OE＝CE，EF＝BE+CF； （2）根据等腰三角形的性质、三角形的周长公式，可得答案； （3）根据角平分线的性质和判定证得OA是∠BAC的平分线，得到∠OAM＝30°，根据含30度直角三角形的性质即可求出OA． 【解答】（1）证明：∵OB是∠ABC的平分线， ∴∠EBO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴EO＝BE， ∴△BEO是等腰三角形； （2）解：由（1）的方法证得OF＝FC， 由（1）知EO＝BE， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC， ∵AB＝5，AC＝4， ∴△AEF的周长＝9； （3）解：过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OG⊥BC， ∴OM＝OG＝ON＝1， ∴OM＝ON， ∴OA是∠BAC的平分线， ∴∠OAM＝∠BAC＝×60°＝30°， ∴OA＝2OM＝2． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形周长的计算，正确地周长辅助线是解题的关键． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，CD是∠ACB的角平分线，点E，F分别是边AC，BC上的动点（不与点A，B，C重合），连结DE，DF． （1）若分别记△BCD，△ACD的面积为S△BCD，S△ACD，求S△BCD：S△ACD的值． （2）设AE＝x，BF＝y， ①若S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF，求x+y的值． ②若S△ADE+S△BDF＝，x﹣y＝2，请判断△BDF的形状，并说明理由． 【分析】（1）过D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG＝DH，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； ②由（1）知，DG⊥AC，DH⊥BC，DG＝DH，根据三角形的面积公式列方程得到DH＝，求得x+y＝，根据x﹣y＝2，得到x＝，y＝，求得CF＝2﹣＝，推出△DHC是等腰直角三角形，得到DH＝CH＝，求出CH＝CF，推出点H与点F重合，于是得到结论． 【解答】解：（1）过D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H， ∵CD是∠ACB的角平分线， ∴DG＝DH， ∴S△BCD：S△ACD＝＝＝； （2）①∵AE＝x，BF＝y， ∴CE＝4﹣x，CF＝2﹣y， ∵S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF， ∴S△ADE+S△BDF＝S△CDE+S△CDF， ∴＝， ∵DG＝DH， ∴x+y＝（4﹣x）+（2﹣y）， ∴x+y＝3； ②△BDF是直角三角形， 理由：由（1）知，DG⊥AC，DH⊥BC，DG＝DH， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD， ∴， ∴DH＝， ∵S△ADE+S△BDF＝＝x•DG+•DH＝DH（x+y）＝， ∴DH（x+y）＝， ∴x+y＝， ∵x﹣y＝2， ∴x＝，y＝， ∴BF＝， ∴CF＝2﹣＝， ∵CD是∠ACB的角平分线， ∴∠DCH＝45°， ∴△DHC是等腰直角三角形， ∴DH＝CH＝， ∴CH＝CF， ∴点H与点F重合， ∴DF⊥BC， ∴∠BHD＝90°， ∴△BDF是直角三角形． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E在AD上，DE＝DC，连接BE．M，N分别是BE，AC的中点，连接MN，ND，MD． （1）求证：△BED≌△ACD； （2）求证：△MND是等腰直角三角形； （3）若DC＝1，∠ABE＝15°，求MN的长． 【分析】（1）由SAS证得△BED≌△ACD即可； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得DM＝BM＝BE，DN＝AN＝AC，再由全等三角形的性质得BE＝AC，∠EBD＝∠CAD，则DM＝BM＝DN＝AN，∠EBD＝∠MDB＝∠CAD＝∠ADN，然后证∠NDA+∠MDE＝90°，即可得出结论； （3）先求出∠EBD＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BE＝2DE＝2，然后由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°， 在△BED和△ACD中， ， ∴△BED≌△ACD（SAS）； （2）证明：∵点M、N分别是BE、AC的中点，∠BDE＝∠ADC＝90°， ∴DM＝BM＝BE，DN＝AN＝AC， 由（1）得：△BED≌△ACD， ∴BE＝AC，∠EBD＝∠CAD， ∴DM＝BM＝DN＝AN， ∴∠EBD＝∠MDB，∠CAD＝∠ADN， 又∵∠EBD＝∠CAD， ∴∠EBD＝∠MDB＝∠CAD＝∠ADN， ∵∠MDB+∠MDE＝∠BDE＝90°， ∴∠NDA+∠MDE＝90°， 即∠MDN＝90°， 又∵DM＝DN， ∴△MND是等腰直角三角形； （3）解：∵AD＝BD，AD⊥BC， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°， ∵∠ABE＝15°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°， ∵DE＝DC＝1， 在Rt△BDE中，∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝2×1＝2， 由（2）得：DM＝BE＝×2＝1，△MND是等腰直角三角形， ∴MN＝DM＝×1＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，在AC的右侧作锐角三角形ACD，使AC＝AD，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE． （1）求证：∠ABE＝∠ACE； （2）求证：△ACE≌△ADE； （3）若，DE＝1，求AD的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质得∠ABE＝90°﹣∠AOB，∠ACE＝90°﹣∠COE，再由对顶角相得∠AOB＝∠COE，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠ADC，∠ABD＝∠ADE，再证∠ECD＝∠EDC，则CE＝DE，然后由SSS证△ACE≌△ADE即可； （3）由全等三角形的性质得∠AEC＝∠AED，再证∠AEB＝45°，过点A作AF⊥BD于点F，则△AFE为等腰直角三角形，得EF＝AF＝1，然后由勾股定理求出AD的长即可． 【解答】（1）证明：∵∠CAB＝90°，CE⊥BD， ∴∠OAB＝∠OEC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠AOB，∠ACE＝90°﹣∠COE， ∵∠AOB＝∠COE， ∴∠ABE＝∠ACE； （2）证明：∵AB＝AC，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC，AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADE， 由（1）得：∠ABE＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠ADE， ∴∠ACD﹣∠ACE＝∠ADC﹣∠ADE， 即∠ECD＝∠EDC， ∴CE＝DE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SSS）； （3）解：由（2）得：△ACE≌△ADE， ∴∠AEC＝∠AED， ∵CE⊥BD， ∴∠CED＝∠BEC＝90°， ∴∠AEC＝∠AED＝（360°﹣∠CED）＝×（360°﹣90°）＝135°， ∴∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝135°﹣90°＝45°， 如图，过点A作AF⊥BD于点F， 则△AFE为等腰直角三角形， ∴EF＝AF＝AE＝×＝1， ∴DF＝DE+EF＝1+1＝2， 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD＝＝＝， 即AD的长为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 17．如图，已知△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，连接BD、CE． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得出三角形BAD与三角形CAE全等； （2）由全等三角形的性质可得出∠ABD＝∠ACE，则可得出∠BFC＝90°，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：BF⊥CE． 理由如下： ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠DBC+∠BCF＝∠DBC+∠ACB+∠ABD＝45°+45°＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BF⊥CE． 【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 18．如图，点A在直线l上，在直线l右侧作等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE． （1）求证：∠ADC＝∠ACD； （2）求证：∠BEC＝α； （3）当α＝90°时，求证：ED2+CE2＝2AB2． 【分析】（1）由轴对称的性质可得AD＝AB＝AC，可得结论； （2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠ADC＝∠ABE＝∠ACD，由外角的性质可得结论； （3）证明∠BEC＝90°，利用勾股定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵点D与点B关于直线l轴对称， ∴直线l是DB的垂直平分线， ∴AD＝AB，DE＝BE， ∵AB＝AC， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD； （2）如图，设AB与CD交于点O， ∵AD＝AB，DE＝BE，AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE（SSS）， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵∠ADC＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ABE， ∵∠AOD＝∠ACD+∠BAC＝∠ABE+∠BEC， ∴∠BEC＝∠BAC＝α； （3）由（2）可知，∠BEC＝∠BAC＝90°， ∴BE2+EC2＝BC2， ∵ED＝EB，BC＝AB， ∴ED2+CE2＝2AB2． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键． 19．如图1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点F在边BC上，过点B作BE⊥AB于点B，交AF的延长线于点E，且BF＝BE． （1）求证：∠CAF＝∠BAF； （2）如图2，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FG⊥BA于点G． ①求证：BM＝CF； ②若AC＝6，AB＝10，求AE的长．（结果可以保留根号不化简） 【分析】（1）根据题意，易证∠CAF+∠BEF＝90°，又因为∠BAF+∠BEF＝90°，即可得到结论； （2）①先证△BEM≌△FBG，得到BM＝FG，接着证明CF＝FG，即可得到结论； ②先证△ACF≌△AGF，然后通过Rt△FBG求出AF，接着通过Rt△EMF求出EF，即可得到结果． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°， ∵∠CFA＝∠BFE， ∴∠CAF+∠BFE＝90°， ∵BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠CAF+∠BEF＝90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAF+∠BEF＝90°， ∴∠CAF＝∠BAF； （2）①证明：∵EM⊥BF，FG⊥BA， ∴∠BME＝∠FGB＝90°， ∴∠BEM+∠EBM＝90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝∠EBM+∠FBG＝90°， ∴∠BEM＝∠FBG， 在△BEM和△FBG中， ， ∴△BEM≌△FBG（AAS）， ∴BM＝FG， ∵∠CAF＝∠BAF，∠C＝90°，FG⊥AB， ∴CF＝FG， ∴BM＝CF； ②解：∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴由勾股定理得：， ∵FG⊥AB， ∴∠FGA＝90°， ∴∠C＝∠FGA＝90°， 在△ACF和△AGF中， ， ∴△ACF≌△AGF（AAS）， ∴AC＝AG＝6，CF＝FG， ∴BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4BF＝BC﹣CF＝8﹣FG， 在Rt△FBG中，FG2+BG2＝BF2， ∴FG2+42＝（8﹣FG）2， ∴FG＝3， ∴CF＝FG＝3， 由勾股定理得：， ∵△BEM≌△FBG， ∴BM＝FG＝3，EM＝BG＝4， ∵BC＝8，CF＝3， ∴BF＝BC﹣CF＝8﹣3＝5， ∴MF＝BF﹣BM＝5﹣3＝2， ∵EM⊥BF， ∴∠EMF＝90°， 由勾股定理得：， ∴． ∴AE的长为． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键． 20．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF， （1）试说明：△FBD≌△ACD； （2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：； （3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB＝DC，且∠BDF＝∠ADC＝90°，与已知DA＝DF通过SAS证得△FBD≌△ACD； （2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE＝AE＝AC，从而得出结论； （3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG＝CG，再由直角三角形CEG得出CG2＝CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系． 【解答】解：（1）∵DB＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90° 又∵DA＝DF， ∴△BFD≌△ACD； （2）∵△BFD≌△ACD， ∴BF＝AC， 又∵BF平分∠DBC， ∴∠ABE＝∠CBE， 又∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠CEB， 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE， ∴CE＝AE＝AC， ∴CE＝AC＝BF； （3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE2+GE2＝BG2， 连接CG． ∵BD＝CD，H是BC边的中点， ∴DH是BC的中垂线， ∴BG＝CG， 在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2， ∴CE2+GE2＝BG2． 【点评】此题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，运用好SAS、ASA判定三角形全等及勾股定理是关键． 21．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）． （1）如图1，若△ADC是直角三角形， ①当AD⊥BC时，求AD的长； ②当AD⊥AC时，求CD的长． （2）如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B． ①若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD ②若△ADE是等腰三角形，求CD的长． 【分析】（1）①过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质可得BD＝CD＝8，利用勾股定理可得AD的长； ②过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，由勾股定理得AD2＝AH2+DH2，AD2＝DC2﹣AC2，则62+DH2＝（DH+8）2﹣102，解方程可得DH的长，从而得出CD的长； （2）①利用三角形外角的性质得∠BDE＝∠CAD，再利用ASA证明△DBE≌△ACD； ②由题意知∠AED＞∠ADE，若△ADE是等腰三角形，则∠EAD＝∠EDA或∠DEA＝∠DAE，分别解决问题． 【解答】（1）解：①如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴BD＝DC＝8， ∴AD＝＝6； ②如图，过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H， 由①得AH＝6，由AD2＝AH2+DH2，AD2＝DC2﹣AC2， ∴62+DH2＝（DH+8）2﹣102， ∴DH＝， ∴CD＝； （2）①证明：∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD， ∴∠ADE+∠BDE＝∠C+∠CAD， ∴∠BDE＝∠CAD， ∵BD＝AC， ∴△DBE≌△ACD（ASA）； ②解：∵∠AED＝∠B+∠BDE＞∠ADE， 若△ADE是等腰三角形，则∠EAD＝∠EDA或∠DEA＝∠DAE， 若∠DEA＝∠DAE，则DA＝DE，△DBE≌△ACD，BD＝AC＝10，CD＝6， 若∠EAD＝∠EDA，则∠BAD＝∠B，DB＝DA， 62+DH2＝（8﹣DH）2， ∴DH＝，CD＝， ∴CD＝6或． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想、方程思想是解题的关键． 22．如图，C是线段BD上的一点，以BC，CD为斜边在线段BD同侧作等腰直角三角形△ABC和△CDE，过D作DF⊥DE于点D，且DF＝AB，连接AF交BD于点G，连接AE，EF． （1）求证：△AGB≌△FGD； （2）请判断△AEF的形状，并说明理由； （3）请写出∠CAG与∠DEF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先依据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠EDC＝45°，可得∠B＝∠FDG＝45°，然后利用AAS即可得△AGB≌△FGD； （2）利用SAS即可得△ACE≌△FDE，根据全等三角形的性质得AE＝FE，∠AEC＝∠FED，可得∠AEC+∠CEF＝∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°，即可得△AEF是等腰直角三角形； （3）根据三角形的内角和定理得∠CAG+∠EAF+∠AEC＝90°，由△AEF是等腰直角三角形得∠EAF＝45°，则∠CAG+∠AEC＝45°，根据全等三角形的性质得∠AEC＝∠FED，即可得∠CAG+∠DEF＝45°． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠EDC＝45°， ∵DF⊥DE， ∴∠FDG＝90°﹣∠EDC＝45°． ∴∠B＝∠FDG＝45°． 在△AGB和△FGD中， ， ∴△AGB≌△FGD（AAS）； （2）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下： ∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝45°，EC＝ED，AB＝AC，∠CED＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∵DF＝AB，DF⊥DE， ∴DF＝AC，∠EDF＝∠ACE＝90°， ∴△ACE≌△FDE（SAS）， ∴AE＝FE，∠AEC＝∠FED， ∵∠CED＝90°， ∴∠AEC+∠CEF＝∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形； （3）解：∠CAG+∠DEF＝45°．理由如下： ∵∠ACE＝90°， ∴∠CAG+∠EAF+∠AEC＝90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∴∠CAG+∠AEC＝45°， ∵△ACE≌△FDE， ∴∠AEC＝∠FED， ∴∠CAG+∠DEF＝45°． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠CBE，AE＝EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论； （2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH＝DC，即可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，AE＝EC，BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠C+∠DAC＝∠C+∠EBC＝90°， ∴∠EBC＝∠DAC， ∴∠ABE＝∠DAC； （2）解：AB＝BD+HD，理由如下： 在△ADC和△BDH中， ， ∴△ADC≌△BDH（ASA）， ∴DH＝DC， ∴BD+DH＝DB+DC＝BC＝AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键． 24．（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD； 琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD＝AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论； 宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG＝CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论．请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程． （2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、AC上的点，DA平分∠FDE，且∠FDE＝120°，求证：BE＝CF． 【分析】（1）琮琮同学：在AB上取一点F，使得AD＝AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论； 宸宸同学：过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG＝CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论； （2）在DE上截取DH＝DF，连接AH，由“SAS”可证△ADF≌△ADH，可得AH＝AF，∠AFD＝∠AHD，由等腰三角形的性质可得AE＝AH＝AF，可得结论． 【解答】（1）证明：琮琮同学：如图①a，在AB上取点F，使AF＝AD，连接CF， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠FAC， 在△ADC和△AFC中， ， ∴△ADC≌△AFC（SAS）， ∴DC＝FC，∠CDA＝∠CFA， 又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°， ∴∠B＝∠CFE， ∴CB＝CF， 又∵DC＝FC， ∴CB＝DC． 宸宸同学：如图①b，过点CG⊥AD交AD的延长线于G． ∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB， ∴CG＝CE， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDG+∠ADC＝180°， ∴∠CDG＝∠B， 在△CGD和△CEB中， ， ∴△CGD≌△CEB（AAS）， ∴CB＝CD； （2）如图②，在DE上截取DH＝DF，连接AH， ∵AD平分∠EDF， ∴∠EDA＝∠HDA， 在△ADF和△ADH中， ， ∴△ADF≌△ADH（SAS）， ∴AH＝AF，∠AFD＝∠AHD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC+∠EDF＝180°， ∴∠AED+∠AFD＝180°， 又∵∠AHD+∠AHE＝180°， ∴∠AHE＝∠AEH， ∴AE＝AH， ∴AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°． （1）求BC的长． （2）在线段BC上取点M，使BM＝BA，求△ACM的面积． 【分析】（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，结合含30°角的直角三角形的性质可求解AD的长，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解； （2）利用三角形的面颊可求解． 【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴AD＝AB＝2， ∴BD＝， ∴BC＝2BD＝； （2）如图， ∵BM＝AB＝4，BC＝， ∴CM＝BC﹣BM＝﹣4， ∴S△ACM＝CM•AD＝＝﹣4． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质求解角的度数是解题的关键． 26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，以EF为边构造△EFD，使ED＝DF，∠EDF＝90°，过点D作DH⊥AE，垂足为H，延长BF交DH于点G． （1）如图①，若点D恰好在AC的延长线上，此时点A与点H重合，点C与点G重合． ①求证：△HDE≌△GFD． ②若BF＝1，CF＝3，求DF的长． （2）如图②，将点F沿着BC边继续平移，此时△HDE≌△GFD仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，连结AD，当点C与点F重合时，请直接写出AD与DH的数量关系． 【分析】（1）①由“AAS”可证△HDE≌△GFD； ②由平移的性质可得EF＝AB，EF∥AB，可证四边形EFBA是平行四边形，可得EH＝BF＝1，由勾股定理可求解； （2）由“AAS”可证△HDE≌△GFD，可得DH＝GF，通过证明四边形AFGH是平行四边形，可得GF＝AH，由等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°， ∵∠EDF＝90°，DE＝FD， ∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠DFC， 在△HDE和△GFD中， ， ∴△HDE≌△GFD（AAS）， ②∵△HDE≌△GFD， ∴EH＝DG， ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴EF＝AB，EF∥AB， ∴四边形EFBA是平行四边形， ∴EH＝BF＝1， ∴DG＝EH＝1， ∴DF＝＝＝； （2）△HDE≌△GFD仍成立，理由如下： ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴EF＝AB，EF∥AB， ∴四边形EFBA是平行四边形， ∴AE∥BF， ∵DH⊥AE ∴DH⊥BF， ∴∠HGB＝90°， ∴∠HGB＝∠GDF+∠DFG＝90°， ∵∠EDF＝90°，DE＝FD， ∵∠EDF＝∠EDH+∠FDG＝90°， ∴∠EDH＝∠DFG， 在△HDE和△GFD中， ， ∴△HDE≌△GFD（AAS）， 当点F与点C重合时， ∵△HDE≌△GFD， ∴DH＝GF， ∵EA∥BG，DH⊥AE， ∴∠AHD＝∠BGH＝90°， ∴∠HGB＝∠AFB＝90°， ∴HG∥AF， ∴四边形AFGH是平行四边形， ∴GF＝AH， ∴DH＝AH， ∴AD＝DH． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是BC边上的高，点E在边BC上，连接AE． （1）当AD＝6时， ①求△ABC的面积． ②若AE平分∠BAD，求CE的长． （2）探求三条线段AE，BE，CE之间的等量关系． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和勾股定理得出BC，进而计算面积即可； ②根据角平分线的性质得出EF＝ED，利用等面积法得出ED，进而得出EC； （2）利用勾股定理得出等量关系式，借助线段的和差和等量代换得出等量关系即可． 【解答】解：（1）①∵AB＝AC＝10，AD是BC边上的高， ∴BD＝DC＝2BC，AD⊥BC， ∵AD＝6， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，BD＝， ∴BC＝16， ∴△ABC的面积＝； ②作EF⊥AB，与AB相交于F， ∵AD⊥BC，AE平分∠BAD， ∴EF＝ED， ∵AD＝6，AB＝10， ∴， ∵， ∴ED＝3， ∴CE＝DC+ED＝8+3＝11； （2）在Rt△AED中，AE2＝AD2+ED2， 在Rt△ADC中，，， ∴ ＝ ＝AC2﹣BC•BE+BE2 ＝AC2﹣BE（BC﹣BE） ＝AC2﹣BE•CE ＝100﹣BE•CE， ∴AE2＝100﹣BE•CE． 【点评】此题考查勾股定理，等腰三角形的性质，关键是根据勾股定理、角平分线的性质和等腰三角形的性质解答． 28．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF，连接PA、PE、PF． ①如图2，当PF⊥AC时，求AP的长． ②如图3，当点P落在BC上时，求证：PF＝FC． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝AD＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2即可； （2）设AP与EF交于点O，由折叠的性质和三角形内角和定理可知∠EAO＝30°，则AE＝，则OE＝，运用勾股定理求出AO，即可解决问题； （3）当点P落在BC上时，则AE＝PE，从而AE＝PE＝BE，可证∠EPA+∠EPB＝°＝90°，则∠CAP＝30°，从而∠CPF＝60°，可知△CPF是等边三角形． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AB＝2，∠B＝45°， 设BD＝AD＝x，则x2+x2＝（2）2， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴BC边上的高线长为2； （2）①设AP与EF交于点O， ∵PF⊥AC，沿EF将△AEF折叠得到△PEF， ∴∠AFE＝＝45°，EF垂直平分AP， ∵∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∴∠EAO＝30°， ∵点E为线段AB的中点，AB＝2， ∴AE＝， ∴OE＝， ∴AO＝＝， ∴AP＝2AO＝； ②沿EF将△AEF折叠得到△PEF，当点P落在BC上时，则AE＝PE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴AE＝PE＝BE， ∴∠B＝∠EPB，∠EAP＝∠EPA， ∴∠EPA+∠EPB＝°＝90°， 即AP⊥BC， ∵∠C＝60°， ∴∠CAP＝30°， ∵AF＝PF， ∴∠APF＝∠CAP＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△CPF是等边三角形， ∴PF＝FC， 【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明△CPF是等边三角形是解题的关键． 29．如图，四边形ABCD，BC∥AD，P为CD上一点，PA平分∠BAD．且BP⊥AP． （1）若∠BAD＝80°，求∠ABP的度数； （2）求证：BA＝BC+AD； （3）设BP＝3a，AP＝4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E点F．若AB＝EF，求AE的长（用含a的代数式表示）． 【分析】（1）由角平分线的性质求出∠BAP＝∠BAD＝40°，由直角三角形的性质可求出答案； （2）延长BP交AD的延长线于点M，证明△BAP≌△MAP（ASA），由全等三角形的性质得出BP＝PM，AB＝AM，证明△BCP≌△MDP（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DM，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，若点F在BC的延长线上或点F在CB上，EF＝AB，过点P作PG⊥AB于点G，过点P作PN⊥AD于点N，由三角形APB的面积求出PG的长，角平分线的性质得出PN的长，根据勾股定理求出AN和EN的长，则可得出答案． 【解答】（1）解：∵∠BAD＝80°，PA平分∠BAD， ∴∠BAP＝∠BAD＝40°， ∵BP⊥AP， ∴∠APB＝90°， ∴∠ABP＝90°﹣∠APB＝50°； （2）证明：延长BP交AD的延长线于点M， ∵PA平分∠BAD， ∴∠BAP＝∠MAP， 在△BAP和△MAP中， ， ∴△BAP≌△MAP（ASA）， ∴BP＝PM，AB＝AM， ∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DMP， 在△BCP和△MDP中， ， ∴△BCP≌△MDP（AAS）， ∴BC＝DM， ∴AM＝AD+DM＝AD+BC， ∴AB＝BC+AD； （3）如图2，若点F在BC的延长线上，EF＝AB，过点P作PG⊥AB于点G，过点P作PN⊥AD于点N， ∵BP＝3a，AP＝4a，∠APB＝90°， ∴AB＝＝＝5a， ∵， ∴＝， ∵PA平分∠BAD，PG⊥AB，PN⊥AD， ∴PG＝PN＝， 由（2）可知PC＝PD， 同理可得△PCF≌△PDE， ∴PE＝PF＝a， ∴AN＝＝＝，EN＝＝＝， ∴AE＝AN﹣EN＝． 如图3，若点F在CB上，EF＝AB，过点P作PN⊥AD于点N， 同理可得PE＝，PN＝， ∴AN＝，EN＝， ∴AE＝AN+EN＝． 综合以上可得AE的长为或． 【点评】本题是三边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE． （1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长； （2）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数； （3）若CD≠CF，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得CM⊥AB，∴AM＝BM，CM＝AB＝AM＝BM＝6，再由勾股定理得DM＝，即可求解； （2）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，证△CDM≌△DEN（AAS），得CM＝DN，DM＝EN，则DM+MN＝CM，由（1）得∠ABC＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，证出DM＝BN＝EN，得△BNE是等腰直角三角形，即可解决问题； （3）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2，则DM2＝BE2，再由AC2＝CM2+AM2，CD2＝CM2+DM2，即可得出结论． 【解答】（1）解：过点C作CM⊥AB于M，如图1， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AC＝6， ∴AB＝AC＝12， ∵CM⊥AB， ∴CM＝AM＝BM＝AB＝6， ∴DM＝＝＝， ∴AD＝AM﹣DM＝6﹣； （2）证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2， 则∠CMD＝∠DNE＝90°， ∴∠MCD+∠MDC＝90°， ∵DE⊥CD， ∴∠MDC+∠NDE＝90°， ∴∠MCD＝∠NDE， 又∵CD＝DE， ∴△CDM≌△DEN（AAS）， ∴CM＝DN，DM＝EN， ∴DM+MN＝CM， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠ABC＝45°， 由（1）知，CM＝AM＝BM＝AB， ∴BM＝MN+BN＝CM＝DM+MN， ∴DM＝BN＝EN， ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴∠ABE＝45°； （3）解：AC2+BE2＝2CD2，理由如下： 过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图3， 由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2， ∴DM2＝BE2， 在Rt△ACM中，CM＝AM，AC2＝CM2+AM2， 在Rt△CDM中，CM＝AM，CD2＝CM2+DM2， ∴CD2＝AC2+BE2， ∴AC2+BE2＝2CD2． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$