2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第24章第12讲正多边形和圆

2024-2025学年人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第12讲 正多边形和圆 学习目标： 1 了解正多边形和圆的有关概念. 2 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系. 3 利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形. 老师告诉你 常见正多边形的边长与半径的关系 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径；2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍。 求解与正多边形有关的计算问题 关键是被半径和边心距分割成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化成直角三角形问题 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 圆内接正多边形 顶点都在圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.它们是两个同心圆。 【新知导学】 例1．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【对应导练】 1．下列说法正确的是（　　） A．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心 C．正n边形的中心角与其每一个外角互补 D．正五边形的边长等于其外接圆的半径 2．下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 3．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 知识点2 圆内接正多边形有关概念 1.正多边形有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 正n边形的中心角的度数为，n边形的内角和为 （n﹣2）·180°， 外角和是 360° ，正n 边形的每个内角的度数为 或. 2.正多边形的有关计算 (1)正n边形的中心角： (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r么关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积 注意：圆内接正多边形的辅助线 (1)连半径，得中心角； (2)作边心距，构造直角三角形. 【新知导学】 例2．如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【对应导练】 1．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 知识点3 正多边形的作图 把一个圆n等分，依次连接各分点得到的多边形就是圆的内接正n边形。 【新知导学】 例3．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【对应导练】 1．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 3．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 4．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 二、题型训练 1.正多边形的画法在作图中的应用 1．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 2．已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图． （1）在图1中作点P，使得是等腰三角形： （2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心． 2.正多边形和圆的关系在证明中的应用 3．如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 4．如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 3.正多边形的性质在计算中的应用 5．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 6．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 3．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 5．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 7．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． . 10．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 11．如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 12．如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 13．如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径． 15．（8分）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          16．（8分）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 18．（8分）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 19．（8分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第12讲 正多边形和圆（解析版） 学习目标： 1 了解正多边形和圆的有关概念. 2 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系. 3 利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形. 老师告诉你 常见正多边形的边长与半径的关系 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径；2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍。 求解与正多边形有关的计算问题 关键是被半径和边心距分割成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化成直角三角形问题 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 圆内接正多边形 顶点都在圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.它们是两个同心圆。 【新知导学】 例1．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图形的定义和性质，是解题的关键．每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称； 根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个选项一一判断即可得出答案. 【详解】A．正多边形不一定是中心对称图形． 正确，正奇边形绕着中心点旋转后，不能与原来的图形重合， ∴正多边形不一定是中心对称图形， 故本选项正确； B．中心对称图形一定是正多边形． 错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形， ∴中心对称图形不一定是正多边形， 故本选项错误； C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． 正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形，绕对称中心转后，互相重合， 故本选项正确； D．关于中心对称的两个图形是全等形． 正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转后互相重合， 故本选项正确． 故选：B． 【对应导练】 1．下列说法正确的是（　　） A．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心 C．正n边形的中心角与其每一个外角互补 D．正五边形的边长等于其外接圆的半径 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心，故B正确； C．正n边形的中心角与其每一个外角都相等，都等于，故C错误； D．正六边形的边长等于其外接圆的半径，故D错误． 故选：B． 2．下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，轴对称和中心对称图形，根据正多边形和圆的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，原说法错误，不符合题意； B、任意一个正多边形，它的外角和为，原说法错误，不符合题意； C、任何正多边形都有一个外接圆，正确，符合题意； D、正三角形的每个外角都是对应每个内角的两倍，原说法错误，不符合题意； 故选C． 3．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 知识点2 圆内接正多边形有关概念 1.正多边形有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 正n边形的中心角的度数为，n边形的内角和为 （n﹣2）·180°， 外角和是 360° ，正n 边形的每个内角的度数为 或. 2.正多边形的有关计算 (1)正n边形的中心角： (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r么关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积 注意：圆内接正多边形的辅助线 (1)连半径，得中心角； (2)作边心距，构造直角三角形. 【新知导学】 例2．如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可． 【详解】如图，连接 ，，，． 正三角形的中心角 ， 正八边形的中心角 ， ， ， ． 【对应导练】 1．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 2．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接多边形性质，以及同弧所对圆周角等于圆心角的一半，根据圆内接多边形性质求得，再根据圆周角定理得到，即可解题． 【详解】解：是正五边形的外接圆， ， ， ， 故选：B． 4．已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 此题主要考查了正多边形和圆、利用勾股定理解三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，，作，    ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 5．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 知识点3 正多边形的作图 把一个圆n等分，依次连接各分点得到的多边形就是圆的内接正n边形。 【新知导学】 例3．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【对应导练】 1．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 2．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 3．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 4．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 二、题型训练 1.正多边形的画法在作图中的应用 1．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 2．已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图． （1）在图1中作点P，使得是等腰三角形： （2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析． 【分析】（1）直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置； （2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置． 【详解】解：（1）如图所示：点P为所求； （2）如图所示：点O为所求； 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是解题关键． 2.正多边形和圆的关系在证明中的应用 3．如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 4．如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 3.正多边形的性质在计算中的应用 5．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 6．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 又是半径， 是的切线； （2）解：， 以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ， 以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 2．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故答案为：C． 3．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键． 4．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 5．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 6．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 7．如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 8．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 10．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】y＝12x 【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果． 【详解】解：∵正多边形的中心角为30度， ∴正多边形为正十二边形， 设边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y＝12x； 故答案为y＝12x． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形的中心角求正多边形的边数是关键． 11．如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意，点D与点A关于原点对称， ∵点A的坐标为：（1，）， ∴点D的坐标为：（，）； 故答案为：（，）； 【点睛】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键． 12．如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，灵活运用相关定理成为解题的关键． 如图，根据正五边形的性质，可知圆周长，进而求出，求出，即可解答． 【分析】解：五边形为正五边形， ， 圆周长， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 【答案】或 【分析】 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点O，连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【详解】解：如图，当点在上方时， 设与相交于点O， 连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于， ∵四边形是正方形， ，， 又∵， ， 又，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 当点P在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径． 【答案】2cm 【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可． 【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO， ∵正三角形ABC内接于⊙O， ∴点O即是三角形内心也是外心， ∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=， ∴cos30°===， 解得：BO=2， 即⊙O的半径为2cm． 【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键． 15．（8分）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 16．（8分）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 17．（8分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 18．（8分）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 19．（8分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过全等很容易证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一：作法二：． 【点睛】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$