专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优））-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 列方程】 【例2】（2024·安徽蚌埠·二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 2．（23-24七年级上·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广东惠州·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为（       ） A． B． C． D．或 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）已知是关于 的一元一次方程，关于 的单项式的系数是最大的负整数，且次数与单项式的次数相同，求代数式的值． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．23-24 D．23-24 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（23-24七年级上·云南红河·期末）如果是关于的方程的解，那么的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）设，，是有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知等式3x＝2y+5，则下列等式变形不正确的是（　　） A．3x﹣5＝2y B．3x+1＝2y+6 C．x＝ D．3x＝2yz+5 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①，②，③，④． 3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．23-24 B．2024 C．2025 D．2026 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（23-24·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（23-24·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 3．（23-24·安徽·七年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（23-24·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 1．（23-24·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 2．（23-24·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 3．（23-24·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东阳江·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ）    A．25 B．21 C．20 D．19 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则 ． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 8．（23-24七年级上·河南开封·开学考试）、、各代表一个数，根据，=63，，求得 9．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为，甲、乙两种商品进价的比值是 ． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 13．（23-24·河北张家口·一模）化简整式(P是整式) (1)求P（用含m的式子表示）； (2)若，求Q的值． 14．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．求a、b满足的关系式（用含m，n的式子表示），写出推导过程． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键． 【详解】、，不是方程，不符合题意； 、是代数式，不是方程，不符合题意； 、是不等式，不符合题意； 、是方程，符合题意； 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【答案】 ①②③⑤⑦ ②⑦ 【分析】此题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键； 根据方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案；根据一元一次方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案． 【详解】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程， 故答案为：①②③⑤⑦；②⑦． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【经典例题二 列方程】 【例2】（2024·安徽蚌埠·二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 2．（23-24七年级上·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】A．不是一元一次方程，不符合题意； B．是一元一次方程，符合题意； C．不是一元一次方程，不符合题意； D．不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级上·广东惠州·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为（       ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】∵是关于的一元一次方程， ∴且， 则的值为， 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，得到和，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得或， 因为， 所以， 综上可知：． 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）已知是关于 的一元一次方程，关于 的单项式的系数是最大的负整数，且次数与单项式的次数相同，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式，代数式求值，利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式的次数，求出，，的值是解题的关键． 利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式的次数，可列出关于，，的方程及不等式，解之可得出，，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：是关于的一元一次方程，关于，的单项式的系数是最大的负整数，且次数与单项式的次数相同， ， 解得：， ． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．23-24 D．23-24 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：， 解得：， 由表可知：当时，， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（23-24七年级上·云南红河·期末）如果是关于的方程的解，那么的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接利用一元一次方程解代入x的值，进而得出答案． 【详解】解：把x＝10代入方程， 得2＋m＝−3， 解得m＝−5． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键． 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】把x=-1代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：把x=-1代入方程得：a-3+1+2-2a=0， 解得：a=0． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了一元一次方程的解，本题求、的思路是根据某数是方程的解，把代入方程，求出的值，把的值代入关系式，求出的值，进而求出的值． 【详解】解：将代入方程中， 得． 解得． 将代入关系式中，得． 解得或． 所以的值为或1． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）设，，是有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；②等式两边同时乘或除同一个数或整式（不为零），等式两边依然相等；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据等式基本性质，等式两边同时加上一个整式，等式依然成立，故若，则，该选项正确，不符合题意； B、根据等式基本性质，等式两边同时乘以同一个整式，等式依然成立，故若，则，该选项正确，不符合题意； C、根据等式基本性质，等式两边同时除以同一个整式（不为零），等式依然成立，故若，则，该选项错误，需，符合题意； D根据等式基本性质，等式两边同时乘以同一个整式，等式依然成立，故若，则，即，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；②等式两边同时乘或除同一个数或整式（不为零），等式两边依然相等是解决问题的关键． 1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知等式3x＝2y+5，则下列等式变形不正确的是（　　） A．3x﹣5＝2y B．3x+1＝2y+6 C．x＝ D．3x＝2yz+5 【答案】D 【分析】分别利用等式的基本性质判断得出即可． 【详解】A. 3x＝2y+5左右两边减去5，得3x﹣5＝2y，故此项正确； B. 3x＝2y+5左右两边加上1，得3x+1＝2y+6，故此项正确； C. 3x＝2y+5左右两边除以3，得x＝，故此项正确；     D. 3x＝2y+5左右两边乘z，得3xz＝2yz+5z，故此项错误； 故选D． 【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数（或整式），结果仍得等式是解题关键． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①，②，③，④． 【答案】①③④ 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：根据等式性质1，两边都减2，即可得到，故①正确； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故②错误； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故③正确； 根据等式性质2，两边都乘，5，即可得到，再根据等式性质1，两边都减1，可得，故④正确； 故正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键． 3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．23-24 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 2．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 【答案】7 【分析】根据等式的性质计算，得到答案．本题考查的是等式的性质以及已知式子的值求代数式的值，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， （等式两边同时除以，等式仍成立）， ， 故答案为：7． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． （1）根据等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】（1）解：两边都加4， 得； （2）两边都减2， 得， 两边都乘以2， 得； （3）两边都减1， 得， 两边都除以3， 得； （4）两边都加2， 得， 两边都除以4， 得． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（23-24·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（23-24·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 1．（23-24·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可； 【详解】解：A.当x=-2时，，故不符合题意； B. 当x=-2时，，故不符合题意； C. 当x=-2时， ，故不符合题意； D. 当x=-2时，，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2．（23-24·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 3．（23-24·安徽·七年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析. 【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为： ∵x=2是方程ax﹣4=0的解， ∴把x=2代入得：2a﹣4=0， 解得：a=2， 将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（23-24·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 1．（23-24·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 【答案】x=110 【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案． 【详解】解：第1个方程是x+=3，解为x=2×1=2； 第2个方程是=5，解为x=2×3=6； 第3个方程是=7，解为x=3×4=12； … 可以发现,第n个方程为=2n+1， 解为n(n+1) ． ∴第10个方程=21的解为：x=10×11=110． 故答案为x=110． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题． 2．（23-24·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 【答案】见解析 【详解】试题分析： 我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“，其中为正整数”，而其解为：. 试题解析： （1）猜想得：的解为，验证如下： 当时，原方程左边==方程是右边，∴是原方程的解； 当时，原方程左边==方程右边， ∴是原方程的解；即猜想是正确的； （2）一般情形：方程的解为. 3．（23-24·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则，变形正确，不符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东阳江·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握换元法是解答本题的关键． 设，将替换为x代入方程可得，据此求解即可． 【详解】解：设， 则变形为， ∴，解得：． 故选：． 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 5．（23-24七年级上·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ）    A．25 B．21 C．20 D．19 【答案】D 【分析】 根据题意可知3个比2个加1个20砝码轻，易得1个比20砝码轻，即可获得答案． 【详解】 解：根据题意，可知3个比1个加1个50砝码轻，1个加1个50砝码比2个加1个20砝码轻， 所以，3个比2个加1个20砝码轻， 即1个比20砝码轻， 所以的质量可能为19． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等式的性质，理解等式的性质是解题关键． 根据等式的性质等式左右两边同时乘以，等式左右两边同时乘以，分析求解． 【详解】解： 等式左右两边同时乘以可得： 等式变形，可得 等式左右两边同时乘以可得： ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了此题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根据解为整数，为整数，求出值，进行计算即可，正确的求出方程的解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·河南开封·开学考试）、、各代表一个数，根据，=63，，求得 【答案】 【分析】 首先根据，=63，判断出、的关系；然后根据，求出表示的数是多少即可． 【详解】 解：①，②， ②①，可得：， 所以③， 把③代入， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了简单的等量代换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出〇、口的关系． 9．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，据表格提供的数据可直接得出方程的解． 【详解】解：由，化简得： 根据表格得：当时，， 故的的解为． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为，甲、乙两种商品进价的比值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了整式的运算，根据甲种商品利润乙种商品利润两种商品的总进价总利润率列出等式，对等式进行化简即可求解，正确假设出未知数是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙商品进价分别为，售出甲种商品件，则每件甲种商品的利润为，每件乙种商品的利润为，售出乙种商品件， 根据题意得，， 化简得，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 13．（23-24·河北张家口·一模）化简整式(P是整式) (1)求P（用含m的式子表示）； (2)若，求Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式的性质可以得到，再进行移项即可得到答案； （2）先根据求出m的值，再代入化解后的整式求值即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ， ， 即． 【点睛】本题考查等式的性质和整式的代入求值，解题的关键是熟练掌握相关知识． 14．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．求a、b满足的关系式（用含m，n的式子表示），写出推导过程． 【答案】2a-2b=m-n 【分析】分别用a，b，m，n表示大长方形的长，根据同长相等，建立等式即可． 【详解】设大长方形的长为x，根据题意，得x=m-a+b，x=n-b+a， 故m-a+b=n-b+a， 故2a-2b=m-n． 【点睛】本题考查了等式的性质，用不同的代数式表示同一个量建立等式是解题的关键． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 学科网（北京）股份有限公司 $$