热点06 双曲线-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

热点06 双曲线 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点三 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 知识点四 直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 2．弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 热点一 求双曲线的标准方程 例1．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 变式1-1．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 变式1-2．已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 热点二 双曲线的简单性质 例3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（    ） A． B． C． D． 例4．（多选）已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 变式2-1．（多选）已知分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（    ） A． B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 变式2-2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为 . 变式2-3．（多选）已知双曲线方程为，则（　 ） A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 热点三 双曲线的焦点三角形 例5．已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（    ） A． B． C．14 D．15 例6．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 变式3-1．已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 . 变式3-2．设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 变式3-3．已知双曲线与椭圆有公共的焦点、，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 . 热点四 双曲线的离心率问题 例7．已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例8．已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 . 变式4-1．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 变式4-2．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 变式4-3．已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 热点五 双曲线的渐近线问题 例9．若曲线，存在两条渐近线且其夹角的余弦值为，则（     ）. A． B． C． D．不存在 例10．已知双曲线的中心在原点O，右焦点为，P是双曲线右支上一点，且的面积为.若点P的坐标为，求此双曲线的渐近线方程. 变式5-1．过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 . 变式5-2．若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 变式5-3．已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（    ）． A．3 B． C．2 D． 热点六 双曲线的弦长问题 例11．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 例12．在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足. (1)求动点的轨迹方程． (2)直线：与动点的轨迹曲线相交于M，N两点，求弦长. 变式6-1．若直线与双曲线相交于两点，则 ； 变式6-2．已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且. (1)求E的方程； (2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程 变式6-3．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点. (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且，求. 热点七 双曲线的中点弦问题 例13．焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例14．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知双曲线()经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 变式7-2．与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 变式7-3．已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)O为坐标原点，若的面积为，求直线AB的方程. 热点八 双曲线的面积问题 例15．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，当取最小值时，的面积为 . 例16．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 变式8-1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 变式8-2．已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 变式8-3．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 热点九 双曲线的最值范围问题 例17．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于，两点．若的重心为，点，则的最小值 ； 例18．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为. (1)求的方程； (2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围. 变式9-1．已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 变式9-2．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式9-3．已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 热点十 双曲线的定点问题 例19．已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 例20．已知双曲线的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，． (1)求C的标准方程； (2)经过点F的直线交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点． 变式10-1．已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点． 变式10-2．已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且． (1)求双曲线的方程． (2)已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值． (3)设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点． 变式10-3．已知点，，动点与点，连线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线，与直线分别交于，两点，求证：以为直径的圆过两定点. 热点十一 双曲线的定值问题 例21．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 例22．在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值. 变式11-1．已知双曲线：的左顶点为，斜率为的直线与交于两点，设的斜率分别为，的外心为. (1)若始终在上，求证：直线过定点. (2)记，探究是否存在定值使恒在的某条渐近线上.若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 变式11-2．已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由. 变式11-3．已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 一、单选题 1．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 2．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 4．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 7．在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 8．已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 10．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l：，，垂足为Q.当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则（    ） A．C的方程 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为 D．C的方程为 11．已知为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则的周长为 B．弦长的最小值为 C．点P到两渐近线的距离之积为 D．点P与直线距离的最小值为1 三、填空题 12．已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： . 13．设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 14．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 四、解答题 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 16．已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 17．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率. 18．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 19．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 双曲线 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点三 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 知识点四 直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 2．弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 热点一 求双曲线的标准方程 例1．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点， 所以，解得． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 例2．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为， 又两顶点间距离是8，即，所以， 且，所以， 又， 所以双曲线方程为. （2）因为双曲线中， 设椭圆方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 变式1-1．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为，焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又，结合，可得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 变式1-2．已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 变式1-3．解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对 椭圆 ，因为，所以，所以焦点为，在轴上， 设双曲线 的方程为， 所以， 且，所以， 所以， 双曲线 的标准方程为； （2） 双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以所求双曲线方程可设为： 又双曲线 经过点， 代入方程， ，即, 双曲线的标准方程为即. 热点二 双曲线的简单性质 例3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是双曲线的一条渐近线， 则，解得 故,则， 故选：A 例4．（多选）已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】AB 【详解】由题设，而，故，则， 所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为， 故A、B对，C、D错. 故选：AB 变式2-1．（多选）已知分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（    ） A． B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】CD 【详解】依题意，，且，即，解得，A错误； 显然，由双曲线定义知，B错误； 又，，则，离心率，C正确； 由双曲线的焦点在轴上，得渐近线方程为，即，D正确. 故选：CD 变式2-2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为 . 【答案】 【详解】因为一条渐近线方程为，即， 所以， 又因为左焦点为， 所以，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 变式2-3．（多选）已知双曲线方程为，则（　 ） A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 【答案】ABD 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 得，，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4，焦距为12，离心率为， 故选：ABD． 热点三 双曲线的焦点三角形 例5．已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】C 【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，半焦距，则， 在中，， 即有，解得，则，即是等腰三角形， . 故选：C 例6．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【详解】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 变式3-1．已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 即，则，所以； 则， 设，所以， 由余弦定理知，解得， 因为，所以，即双曲线的方程为. 故答案为：；. 变式3-2．设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 由双曲线定义可得，，， 由余弦定理得， 即，解得， 又，解得， 故.      故选：C 变式3-3．已知双曲线与椭圆有公共的焦点、，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 . 【答案】 【详解】根据椭圆以及双曲线定义可得, 所以， 所以， 由余弦定理可得,所以， 故， 因此的面积为，解得 故答案为： 热点四 双曲线的离心率问题 例7．已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为，令，则，，    由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理， 得， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 故在中，由余弦定理， 得， 整理得，则. 故选：C. 例8．已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 . 【答案】 【详解】设，双曲线的半焦距为，离心率为，则， 于是 ，当且仅当时取等号， 依题意，，整理得，解得， 即，解得，因此，即 所以的离心率的最大值为. 故答案为： 变式4-1．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 变式4-2．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 变式4-3．已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【详解】如图所示， 由题意可知，，， ，， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 则，又， ，解得， . 故答案为：. 热点五 双曲线的渐近线问题 例9．若曲线，存在两条渐近线且其夹角的余弦值为，则（     ）. A． B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】解：因为曲线，存在两条渐近线， 所以此曲线为双曲线， 所以， 所以两条渐近线的斜率分别为， 设两渐近线的倾斜角分别为， 则有， 又因为两渐近线夹角的余弦值为， 所以， 所以， 所以， 即， 即， 平方，整理得， 即， 解得或(舍). 所以， 因为， 所以. 故选：C. 例10．已知双曲线的中心在原点O，右焦点为，P是双曲线右支上一点，且的面积为.若点P的坐标为，求此双曲线的渐近线方程. 【答案】 【详解】 设所求的双曲线的方程为， 由，所以，所以. 由点在双曲线上，所以，解得， 所以，，所以该双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 变式5-1．过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 . 【答案】/ 【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，    由双曲线可得渐近线方程为， 双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为， 过倾斜角为的直线方程为， 由可得交点坐标为， 由可得交点坐标为， 倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为， 故答案为：. 变式5-2．若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    变式5-3．已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（    ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，则， 不妨取一条渐近线为，则， 联立方程，解得， 由对称性可知：点为线段的中点， 则， 即，解得，则， 所以C的离心率为. 故选：B. 热点六 双曲线的弦长问题 例11．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，则双曲线方程为，，， 所以直线为，设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 因为的周长为36，所以， 所以，得，所以双曲线方程为， 故选：D 例12．在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足. (1)求动点的轨迹方程． (2)直线：与动点的轨迹曲线相交于M，N两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）   设动点，由题知，， 又，由正弦定理可得，， 所以点在以为焦点，即，实轴长为2即的双曲线的右支上， 所以， 又构成三角形，故点与不共线，即点不能在轴上， 所以动点的轨迹方程为. （2）   由题意直线：过双曲线的焦点，不妨设分别在第四、一象限. 联立，化简得， 所以，而直线：的斜率为， 所以弦长 . 变式6-1．若直线与双曲线相交于两点，则 ； 【答案】 【详解】由消去y并整理得：，， 设，则， 所以. 故答案为： 变式6-2．已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且. (1)求E的方程； (2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程 【答案】(1) (2)或或. 【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为， ，， 到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即， 则， 又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且， 将代入中，得， 故， 故E的方程为. （2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入， 得，即，不符合题意；      故直线l的斜率存在，设其方程为，联立， 得， 需满足，且， 设，则， 则 ， 即，解得或， 故直线的方程为或， 即或或. 变式6-3．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点. (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且，求. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设， 由双曲线经过两点，得， 得，即，则， 所以的离心率为. （2）设，由，得， 依题意可得，且，即. 由韦达定理得， 所以 ， 整理得，解得或. 热点七 双曲线的中点弦问题 例13．焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 例14．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取的中点，连接，则，所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 由，得到， 所以，所以，则. 故选：C 变式7-1．已知双曲线()经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不能，证明见解析； 【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为， 所以，， 解得， 所以双曲线C的方程为：. （2） 当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在， 设， 所以， 两式作差得， 即， 若是线段的中点，则， 则， 所以直线l的斜率， 则直线l的方程为， 将直线l与双曲线联立，得， ，方程无解， 所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点. 变式7-2．与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 【答案】 【详解】设， 把代入整理得 因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根． 所以，所以. 又因为中点为， 所以直线方程为，令，截距， 由得． 故答案为： 变式7-3．已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)O为坐标原点，若的面积为，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，右焦点坐标为，双曲线渐近线方程为， 故，解得， 又，故， 故双曲线方程为； （2）设，则，两式相减得， 若或，则的中点在坐标轴上， 又，故或， 所以，即，解得， 设直线，与联立得， 故， 则， 点到直线的距离， 故, 解得， 故直线AB的方程为或. 【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足； 热点八 双曲线的面积问题 例15．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，当取最小值时，的面积为 . 【答案】 【详解】因为双曲线，所以， 设，则，可得， 又因为分别为双曲线的左右顶点，可得， 所以； 又由，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得（负值舍去）， 所以，所以（负值舍去）， 所以的面积为. 故答案为：. 例16．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为， 所以，① 因为一个焦点到上的点的最小距离为， 所以，② 又，③ 联立①②③，解得， 则的方程为； （2）联立，消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 不妨设，所以， 此时， 易知直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理， 所以 ， 故四边形的面积. 变式8-1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 变式8-2．已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）椭圆中，，，， 椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为. 双曲线的渐近线方程为， 的方程：. 由得，，. 由题意知，、分别为第一、二象限的交点， ∴，， ∴，， ∵，∴，∴. 化简整理得， 又∵代入上式，解之得，. ∴双曲线方程：. 离心率. （2）由（1）知，， ∴，. ∴. 变式8-3．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 热点九 双曲线的最值范围问题 例17．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于，两点．若的重心为，点，则的最小值 ； 【答案】 【详解】由双曲线经过点，得，解得， 则双曲线，显然，设， 由的重心为 ，得，解得， 又，于是，即， 而不共线，即 且，因此不满足上述方程， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 例18．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为. (1)求的方程； (2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，的坐标为， 则. 易知的方程为，不妨设与相交于点，， 则，整理得， 则， 可得 故的方程为. （2）由题可知，直线的斜率一定存在， 设：，，，则，. 联立方程组整理得， 则， ,. 由，在轴的上方，所以，， 可得. ，则. 由，得， 则， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法： 一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法. 本题（2）就是用的这种思路，利用函数的性质求的范围. 变式9-1．已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知双曲线的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 故双曲线的方程为； （2）证明：设，则，当时，不妨取， 此时不妨取，则，即； 同理可证当时，有； 当时，圆在处的切线方程为， 即； 由可得， 因为切线交双曲线于，两点， 故，， 设，则， 故 ， 故， 综合上述可知； （3）由（2）可得当时，， ； 的渐近线方程为， 联立，得， 同理可得， 则 ， 由于，故， 由于，则； 当时，不妨取，则， 此时； 当时，不妨取，则， 此时； 综合上述可知. 变式9-2．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便. 变式9-3．已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，双曲线焦点到渐近线的距离为， 又因为，解得， 所以双曲线方程为：； （2） 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，所以，即：. ①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设，， 由可得， 又点在双曲线上，代入可得，解得，， 所以. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立消去整理得 ①， 因为直线与双曲线交于两点，所以， 且判别式. 设， 则，， 由得到：，所以， 即， 所以， 化简得. 所以. 当时上式取等号，且方程①有解. 综上可得的最小值是. 【点睛】关键点点睛：把位置关系坐标原点在以为直径的圆上转化为数量关系，即，设直线后联立双曲线，用韦达定理代入可得到直线中参数关系，再根据弦长公式求最值即可. 热点十 双曲线的定点问题 例19．已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 【答案】(1) (2)144 (3)证明见解析， 【详解】（1）因为右顶点为，所以， 又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点， 所以，即，所以方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则， 联立，， ，， 设，则， ， 利用代换可得， 由题意，， 整理得，， ，因为，所以，即， 此时，所以的面积为. （3）若直线的斜率为0，设，则，解得， 不妨设，则; 因为，所以，解得或（舍）. 若直线的斜率不为0，设，; ，， ，， ， ， ， ， 因为，所以，即， ， 整理得，即， 即或， 当时，过点，舍去； 当时，，此时过定点； 综上可知直线恒过定点. 因为，所以点一定在以为直径的圆上， 定圆的圆心为，半径为，所以方程为. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题. 例20．已知双曲线的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，． (1)求C的标准方程； (2)经过点F的直线交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，设，当直线l的斜率为1时，直线的方程为， 由消去y得：，而，显然， 则，由，得， 即，又，于是， 解得，所以C的标准方程是. （2）当直线和斜率均存在时， 设直线的方程为，由（1）知，设其中点， 由，消去，得，显然，， 则，，点； 设直线的方程为且，同理得， 由，得，有，， 当，即时，直线的方程为， 当时，直线MN的斜率， 直线的方程为，即过定点， 因此直线过定点； 当直线和中一条直线的斜率不存在时，所在直线为x轴，也过点， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； ③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 变式10-1．已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 由  整理得 （2）证明：（方法一）设，，， 则  即 联立与曲线的方程 得且 解得（舍去）或 将代入  得 所以，其中 同理，可解得，其中 当时，即时， 此时，所以此时直线的方程为； 当时， 直线的方程为 整理得，所以直线过定点 （方法二）设， 则由及三点共线得； 将上面两式相除，再平方可得：① 因为，均在曲线上， 故满足；② 将②代入①可得 整理可得③ 当直线的斜率存在时，设 将直线的方程代入曲线得 且 由韦达定理得， 将上式代入③式可得  解得（舍去）或， 故直线的方程为 当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为， 所以直线过定点 （方法三）设，，， 易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为 由及三点共线得 ； 由上式可得，即 将，代入可得① 因为，为曲线上的点， 由（1）可知，，所以，即 将，代入可得② ①②式相减可得 又易知，所以，所以直线的方程为， 故直线过定点    变式10-2．已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且． (1)求双曲线的方程． (2)已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值． (3)设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得． 渐近线方程为， ，解得， 双曲线的方程为． （2）方法一：设，由题意得， 联立消去整理得， 则，则， ， 点到直线的距离， 则 ， 整理得，即， 解得或，均满足． 方法二：设，由题意得， 联立消去整理得， 则，则， ， 直线恒过点，则 ， 整理得，即， 解得或，均满足． （3）方法一：， 直线的方程为，直线的方程为． 由消去整理得①， 记，则和是方程①的两个根， 则，即． 由消去整理得②， 记，则2和是方程②的两个根， 则，即． 由双曲线的对称性知，直线恒过的定点位于轴上，不妨设． 当时，，此时，直线的方程为，直线过定点． 当时，，即，整理得， 故．综上，直线过定点．    方法二：当时，由题知直线的倾斜角不为0，设直线的方程为， 由消去得． 设，则， 直线的方程为，直线的方程为， 由于直线的交点在直线上运动，则， 即，故， 代入，得， 故恒成立． 若，将代入得， 解得，故直线过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去， 故只能，即，故直线过定点． 当时，直线为轴，过定点． 综上，直线过定点． 【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路， （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 变式10-3．已知点，，动点与点，连线的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线，与直线分别交于，两点，求证：以为直径的圆过两定点. 【答案】(1) (2)以为直径的圆过两定点和，证明见解析 【详解】（1）设点，由题意，即， 化简可得，故点的轨迹方程为 （2）由对称性可得，当取关于轴对称的两个位置时，所成的以为直径的两个圆也关于轴对称，故若以为直径的圆过两定点，则定点必在轴上，设为. 设，，则由可得，即，故，同理，故. 则，故，即. 又，故，则，解得或. 即以为直径的圆过两定点和 【点睛】方法点睛： （1）轨迹方程的一般求法：设动点坐标，根据题意列式化简即可； （2）当题中仅有一个动点时，可考虑设点坐标，根据点坐标将题意转化为表达式，最后代入动点满足的方程化简； （3）动圆过定点问题一般定点在轴上，先根据对称性判断定点所在轴，再设定点，根据直径所对的角为直角，结合垂直向量的数量积为0计算. 热点十一 双曲线的定值问题 例21．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，所以． 因为，所以，所以C的标准方程为． 直线，由消去y化简并整理得， 解得或（舍），所以． 又直线过点，所以直线的方程为，所以． （2）设，则． 因为，所以． 设直线，由消去x化简并整理得． 设，则， 故 ． 所以为定值． 例22．在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）设内切圆的圆心为，且与三边切于点， 则， 可得， 且，，，即， 可得， 可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外）， 则， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由题意可知：，双曲线的渐近线为， 设，，且， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 同理可得， 则直线， 令，可得 ， 则， 同理可得， 则 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式11-1．已知双曲线：的左顶点为，斜率为的直线与交于两点，设的斜率分别为，的外心为. (1)若始终在上，求证：直线过定点. (2)记，探究是否存在定值使恒在的某条渐近线上.若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）由外心的性质：，故为中点， 又，， 设，，，， 联立， 则 又 ， ，恒过定点. （2）法一：计算外心坐标： 设中点分别为，则：，， 由（1）得：， 中垂线：① 中垂线：② 联立①②得：， 故 同理：，将代入得： ， 又在渐近线上，，解得： 法二：点差法化简： 设，，，， 得：， ， 同理：， 设中点分别为：， 中垂线： 同理：，得：⑥， 化简⑥式得： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式11-2．已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为3 【详解】（1）由题意可得，即，即有， 又点在双曲线上，可得，解得， 即有双曲线的方程为. （2）假设为双曲线的顶点，设，切线为， 代入双曲线的渐近线方程，可得， 即有； 设，且切线的斜率存在，且有，    对双曲线的方程两边对x求导，可得， 求得切线的斜率为，切线的方程为， 化为， 联立渐近线方程，可得， 即有. 则当点在双曲线上运动时，的值为定值3. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 变式11-3．已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为线段的垂直平分线交直线于点， 则， ， ∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线， 设双曲线方程为，则，，所以，     所以点的轨迹方程为        （2）（ i ） 设 ，，， 若，则，即直线的方程为，显然满足直线与曲线有且仅有一个交点； 若，显然，由题可知，则，， 因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，， 所以，， ，即， 即， ∴直线的方程为，即， 又∵点在上，，则， 即直线的方程为， 将方程联立，得， ，由，可知方程有且仅有一个解， ∴与有且仅有一个交点；    （ii）由 （i ）联立 ，可得， 同理可得， ， 所以是定值. 一、单选题 1．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 2．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 3．若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 4．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即， 所以的实轴长为. 故选：D. 5．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 6．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由双曲线的离心率为，得，则，， 因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率， 所以直线OE与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 7．在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由，得， 设与交于点，如图，    由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 则，且， 所以，， 所以，即， 所以. 故选：B. 8．已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，双曲线第一象限部分， 当时，，椭圆第四象限部分， 当时，，双曲线第三象限部分， 当时，，不存在； 其图像如下： 又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍， 两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为， 由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大， 设切线为， 联立，可得， ，解得，（舍去）， 所以最大值为， 则的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 10．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l：，，垂足为Q.当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则（    ） A．C的方程 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为 D．C的方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线定义知，，则 焦点到渐近线的距离，则的最小值为，即有， 由，得，的中点为， 将其代入双曲线的方程，得，解得， 又，因此， 所以双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为，A错误，BCD正确. 故选：BCD . 11．已知为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则的周长为 B．弦长的最小值为 C．点P到两渐近线的距离之积为 D．点P与直线距离的最小值为1 【答案】ABC 【详解】    如图，双曲线的渐近线方程为. 对于A项，因,又， 则的周长为 ，故A项正确； 对于B项，不妨设直线的直线方程为，与双曲线方程联立， 消去，整理得：，， 设，则，显然，故， 则弦长 ,因，则，故， 即时，弦长的最小值为，故B项正确； 对于C项，设到双曲线两渐近线的距离分别为， 则，因，故得，故C项正确； 对于D项，因双曲线的渐近线与直线平行， 而点到渐近线的距离大于零，且趋近于零， 因渐近线与直线的距离为， 故点到直线距离大于1，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为离心率为，， 所以的标准方程为（答案不唯一）， 与对应分母的比值为3或都对. 故答案为：（答案不唯一） 13．设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 14．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的渐进性方程为， 所以，则双曲线方程为，，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ，， 所以， 因为，， 所以， 因为的周长为108，所以， 得，所以双曲线方程为. 故答案为： 四、解答题 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 16．已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 17．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由的焦点坐标为   由双曲线与有相同的焦点 所以双曲线的焦点坐标为 故， 在双曲线中：    ① 又双曲线经过点 所以    ② 解得： 所以双曲线的方程为： （2）由题知直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为： 由直线与双曲线交于两点，设 所以 消去整理得： 所以 所以 由的中点坐标为 所以 所以. 18．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）根据题意得，得，         ∴双曲线C的方程为； （2）∵，∴，∴，      设点， 设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，      整理得， 则，整理得，          由根与系数的关系得，于是 注意到，于是，解得，      又点N满足，即，整理得，         两式消除得，代入消去m得，          因此点N的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，          其渐近线斜率为， ∴直线的斜率范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，利用韦达定理求点的轨迹方程. 19．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【详解】（1）因为曲线与轴有两个交点，所以， 由题设可得，解得， 故椭圆方程为：， 双曲线方程为． 由直线过点和，得，则，即． （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：， 联立，整理得：， ，即且， 解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$