三角形三边关系进阶培优专题训练 2024—2025学年 人教版八年级上学期数学

2024—2025学年度八年级上学期数学（人教版）培优专题训练 一、三角形三边关系进阶 A 组 （一）判断符合条件的三角形个数 1.把14cm长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，那么( ). 只有一种截法 B. 有两种截法 C. 有三种截法 D. 有四种截法 2.已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且 ，如果b = 5，则这样的三角形共有 个. （二）化简含绝对值的式子 3. 已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简 的结果是( ). A. 2a B. -2b C. 2a + 3b D. 2b-2c 4. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，则 . 5. a，b，c是三角形的三边，化简 . 6. 已知a，b，c是△ABC的三边，化简 得 . 7. 已知a，b，c是△ABC的三边，则 . 8. 已知a，b，c是△ABC的三边，化简 .. 已知a，b，c是△ABC的三边，化简： 的值。 已知a，b，c是△ABC的三边，化简： . B 组 判断符合条件的三角形个数 已知在正整数a，b，c中，c的值为6，且 ，则以a，b，c为三边的三角形共有( ). 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 12.已知在正整数a，b，c中， ，且c的最大值为6，则以a，b，c为三边的三角形共有 个. 13. 从1，2，3…2024中任选片k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形边长互不相等)，试问满足条件的k的最小值是_____ . （四）证明线段不等关系 14. 如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O. 求证： 证明： 在 中有 ， 在 中有 ， 在 中有 ， 在 中有 ， . 即： 如图， (填“<”或“>”或“=”). (填“<”或“>”或“=)，并说明理由. 已知：如图， 和 相较于点O，说明：. 如图，在锐角 中， ， 与点D， 于点E， 求证： 已知，如图所示，在 中， ，D是边上一点. （1）通过度量AB、CD、DB的长度，写出2AB与(CD+DB)的大小关系. （2）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的. 答案与详解 1.【答案】A 【详解】设三边长为a、b、c，则 ，而14的不等分法有1、2、11；1、3、10；1、 4、9；1、5、8；1、6、7；2、3、9；2、4、8；2、5、7；3、4、7；3、5、6. 其中符合三角 形三边关系的只有3、5、6这一种. 【知识点】判断能够构成三角形 2.【答案】10 【详解】若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即 a+b>c. ∵ ， ∴ ， 又∵ ，三角形的三边a、b、c的长都是整数， ∴ ， ∴ 2，3，4，5. 当a=2时，5< c <7，此时，c=6； 当a=3时，5< c <8，此时，c=6，7； 当a=4时，5< c <9，此时，c=6，7，8； 当a=5时，5< c <10，此时，c=6，7，8，9； ∴一共有 个. 【知识点】与三边关系有关的证明. 3.【答案】D 【解析】由题意知， . 所以 【知识点】三角形的三边关系 4.【答案】 【详解】∵ ∴ 5.【答案】 【详解】 ， 根据三角形两边之和大于第三边得原式 6.【答案】 【详解】∵a、b、c是△ABC的三边， ∴ ∴原式 7.【答案】 【详解】三角形第三边小于另外两边之和. 原式 【知识点】与三边关系有关的证明 8.【答案】 【详解】 ∵a、b、c是△ABC的三边， ∴原式 【知识点】绝对值的非负性，三角形的三边关系，与三边关系有关的证明，二次根式的四则混合运算 9.【答案】 【详解】∵a、b、c是△ABC的三边， ∴原式 10.【答案】 【详解】根据三角形的三边关系得： ∴原式 11.【答案】A 【详解】∵ ∵a，b为正整数， ∴所有情况为1，2，6；1，3，6；1，4，6；1，5，6；2，3，6；2，4，6；2，5，6； 3，4，6；3，5，6；4，5，6. 这些组合中只有2，5，6；3，4，6；3，5，6；4，5，6可以组成三角形，故选A. 12.【答案】7 【详解】根据已知条件有：① ② ③ ④ ， 由②③得: ，即有 ，讨论： (1) 时， ， . (i)当 ， ，(ii) . ，此时有四个三角形； (2) 时， 根据 . (i) ，此时没有 符合条件，(ii) ， ，此时有两个三角形； (3) 时， ，可知 ，此时有一个三角形，可知总共7个三角形. 13. 【答案】17 【详解】为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597①共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2，…an显然总有ai；大于等于①中的第i个数，所以 ，从而知k的最小值为17. 【答案】 【答案】 【详解】在△ABO中， AO + OB > AB ①， 在△DOC中， OD + OC > CD ②， 由①+②得，AO + OC + BO + OD > AB + CD. ∴AC + BD > AB + CD. 【详解】方法一：设 由题可知 ， 根据三角形面积相等可知 ， 又∵ ， ∴ . ∴ ∴ ∴ ∴ . ∴ ，即 ，得证. 方法二：∵ ∴ 【详解】 (1) (2)在 中，∵ ， ∴ 即 又∵ ，∴ The end Oct 30,2024 $$