精品解析：山东省泰安市东平县实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次作业质量检测数学试题

初四年级第一次作业质量检测数学试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ） A 图象位于第一、三象限 B. 图象经过点 C. 随的增大而减小 D. 图象关于原点对称 3. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 54 B. 108 C. 48 D. 27 6. 学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 水温从降至，所需时间为 D. 水温不低于时间为 7. 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 11. 平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（ ） A B. 1 C. 2 D. 12. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知函数是反比例函数，则_____________ 14. 已知，均为锐角，且，则___． 15. 如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则__________． 16. 已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______． 17. 如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为_____________． 18. 已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为______________． 三、解答题（共7题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 21. 如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，． （1）求的值： （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出时x的取值范围 （3）过点作，交轴于点，求的面积 23. 根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于 80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的 酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验 数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中 酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用 正比例函数 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当时 ，，求k 的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 24. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，． （1）求m，k，b的值； （2）若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． （3）在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四年级第一次作业质量检测数学试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是反比例函数的有（　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 2. 若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 图象经过点 C. 随的增大而减小 D. 图象关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题． 【详解】解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意； ．当，，所以经过，该选项正确，不符合题意； ．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意； ． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意； 故选：D． 3. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 54 B. 108 C. 48 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，交于，设，通过证明，得到，解方程组求得与的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中的值． 【详解】解：如图所示，过作于，交于， 则四边形是矩形， ∴， 由折叠性质以及正方形性质可得：， ， ， ， ， 设， ， ∵正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点， ， ， ，即， 解得：．经检验符合题意； ， ∴反比例函数中， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 6. 学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 水温从降至，所需时间为 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确． 故选：D． 7. 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，米，， ∴， ∴米， ∵点是的中点， ∴米， 故选：． 9. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，(不符合题意，舍去)， ． 故选：B． 10. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 11. 平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 12. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知函数是反比例函数，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵ 则， 解得： ． 故答案为：． 14. 已知，均为锐角，且，则___． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 15. 如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本体考查反比例函数的比例系数k的几何意义，平行线截线段成比例等知识，过C作轴，垂足为D，先求出的值，从而求出，再根据即可得解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 过C作轴，垂足为D， 则， ∴， ∴， ∴． 16. 已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 17. 如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 18. 已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，作于点C，作于点D，作于点E，先求出 ，设，则，代入表达式求出，同理得出并找出规律即可． 【详解】解：作于点C，作于点D，作于点E， ，，，分别是等腰直角三角形， ， 点，，，，在函数的图象上， ，即， 设，则， 把代入，则， 解得：（不合题意舍去）， ，即， 同理，，即， ，即， ， 则的坐标为． 三、解答题（共7题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （3）先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整指数幂，再进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作于． 在中，，， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 ， ，，， 在中，． 的正弦值为． 21. 如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，． （1）求的值： （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值； （2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）∵，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，∵， ∴． ∴． （2）∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出时x的取值范围 （3）过点作，交轴于点，求的面积 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及三角形的面积的计算，同时要注意运用数形结合的思想． （1）由点A横坐标为1可得：，代入直线中，即可求出一次函数解析式．再求出，代入反比例函数即可求出反比例函数解析式； （2）利用数形结合的方法直接写出变量的取值范围即可； （3）求出点，设，则，，，再结合，根据勾股定理解出，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 点在直线上， ，得． 一次函数解析式为：． 点在直线上， ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：． 【小问2详解】 根据的x的取值范围表示：一次函数的图象在反比例函数图象的下方的部分图像所对应的变量的取值范围， 故根据图象可知，时，； 【小问3详解】 直线交轴于点， 设， 则，，． ， ， ， ， 解得：． 即． ． 23. 根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于 80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的 酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验 数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中 酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用 正比例函数 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当时 ，，求k 的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）小时 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）直接将，代入，进行求解即可； （2）求出时的时间，进行求解即可； （3）求出早上时的酒精浓度，进行判断即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴当时，； 当时，， ∴当时，肝部被严重损伤持续小时． 【小问3详解】 不能，理由如下： 当第二天早上时，经过了个小时， ∴， ∵， ∴不能驾车． 24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）． （2）的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，． （1）求m，k，b的值； （2）若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． （3）在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）作轴于点，先利用反比例二次函数的性质求得，再利用勾股定理求得的长，得到，利用待定系数法即可求解； （2）作轴于点，得到，推出，求得，再求得，利用待定系数法即可求解； （3）结合题意得可得：，，，再根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：作轴于点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入，得， 解得； ∴，，； 【小问2详解】 作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． 【小问3详解】 由（1）（2）可知，， 设点的坐标为， 可得：，，， 若是等腰三角形， 当时，即，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得，解得：， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等．正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $