三角形中的范围问题微课教学设计-2024届高三数学二轮复习

微课教学设计 授课教师 名称 三角形中的范围问题 ——以面积为例 知识点来源 学科：数学 年级：高三 教材版本：人教A版 所属章节：高三数学二轮复习第三单元解三角形 3.5解三角形（正余弦定理基本应用） 录制工具和方法 EV录屏、剪映、PPT 设计思路 本节课围绕三个不同的思路求三角形的面积范围。思路1从角思考，利用正弦定理化为三角函数的形式求面积的范围，详细演示求解过程，强调三角函数最终化为的形式；思路2从边思考，利用余弦定理结合基本不等式求面积的范围；思路3从形思考，利用几何图形结合平面几何求面积的范围，通过动图的演示，采用数形结合的方法，让学生直观感知三角形面积的变化情况。接下来通过变式，将三角形变成锐角三角形，应用并强化所学的方法。最后，师生共同总结本节课的规律方法及注意事项。 教学设计 内 容 教学目的 1. 通过转化与化归的思想方法，利用正弦定理化为三角函数求三角形的面积范围； 2. 利用余弦定理结合基本不等式求三角形的面积范围； 3. 通过数形结合的思想方法，利用几何图形结合平面几何求三角形的面积范围，培养学生直观想象的核心素养. 教学重点难点 教学重点：分别从角、边、形三个思路利用正弦定理、余弦定理和几何图形求三角形 的面积范围； 教学难点：利用三角恒等变换将面积最终化为三角函数的形式. 教学过程 教学目的 问题导入 问题一：在中，若，， 求：（1）外接圆的半径R；（2）的范围 问题导入，引发学生思考. 思路1 从角出发 教师引导学生从角思考，可利用正弦定理求面积范围.首先由正弦定理可知，代入已知条件得到外接圆半径R=2，即解决了第一问.要想求的范围，由三角形的面积公式可知，再由正弦定理可知，，代入面积公式可得,利用二元化一元，进而得到，运用三角函数的和差公式展开得,降幂升角化为，整理后得，利用辅助角公式得到.由题知，，有，接下来得出，最后得到. 引导学生利用正弦定理最终化为三角函数的形式求三角形的面积范围. 思路2 从边出发 问题二：你能否用另一种方法解决“问题一”中的面积范围？ 教师引导学生可从边的角度思考，利用余弦定理求面积的范围.题目条件不变，所以外接圆的半径仍为2.由三角形的面积公式得到，只要求出ac的范围，即可得到的范围.利用余弦定理代入已知条件整理得到，由基本不等式可知，故（当且仅当a=c时，等号成立），所以，由面积的实际应用问题可知，最后得到 . 利用余弦定理结合基本不等式求三角形面积的范围. 思路3 从形出发 问题三：你能否结合几何图形求三角形面积的范围？ 给出一个锐角三角形ABC，固定三角形的角B和b边的大小，作出的外接圆，因为同弧所对的圆周角相等，所以当B点在优弧AC上运动时，角B始终保持不变。而三角形的面积，当底保持不变，三角形的面积由高来决定。当B运动到最高点时，底不变高最高时面积最大，此时为等边三角形，面积为.若B点从点向下运动到点时，此时为直角三角形，当B点继续向下运动到点时，变成钝角三角形，当B点运动到与A点重合时，高逐渐消失变为0，此时三角形的面积也为0，所以得出. 利用几何图形数形结合求三角形的面积范围，通过动图演示让学生形象直观的感受三角形高的变化，进而得到面积的变化情况. 变式应用 问题四：将三角形改成锐角三角形，其他条件保持不变，三角形的面积又会发生怎样的变化呢？你能否从形的角度直接得出结论？ 当B点在劣弧之间运动时，始终为锐角三角形。当B运动到点时，是等边三角形，此时的面积最大为；当B运动到点时，此时是直角三角形，此时面积为，故锐角三角形的面积范围为. 问题五：你能否从角入手求出锐角三角形的面积范围呢？ 对比一般三角形的求解过程，因为B角和b边的条件不发生变化，所以锐角三角形将面积化简成三角函数 的过程相同.因为三角形是锐角三角形，所以A角的范围发生变化，面积也就随之发生变化. 变式成锐角三角形，让学生更好的掌握数形结合的方法，但这个方法更适合小题，大题引导学生使用正弦定理的方法. 归纳总结 问题六：你能否通过刚刚的学习，总结求三角形面积范围的规律方法和注意事项？ 本节课我们学习了三角形范围问题常见三种方法：利用正弦定理结合辅助角公式化为三角函数求范围、利用余弦定理结合基本不等式，通过三边关系求范围、利用几何图形结合平面几何求范围.在正弦定理的使用中我们要注意将三角函数最终化为的形式，另外角的范围也至关重要，有时候往往隐含在题目条件中.在使用几何图形求解中，需要注意，小题适用，大题更建议学生适用正弦定理或者余弦定理.本节课使用到的思想方法有数形结合、转化与化归. 培养学生归纳总结的能力，掌握本节的知识要点和思想方法，提高学生直观想象的核心素养. 反思感悟 本节课分别从角、边、形三个思路利用正弦定理、余弦定理和几何图形求三角形的面积范围，通过问题串的形式层层递进，引发学生思考，引出本节课的重点和难点.通过转化与化归的思想方法，利用正弦定理结合三角函数解决三角形的面积范围问题时，三角恒等变换是学生要解决的难点，因时间限制无法检测学生的掌握情况，所以另外附上了相应的微习题学以致用.因为数形结合的方法简单易理解，所以学生在大题中也会使用该方法，导致过程简化直接写出答案，所以教师要跟学生反复强调数形结合的方法可以作为大题结果的验证，但是求解的过程还是要使用正弦或余弦定理. 学科网（北京）股份有限公司 $$