精品解析：四川省芦山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

四川省芦山中学2024-2025学年高二上期期中考试 数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 16或36 2. 若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ） A. (1，＋∞) B. (－1，1) C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－∞，－1) 3. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ） A. B. C. ，， D. 4. 平面直角坐标系中，直线与圆（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 5. 直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ） A. 与异面但不互相垂直 B. 与异面且互相垂直 C. 与相交但不互相垂直 D. 与相交且互相垂直 7. 已知圆平分圆的周长，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为 A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共3小题15分） 9. 已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值为________． 13. 已知点关于直线对称，则直线的方程为__________. 14. 棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________． 四、解答题（每小题12分，共5小题60分） 15. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程． 16. （1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且 （1）求证：DE⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 18. 求证：设和是不同的两点，若（且），则点的坐标为. 19. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省芦山中学2024-2025学年高二上期期中考试 数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 16或36 【答案】C 【解析】 【详解】解：由圆：，得， 则圆的圆心，半径， 由圆：， 得圆的圆心，半径且， 因为两圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切， 则， 即，解得. 故选：C. 2. 若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ） A. (1，＋∞) B. (－1，1) C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－∞，－1) 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出. 【详解】联立直线方程，解得， ∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得. 故选：B． 3. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意与不同时为零，由此即可得解. 【详解】当时，或，当时，或， 若方程表示一条直线， 则与不同时为零，所以. 故选：D. 4. 平面直角坐标系中，直线与圆（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】 利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可得到答案. 【详解】圆心到直线的距离， 当时，可取到等号， 所以直线与圆相交或相切. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查数形结合思想和运算求解能力，判断不等式的大小关系时，注意考虑等号能否取到. 5. 直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】转化直线方程为，令，即得解 【详解】由，得， 令，得. 故选：A 6. 如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ） A. 与异面但不互相垂直 B. 与异面且互相垂直 C. 与相交但不互相垂直 D. 与相交且互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直. 【详解】解：因为，，所以， 所以与确定一个平面， 所以， 因为，所以与异面， 因为正方形与正方形互相垂直，平面平面， 平面且，所以平面，又， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，， 所以， 因为， 所以与不垂直，即与不互相垂直， 故选：A. 7. 已知圆平分圆的周长，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的公共弦的直线过的圆心，求出两圆的公共弦所在的直线方程，求出. 【详解】圆平分的周长， 所以两圆的公共弦的直线过的圆心， 两圆方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为， 将代入可得， 解得. 故选：B. 8. 如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D点坐标为，选A. 二、多选题（每小题5分，共3小题15分） 9. 已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得，根据内积的坐标公式列方程即可求解. 【详解】由，可得， ∴， 化简得，解得或. 故选：AC. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 ．根据直线垂直的等价条件进行判断， ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断， ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件． ．过原点的直线也满足条件． 【详解】解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误， ．直线的斜率，则，即，则，故正确， ．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误， ．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误， 故选：． 11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，由求解. 【详解】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标， 得， 解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为： x2＋y2－4x－y－5＝0. 因为D(a，3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7. 故答案为：7 13. 已知点关于直线对称，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. 14. 棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，． 设平面的法向量为，则即令，则， 点到平面的距离． 又，且平面平面，平面， 故直线到平面的距离即点到平面的距离. 故答案为：． 四、解答题（每小题12分，共5小题60分） 15. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案； （2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为过，所以 ，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为， 由，解得或， 所以直线被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为10，所以， 即，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. （1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解； （2）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解. 【详解】（1）设，由得：， 所以轴上的点能使. （2）设，要使为等边三角形需要， 即， 解之得或，所以点的坐标为或. 17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且 （1）求证：DE⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，所以DE⊥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 求得，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案； （3）设，利用可得，再由 可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量， 且，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 所以， ， 由图二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以，是平面的一个法向量 所以 ，解得. 所以. 18. 求证：设和是不同的两点，若（且），则点的坐标为. 【答案】设点坐标为，则， ， 因为，所以有， 由此得，故点的坐标为. 【解析】 【分析】设点坐标为，由向量坐标运算可得，解出即可得. 【详解】略 19. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；以为圆心，以5为半径的圆；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用距离之比，列出方程即可求出点的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）利用相关点代入法即得． 【详解】（1）由题意可得： 即． 即所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆． （2）设且的中点为， 因为点为上一点， 即 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $