28.1 锐角三角函数(练习册)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

难 围册 九年级数学 下册 2J 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 4基础过关练 测试时间:30分钟 7.如图,在Rt△ABC中.C=90{},AC=8.BC= 、: 6.求 A,B的所有三角函数值 1.(2022·天津中考)2tan45{的值等于 D A.2 B.1 2.(经典·杭州中考)如图,在△ABC中,C 90{*},设 A,B,C所对的边分别为a,b,c 则( A.c-bsin B B.b-csinB C.a-btanB D. b-ctanB 3.在△ABC中,A.B都是锐角,且sinA 系是( ). 8.如图,在△ABC中,C=90{,D是BC边上一 A. CAB B. BCA 点,且AD=DB=5,CD=3,求 BAC的正 C. /A/B/C D. CBA 弦值. 4.在Rt△ABC中,C=90{}a,分别是A. B的对边,如果sinA:sinB-2:3,那么 a:b等于( ). A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4 ). 么tanB的值等于( A3 6.若关于x的方程x②-2x十cosa=0有两个相 等的实数根,则锐角。为( ). A.30” B.45。 C.60” D. 75* 42 第二十八章 锐角三角函数 9.计算: B中考提能练 测试时间:60分钟 (1)2sin 30*-3tan45{·sin45{*}+4cos60*; 11.已知tana=2,且a为锐角,则3sing-cos sin45。 4cos a+5sin a 'cos 30n- tan 60+cos 4502· sin 60°. 12.如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB的长为 8cm,P是AB延长线上一点,BP=2cm,则 tanOPA的值是 10.(1)如图1和图2,锐角的正弦值和余弦值都 随着锐角的确定而确定、变化而变化,试 探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和 余弦值变化的规律 ## C C 地,当a为锐角时,有cos(180{十a)一一cosa. 图2 由此可知,cos240{的值等于__. (2)根据你探索到的规律,试比较18{③},34^{*} 14.如图,在矩形ABCD中,BC-2.将矩形ABCD 50{*},62^{},88{}这些锐角的正弦值的大小和 绕点D顺时针旋转90{},点A.C分别落在 余弦值的大小. (3)比较大小:若a=45{③,则sina__cosa; 点A',C处,如果点A',C,B在同一条直线 上,那么tanABA的值为 若a45{,则sinacosa;若a 45",则sina__cosa(均填“<”、“” 或“-”). C 第14题图 第15题图 15.(经典·荆州中考)如图,在6×6的正方形网 格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C 均在网格的交点上,O是△ABC的外接圆. 则cosBAC的值为 ). 12# C} D 43 难用九年级数学 下册 2J 16.如图,在Rt△ACB中,/BAC的平分线AD 20.如图:四边形ABCD内接于⊙O.AB-17.CD 交BC于点D.则AB-AC等于( CD A. sin/BAC B. cos /BAC C. tan BAC $7.(2023·扬州中考)在/\ABC中, B=60{*$ AB一4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件 的BC长可以是( ). A.1 B.2 C.6 D.8 18.如图,在等腰梯形ABCD中,AD/BC. DBC-45^{*}翻折梯形ABCD,使点B重合 于点D,折痕分别交边AB,BC于点F,E.若 AD-2,BC-8,求; 21.如图,在ABC中,AD是BC边上的高,tanB (1)BE的长; cos DAC. (2)CDE的正切值 (1)求证:AC-BD; (2)若sinC-12.BC-12,求AD的长. 19.如图,在△ABC中,BD AC于点D,CE | AB于点E,SAor=1cm.S=4cm},求$ A的度数 44 第二十八章 锐角三角函数 22.如图1,由直角三角形的边角关系,可将三角 C培优突破练 测试时间:30分钟 形的面积公式变形,得Sc-- 23.如图,AB是O的直径,C,D是圆上的两点 即三角形的面积等于两边与这两边夹角正弦 (不与点A,B重合),已知BC-2,tan ADC 之积的一半. 7 图1 图2 如图2.在△ABC中,CD1AB于点D,设 24.(1)如图1.在锐角△ABC中,a,b,c分别是 ACD-a.DCB-③. A.B,C的对边,a-6,b-4,C .Sc-Sc+Src. 30{,求△ABC的面积,并证明Suc= #absin Cc-besin A-aesin B. #AC·BC·sin(a+③)-AC·CD. (2)如图1,在△ABC中,B,C均为锐角; sinaBC·CD·sin③. (3)在△ABC中,AB=③,AC=②.B= 即AC·BC·sin(a十③)=AC·CD·sin十 BC.CD. sin3. (×) 45^{}。问满足这样条件的△ABC有几个? 在图2中作出来(不写作法,不述理由). 你能利用直角三角形的边角关系,消去方 程(*)中的AC,BC.CD吗?若不能,请说明 并利用(1)中的结论求出/ACB的大小 理由:若能:请写出解答过程 图1 图2 45国雅食手阳九年级教学下册则 器架-8 9.1原武-2×号-3X1号+4-8-3号 2 2 (3)过点D作AD的垂线交AB于 2 点M,连接CM,如图2. (2)原式= +号×9-++ 2 2 3 4 易证△ADB∽△MDC, 2 器品- 图2 ∠DMC=∠DAB=30°， 10.(1)正弦值随锐角角度的增大而增大，余弦值随锐角 CM="=y5.∠Ae=∠WD+∠DC 角度的增大而减小 5 (2)sinl8°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88: ∠AMD+∠DAB=90, cos88°<c0s62°<cos50°<6os34°<cos18. .AM-/AC-CVF-2/15 3 (3)=<；> ∴AD=5. 山是[提示：“a为悦角，∴c0sa≠0，分子、分母同 第二十八章锐角三角函数 时除以s6则原式-罕。品 28.1锐角三角函数 [提示：过点O作ODLAB,垂足为D..AD= 1.A 2.B[提示：根据三角函数的定义，得smB=么 C.C0s B= BD=号AB=4,∴.PD=BP+BD=2+4=6.在 名anB=合，∴b=cin B.a=cosB.b=umR.] R△AOD中，OD=√OA-AD=√-平=2√5， 3.D[提示：∠A=30°，∠B=45,∠C=105°.] 在△POD中，m∠0PA-0-25-9] 4A[提示如A-吕而B=么，血A:如B a:b.] 5.D[提示：设BC=3k,AB=5k,则AC=4k,.tanB= 1451 21 [提示：由旋转的性质可得∠A=∠A'TDC‘= 瓷装青】 90°， .AB∥A'D,∴∠ABA'=-∠CA'D. 6.C[提示：方程有两个相等的实数根，则（一√2）一 当点A',C,B在同一直线上时，△ABC△DA'C', 4osa=0,∴osa=7a=60.】 .AC_CD AB A'D 7.AB=√BC4+AC=V6+8=10, smA=号，osA=音anA=是： 设AB=CD=CD=x.则2=号.∴r+2x=4 解得0=5-1.=一√5-1（舍去）. smB-专osB=号，mB=寺 8.在R△ACD中，AC=AD-CD=3-3=16. m∠Ar=m∠cD品-号与 在Rt△ACB中，AB=AC2+BC=16+82=80, 15.B[提示：如图，作直径BD,连接CD.由勾股定理得 ∴.AB=45 BD-√+4平=√②0=25.在Rt△BDC中，os∠BDC 六n∠aC%-后 品2方，由周周角定理得∠RAC-∠C, 22 练习册参考答案与提示收 eos∠BAC=os∠BDC-25.] ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=180 :∠ADC+∠EDC=180°， ∴.∠EDC=∠ABC. ∴.cos∠EDC=cos∠ABC. L-1BL-3-1 品脚品-号解得ED- 16.C[提示：作DE⊥AB于点E,则AC=AE,DE=CD ..AB AC BE CD DE =tan∠BDE=tan∠BAC.] 17.C[提示：如图，过点A作AD⊥BC,AE⊥AB,AE交 BC的延长线于点E,则∠ADB=90°，∠BAE=90. ∠B=60°，AB=4,.BD=2,BE=8. :△ABC是锐角三角形， ∴.BDBC<BE,即2<BC<8.故BC的长可以是6.] 在Rt△EDC中，由勾股定理得EC=√ED一CD= 架 易得△ECD△EAB. 40 需紧即高解得A=警 10.3 1 18.(1)由题意得△BFE≌△DFE,.DE=BE ,在△BDE中.DE=BE,∠DBE=45, 六AD-EM-ED-婴9-6 .∠BDE=∠DBE=45, 21.(1),AD是BC边上的高，.AD⊥BC, ∴.∠DEB=90°，即DE⊥BC ∴∠ADB=90°，∠ADC=90. 在等腰梯形ABCD中，AD=2,BC=8. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， 易得EC=号(BC-AD)=3,BE=5 os∠DAC-A把.mB=ms∠DAC. .'tan B=AD (2)由(1)得DE=BE=5, 韶把 ..AC=BD. 在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5,EC=3. im∠cDE-是=号 (2在R△ADC中.smC-景， 故设AD=12k,AC=13k. 19.:∠ADB=∠AEC,∠A=∠A. 能怨 ∴.CD=√AC-AD=5k ∴△ABDC△ACE, .BC=BD+CD.AC=BD. 又，∠A=∠A,,△AED∽△ACB ,BC=13k十5k=18k 又BC=12,18k=12,k=号 又：msA-品osA=之 ∠A=60 AD-12=12X号-8 20.如图，连接BD,分别延长AD,BC交于点E. 22.能消去AC,BC,CD,得到sin(a+3)=sina·cosB+ :∠A=90°，BD是⊙O的直径， cosa·sin3. ∴.∠ECD=∠BCD=90. 将AC·BC·sin(a十B)=AC·CD·sina+BC· 23 国雅手阳九年级教学下册则 CD·sin两边同除以AC·BC. 若∠ACB为锐角，则∠ACB=60: 得如a+误n+是·mg 若∠ACB为饨角，则∠ACB=120° BC 28.2解直角三角形及其应用 “畏- =cos a. 1.6.2.17.3.A4.A5.C .sin(a+p=sina·cosB+cosa·sin3. 6.设EG=x(m).在Rt△CEG中， 23 2. [提示：：∠ABC=∠ADC :∠ECG=45°，∠CEG=45, ∴.∠ECG=∠CEG,∴.CG=EG=x(m). ∴tan∠ABC-m∠ADC=号 在R△DEG中，∠EDG=60,an∠EDG= DG AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， DG-tan 60 ∴在R△AC中，an∠ABC-瓷， GG-DG-CD-6, =6，解得x=9+3V3, 3 ∴.EF=EG+FG=9+33+1.6≈15.8(m). AB-√（停》）+2-县J 即铁塔EF的高约为15.8m 7.∠A=60°，a=55,b=5. 24.(1)如图1，作高AD在R△ACD中，∠C=30°，AC=4, 8.如图，过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过 ,AD=2. 点E作l的垂线与(，山分别交于点H,F,则HF⊥. S8r=号BC·AD-2X6X2=6, HA 30 在R△ACD中，smC-各， h=nin C.=号·ah=ainC 由题意知AB⊥BC,BC⊥CD, 同理可证Sr=之lesin A,.S6r=名asin B, 又：AELAB, ,.四边形ABCE为矩形， ∴.AE=BC,AB=EC. (2)由a知7 inC-=esin B.. ..DE=DC+CE=DC+AB=50. ∴，bsin C=csin B, 又：AB与11成30角， sin B-sin C' .∠EDF=30°，∠EAH=60 在R△DEF中，BF=DEsin30°=50X号-25， 在R△AEH中，EH=AEsin60°=10×号=53. 2 所以HF=EF+HE=(25+53)km 图1 图2 (3)满足条件的△ABC有两个（如图2）. 即两高速公路间的距离为(25+5√3)km 9.(1):∠ACB=90,CD是AB上的中线， 由(1)中的结论有v2sin∠ACB=√3sin45°， .AD=BD=CD..∠B=∠DCB. m∠ACB-g :∠ACB=90°，AE⊥CD, 24