27.2.2 相似三角形的性质(练习册)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

重雅手细九年级教学下册则 27.2.2相似三角形的性质 A 基础过关练 测试时间：40分钟 是( 1.(2023·重庆中考)若两个相似三角形周长的 A.m=5 B.m=45 比为1：4，则这两个三角形对应边的比是 C.m=35 D.m=10 (). A.1:2B.1￥4 C.1:8D.1￥16 2.已知△ABC△DEF,若△ABC与△DEF的 相似比为子，则△ABC与△DEF对应中线的 第6题图 第7题图 比为(). 7.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光 A是 B青 c D 下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD= 3.用一个3倍放大镜照一个△ABC,下列命题中 5m,点P到CD的距离是3m,则点P到AB 是真命题的是() 的距离是( ）. A.△ABC放大后，∠A是原来的3倍 B.△ABC放大后，边长是原来的3倍 C.△ABC放大后，周长是原来的9倍 Gom D.0m D.△ABC放大后，面积是原来的3倍 8.(2023·成都中考)如图，在△ABC中，D是边 4.如图，面积为1的等边三角形ABC中，D,E,F AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆 分别是AB,BC,CA的中点，则△DEF的面积 心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点 是(). M,N:②以点D为圆心，以AM长为半径作 A.1 C. 弧，交DB于点M';③以点M为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点 V':④过点N'作射线DN'交BC于点E,若 △BDE与四边形ACED的面积比为4：21， 则能的值为 第4题图 第5题图 5.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE 是它的中位线，则下面三个结论：①DE=1: ②△CDE∽△CAB:③△CDE的面积与△CAB 9.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB, 的面积之比为1：4.其中正确的结论有( BC,AC边上，DE∥AC,EF∥AB. A.0个B.1个 C.2个D.3个 (1)求证：△BDE∽△EFC 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中 点，CE和BD交于点O,设△OCD的面积为 (2设瓷=子 m,△OEB的面积为5，则下列结论中正确的 ①若BC=12,求线段BE的长： 24 第二十七章相似收组 ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积. 11.如图，已知在△ABC中，AB=5,BC=3,AC =4,PQ∥AB,点P在AC上（与点A,C不重 合)，点Q在BC上 (1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积 相等时，求CP的长 (2)当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长 相等时，求CP的长 (3)试问：在AB上是否存在点M,使得 △PQM为等腰直角三角形？若不存在，请 简要说明理由：若存在，请求出PQ的长 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上 点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB 交AC边于点E,点E不与点C重合，若AB =10,AC=8,设AP的长为x,四边形PECB 的周长为y. (1)求证：△APEc∽△ACB: (2)写出y与x的函数关系式，并在直角坐标 系中画出图象。 乃中考提能练 测试时间：50分钟 12.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL, 相似比为2：1，则下列结论中正确的是( A.∠E=2∠K B.BC=2HI C.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL 的周长 D.S六边形，D=2S六边形HJk1. 25 重雅手细九年级教学下册) 13.如图，在□ABCD中，AB=6,AD=9,∠BAD 相似矩形AB,C2C1,…按此规律继续下去， 的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点 则矩形ABCC。1的面积为 F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4√2，则△CEF 17.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在 的周长为( AB上，且∠1=∠2=∠3.如果△ABC, △EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,BD =6,DC=2,求m十m的值. A.8 B.9.5C.10 D.11.5 14.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置 如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标 为(0,2).延长CB交x轴于点A1,作正方形 ABCC:延长CB,交x轴于点A2,作正方 形A:B.C2C:…按这样的规律进行下去 第2022个正方形的面积为( OA A A A5(侵) &()网 C() D() 15.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且 AD=AB=2,AD⊥AB.过点D作DE⊥AD, DE交AC于点E.若DE=1,则△ABC的面 积为( . 18.如图1，△ABC是一块等腰三角形的废铁料， A.4√2 B.4 C.2w5 D.8 已知∠BAC是锐角，量得底边BC的长为 60cm,BC边上的高为40cm,用它截一块一 边长为30cm的矩形（要求：使矩形的一边与 △ABC的一边重合，而矩形的另两个顶点分 别在△ABC的另外两边上). 第15题图 第16题图 (1)问一共有几种不同的截法？请在样图 16.如图所示，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1, 3一6中分别画出所有截法的示意图，并标 连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向 明长为30cm的那条边. 作矩形ABCD的相似矩形AB,C,C,再连接 (2)试求出：以上你所画的各种截法中，所截 AC,以对角线AC为边作矩形ABCC的 得矩形的另一边长. 26 第二十七章相似么超 (3)如果铁片受到损坏的部分是如图2所示 (3)若正方形PQRS的面积为2g·求AE: 的阴影，量得EC的长为41cm,AD的长 AD的值. 为15cm.你还能截得符合条件及要求的 矩形吗？如果能，请求出它的面积：如果 不能，请说明理由。 图2 图 图5 图 C培优突破练 测试时网：30分钟 20.阅读下面的短文，解答下列问题： 我们把相似的概念推广到空间：如果两个几 何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把 它们叫作相似体 如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方 体都是相似体，它们的一切对应线段之比都 等于相似比a:. 设S甲，S2表示这两个正方体的表面积，则 多蒂-（怡 19.如图，正方形ABCD的边长为1，点E,F,G, 又设V,V乙表示这两个正方体的体积，则 H分别在AD,AB,BC,CD上，且AE=BF CG-DH. 长-告-（后八 (1)若AE:AD=1:3,求AG,CE,BH,DF 四条直线所围成的正方形PQRS的面积： (2)若AE:AD=1:n,求正方形PQRS的 面积： 27 重雅点手册九年级教学下册) 请归纳出相似体的三条主要性质： 22.如图，△PQR和△P1QR是两个全等的等 (1)相似体的一切对应线段长的比等于 边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为 AB=a,BC=,CD=a2,DE=b2,EF=as, (2)相似体的表面积的比等于 FA=b.求证：a好+a虽十a=所十b房+b. (3)相似体的体积的比等于 21.如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠（点E,F分别在边AB,CD上），使点 R B落在AD边上的点M处，点C落在点N 处，MN与CD交于点P,连接EP. (1)若点M为AD边的中点，求△AEM的 周长 (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置 (点M不与点A,D重合)，△PDM的周 长是否发生变化？请说明理由： M C 28练习册参考答案与提示收组 ,∠1+∠2=90°，∴.∠3=∠2， 在R△PCH中，CH=VPH-PC-号 ,.△EDP∽△PCH. (2)如图1，：四边形ABCD是矩形， ∴.BC=2CH=5y,∴.AD=BC=5y. ∴.CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90. 在R△APD中，AP=√AD+PD=√6y :P为CD的中点，DP=CP=2×2=L BG∥AP,.△BMG△MAP. 设EP=AP=x,∴.ED=AD-x=3-x 器微号G=. 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, 即2=(3-)+1，解得x=寻 能瓷-6，AB=0 28.如图，连接CP并延长交AB于点F,过点F作FG∥ EP=AP==号，ED=AD-AE=京 BE,过点C作C℃∥DA,FG与CG相交于点G. :△EDPn△PCH,PCP丽 ED EP 4 P解得PH= 3 3 4” 在△APE和△ACD中，∠APE=∠BPD=∠ACD, :PG=AB=2,GH=PG-PH=￥ ∠EAP=∠DAC,.△APEc∽△ACD. (3)如图2，延长AB.PG交于一点M,连接AP. '-品∠ABP=∠AC 又，D,E分别为BC,AC的中点， AE=CE,cD-m需品 H :∠AEP=∠ADC,:∠BEC=∠ADB. .△CEP∽△ADB,∴.∠BAD=∠PCE 料2 又，GC∥AD.∴.∠DAC=∠GCA, 点E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF ∴.∠BAD+∠DAC=∠PCE+∠GCA,即∠GCF= 翻折，使点A的对称点P落在CD上， ∠CAB. ,.AP⊥EF,BG⊥EF,,BG∥AP 又：FG∥BE,GC∥AD,∠BPD=∠FGC. AE=EP,∴∠EAP=∠EPA, ·∠ACD=∠FGC.即∠BCA=∠FGC, .∠BAP=∠GPA.△MAP是等腰三角形， ∴.△ABC△CFG. ,∴.MA=MP 27,2.2相似三角形的性质 P为CD的中点，设DP=CP=y, 1.B2.A3.B ..AB=PG=CD=2y. 4.D[提示：：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC= :H为BC的中点，∴BH=CH. ACD,E,F分别是AB,BC,CA的中点，∴.DF= :∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH, 吉C.DE-AcE=子AB、既-哭-器 ∴.△MBH≌△PCH(ASA). ，△BFD△ABC,且相似比为宁，∴Sm 1 ..BM=CP=y.HM=HP. ∴.MP=MA=MB+AB=3y, 子sm=×1=子] 1 HP=PM=x 5.D 13 国雅手阳九年级教学下册则 6.B[提示：△OEB与△OCD的相似比为1：2.] “y与x的函数关系式为y=24-是r(0<r<6.40 7.C[提示：点P到AB和CD的距离是相似三角形的 y与x的函数图象如图所示. 对应高.] &景跳示务-号 打 6 9.(1)因为DE∥AC,所以∠BED=∠C 11.(1)由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得CP 因为EF∥AB,所以∠B=∠FEC, 所以△BDE∽△EFC. =22. (2)①因为EF∥AB, (2)由相似三角形周长的比等于相似比可得CP一斗 所以柴能合 (3)因为点M在AB上移动，所以根据等腰三角形的 性质，分别以PQ为腰或为底两种情况来讨论求解： 又因为BC=12, 所以E名 ①当PM=PQ时，PQ-器 所以BE=4 @当MQ-MP时，PQ器 ②因为EF∥AB.所以△EFCP△BAC 12.B 因为瓷-子所以呢-号 13.A[提示：可证AB=BE=6,AG=√6-(42)= 设△EFC的面积为S1,△ABC的面积为S, 2.Cm=16面E-g6=-号 则- ∴.Cm=8.] 14.D 又因为S=20,所以S=45, 15.B[提示：：AB⊥AD,AD⊥DE,.∠BAD= 所以△ABC的面积是45. ∠ADE=90°..DE∥AB,.△CED∽△CAB. 10.(1),PE⊥AB,.∠APE=90° DE=1,AB=2,DE:AB=1:2,.S 又：∠C=90°，∠APE=∠C S△AM=】￥4，.S边限E1S△=3：4 又：∠A=∠A,∴.△APE∽△ACB. :Snue=Ssm+SuE=合×2X2+合×2X (2)在Rt△ABC中，AB=10,AC=8. 1=2+1=3,.Sm=4.] ∴.BC=V√AB-AC2=√10-8=6. 5" 16.2一.[提示：在矩形ABCD中，AD=2,CD=1, 南可知，△APE△ACB.能是器 ∴.AC=√AD+CD=√2+1下=√5.，所有矩形都 AP=PE-是，AE-号， 相似，且每相邻两个矩形的相似比都等于受，∴S y=10-r+是r+8-号+6=24-号x 2x1=2=()×2.=(慢）×2,51 过点C作CF⊥AB于点F, 5 依题意可得，号·C下·10=号×8×6. 17.'∠2=∠3，∴.DE∥CA.△BEDC△BAC .CF=4.8 子r<8,解得6. 0=6.=2-畏-是 .0x<6.4, △CAD△CA,÷S-宽 14 练习册参考答案与提示么超 CB-16.. 有第三种截法可以截得符合条件和要求的矩形， ①在原截法一中，，CM=45cm.EC=41cm %十m=点 4 ,.CM>EC,因而无法截取： 18.(1)因为矩形的一条边长是30m,而另一条边长是不 ②在原截法二中，作CH⊥AB于点H, 确定的，因面这个矩形的藏法有以下四种，如图所示 BH=√G0-482=36cm 而BD=50一15=35cm.∴.BHD>BD,因而无法截取： ③在原截法四中，作CHLAB于点H,BH=36cm, 而BD=35cm,.BH>BD,因而无法截取： ①在原截法三中，作AF⊥BC于点F,交PV于点O. 战法 战法 PN=15cm.根据对称性OP=ON=FQ=FM 15 cm. ∴在R△A0P中，AP-√10+（受）-空m 截法三 战法四 ∴.AP=12.5cm<AD=15cm,且有CQ=CF+FQ (2)先对△ABC作一个剖析： 37.5cm<CE=41cm,故截法三仍然可以截得符合条 ①在△ABC中，AB=AC,BC=60cm,作AF⊥BC于 件和要求的矩形MVPQ,其面积为30×15=450cm2. 点F,则有BF=CF=30cm,AF=40cm, 19.由题意知四边形PQRS为正方形. 易知AB=AC=√30+40-50cm: (1)设AD=3k.AE=k.则AF=2k,FD=13k. ②再作CH⊥AB于点H,由AF·BC=CH·AB得 CH=48 cm. 由△ADS∽△FDA可得DS=9 /13 在截法一中，设PV=xcm,由PQ/∥BC得4OI_30 4060' 器器-景R-号×是-后 解得x=20, 即所截得的矩形MNPQ的另一边长为20cm,即 Rs-S-DR-是人 PN=20 cm. 显然k=，∴RS= 131 在截法二中，设PN=ym,由PQ/AB得8。-器 解得y=19.2. sw=(6)'-话 即所截得的矩形MNPQ的另一边长为19.2cm,即 (2)方法同(1)，可得SE方0s 2m-2n+1 PN=19.2cm. (3)由(2)得22-2n+1=2113, 在截法三中，设PN=:am,由PN/BC得高=0。， 40 ∴n=33或n=-32(舍去)， 解得x=15. ∴.AE:AD=1:33. 即所截得的矩形MNPQ的另一边长为15cm,即 20.(1)相似比.(2)相似比的平方.(3)相似比的立方 PN=15 cm. 21.(1:M为AD边的中点，AM=A”=2m 2 在截法四中，设P八N=大cm,由PN/AB得翕-488。 48 ..AM+ME+AE-AM+BE+AE-AM+AB-2+ 解得k=18.75, 4=6cm 即所截得的矩形MNPQ的另一边长为18.75cm,即 故△AEM的周长为6cm. PN=18.75cm. (2)△PDM的周长保持不变.理由如下： (3)若铁片受损，使得AD=15cm,EC=41cm,但仍 如题图，设AM=xcm 15 国雅手阳九年级教学下册则 在R△EAM中，由AE+x2=(4一AE),可得AE ∴△A0Bn△OD,÷部-8器-L 2-g 又，CD=b,,.AB=b, :∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90, ÷=a-AB)=2（a-nb. .∠AEM=∠PMD. 又，∠A=∠D=90°，∴.△AEMk∽△PDM 8.(1)裁割线如图所示。 ∴.C△mN 4-x(4十x)=8cm 2-g 故△PDM的周长保持不变 (2)设正方形零件的边长为xcm 22.:∠P-=∠Q=60°，∠PBA=∠QBC, :DE∥AC,∴.△BED∽△BAC ∴.△PBAC∽△QBC 爱-畏甲骑-1解得=极 同理可证△PAB)△QCB∽△QCDc△RED∽ 故正方形零件的边长为48cm. △REF∽△PAF, 9.D 且S2PAB十S△aD十S△=S△Qm十S△Rm+S△AA: 又：经-S0,生Sm,左_S I04m[提示：由AE/F得△CFO△MCE,亮 aSAM'ai SAPAB'a西S△P& :分十候十医_Sga十SAm十SAn CE. 18千x-87子.解得C=4m. 8.7 a SAPAB L.如图，过点A作CN的平行线交BD于点E,交MN于 ai SAPA 即房十厉+仿一S24+S典D十5A 点F M ai 同理可得房十房+店一S8+Sa风m十SaM 口 a SAREE 口 厉十货+房S△乌出十S△R,m十S△月周 口 上述三式相加，得士a士=Sm十Sm十S □ 斤+候十房S29出十S△R田十Sh肌 =1. 由已知可得： ,.a十a十a=所十候十b屏. FN=ED=AC=0.8 m. 27.2.3相似三角形应用举例 AE=CD=1.25 m, 1D[提示：设最短边为xcm,则后-名，解得r=5] EF=DN=30 m. 2.B[提示：由△ACD△CBD得CD=AD·BD.] ∠AEB=∠AFM=9SO. 3.134.4.50.5.B 又∠BAE=∠MAF, 6.BC∥BC,∴△ABC'∽△ABC .AC-Bc ∴.△ABE∽△AMF, AC BC ,.AC=0.25×8=2(m).AC=0.7×32=22.4(m). 骠渠即8翠 MF 1.25+30' 27晨.Bc-17.92≈1.9m. 解得MF-20(m). ∴.MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m). 7:2-8".∠A0B=∠00D. ∴.住宅楼高20.8m 16