27.2.1 相似三角形的判定(练习册)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第二十七章相似么 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 基础过关练 测试时间：30分钟 A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB 1.如图，已知直线a∥b∥c,直线m分别交直线 C.AC=AP·AB D.AC:CP=AB:AC a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c 5.如图，D为BC的中点，E,F均为AC的三等分 点，AD,BF交于点G,则下列四个关系式： 于点D,E.R若提号则 EF A号 B c号 D.1 2,其中正确的是( ). D A.①与②B.①与③C.①与④D.都正确 第1题图 第2题图 2如图，在△ABC中，DE/AB,且品=号，则 第5题图 第6题图 6.如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD上， 票的值为( 点F在DC上，且∠BEF=90°，则三角形I, Ⅱ，Ⅲ，N中一定相似的是(). A号 R号 c n A.Ⅲ和NB.I和ⅢC.Ⅱ和ⅢD.I和WN 3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接 7.如图，在△ABC中，D,E分别是边BC,AB的 AD,点E在AC边上，过点E作EF∥BC,交 中点，AD,CE相交于点G.求证：CEAD3· GE GD 1 AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点 G,则下列式子一定正确的是( ) A能需 需器 c部 瓷船 D G 第3题图 第4题图 4.如图，已知△ABC,P是边AB上的一点，连接 CP,以下条件中不能判定△ACPC∽△ABC的 是(). 17 重雅手细九年级教学下册则 8.如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在 10.如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0 边AC,AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点 的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不 F,∠EAF=∠GAC 与点B,C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF (1)求证：△ADE∽△ABC: 与BA交于点F,设CE=x,BF=y (2)若AD=3.AB=5,求 AG的值 (1)求y关于x的函数关系式： (2)若m=8,求x为何值时，y的值最大，最大 值是多少？ 9.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥ 11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,且AB= AE,垂足为点F. 2CD,E,F分别是AB,BC的中点，EF与BD (1)求证：△ABEp△DFA: 相交于点M. (2)若AB=6,BC=4,求DF的长. (1)求证：△EDM∽△FBM: (2)若DB=9,求BM. 18 第二十七章相似么 乃中考提能练 测试时间：40分钟 12.如图，在正三角形ABC中，点D,E分别在AC, AB上，且架3AE=BE,则有( 图] 图2 A.△AED△BEDB.△AEDC∽△CBD 16.如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与 C.△AEDP△ABDD.△BADc∽△BCD BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为 第12题图 第13题图 17.(2024·武汉中考)如图所示是我国汉代数学 13.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C 家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦 的一个定点，过点M作直线截△ABC,使截 图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的 得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD, (）. 直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F, A.1条 B.2条 记正方形ABCD的面积为S,正方形MNPQ C.3条 D.4条 的面积为S2,若BE=kAE(k>1),则用含 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三 的式子表示的值是 边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于 点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE, BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR 的长为( 第17题图 第18题图 18.(2023·杭州中考)如图，在△ABC中，AB AC,∠A<90°，点D,E,F分别在边AB,BC, CA上，连接DE,EF,FD,已知点B和点F G A.14 B.15 关于直线DE对称设S-,若AD=DF, C.83 D.65 则紧 (结果用含k的代数式表示). 15.(2023·常德中考)如图1，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°.AB=8,BC=6,D是AB上一 19.如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一 点，且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于 点，连接AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD 点E.将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的 于点F,作CG∥AE,交BF于点G. 求证：(1)CG=BH: 位置，则图2中梁的值为 (2)FC2=BF·GF; 19 重雅g手细九年级教学下册) ⑧s-器 21.如图，E是矩形ABCD边BC上一点，EF⊥ AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG⊥ D AC,垂足为点G,BG交AE于点H. (1)求证：△ABE∽△ECF: (2)找出与△ABH相似的三角形，并证明； (3)若E是BC中点，BC=2AB,AB=2,求 EM的长. 20.如图1，点O在线段AB上，AO=2,OB=1, OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒 2个单位长度的速度从点O出发，沿射线O℃ 做匀速运动，设运动时间为1秒. 22.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠B =45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为 O B 2设AB=,AD= 图2 备用网 (1)求y与x的函数关系式： (1)当1=2时，则OP= ,S么n= (2)若∠APD=45°，当y=1时，求PB·PC 的值： (2)当△ABP是直角三角形时，求1的值： (3)若∠APD=90°，求y的最小值. (3)如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥ BP,并使得∠QOP=∠B,求证：AQ·BP =3. 图 备用图 20 第二十七章相似么超 23.(经典·福建中考)如图，△ADE是由△ABC 【拓展应用】 绕点A按逆时针方向旋转90得到的，且点B (3)如图2，点P是△ABC内任意一点，射线 的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD, AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D, EC相交于点P. (1)求∠BDE的度数. ER若部-号部-名求是的值 (2)F是EC延长线上的点，且∠CDF= ∠DAC. ①判断DF和PF的数量关系，并证明： D ②求证那器 图2 24.如图1，在△ABC中，点O是AC上一点，过 点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于 点M,N. 【问题引入】 1)若点O是AC的中点躺=号求、 C培优突破练 测试时阀：50分钟 的值。 25.如图1，一副直角三角板满足AB=BC,AC 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN 的延长线于点G. DE,∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°. 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于 【探索研究】 (2)若O是AC上任意一点（不与点A,C重合）. 三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P, 求证端··品1 边EF与边BC交于点Q. 21 重雅g手册九年级教学下册) 【探究】在旋转过程中： 26.(2022·武汉中考)【问题提出】 ④)如图2，当贾-1时，BP与EQ满足怎样 如图1，在△ABC中，AB=AC,D是AC的 中点，延长BC至点E,使DE=DB,延长ED 的数量关系（直接写出结论，不必证明）？ (2)如图3，当5-2时，EP与EQ满足怎样 交AB于点F,探究裙的值 【问题探究】 的数量关系？请说明理由。 (1)先将问题特殊化，如图2，当∠BAC=60° (3)根据你对(1)(2)的探究结果，试写出当 CE =m时，EP与EQ满足的数量关系式 时。直接写出能的值。 EA (2)再探究一般情形，如图1，证明(1)中的结 为 (直接写出结论，不必证明)。 论仍然成立. 4(D) 【问题拓展】 (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,D是AC 的中点.G是边BC上一点，品=是(m< 图1 图2 2),延长BC至点E,使DE=DG,延长 ED交AB于点F,直接写出需的值（用 含n的式子表示)， 图3 22 第二十七章相似么超 27.(2024·湖北中考)如图，在矩形ABCD中，点 28.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AC的中 E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿 点，AD,BE相交于点P,若∠BPD=∠C,求 EF翻折，使点A的对称点P落在AB上，点 证：以△ABC三条中线为边所构成的三角形 B的对称点为G,PG交BC于点H. 与△ABC相似. (1)求证：△EDP∽△PCH: (2)若P为CD的中点，且AB=2,BC=3,求 GH的长： (3)连接BG,若P为CD的中点，H为BC的 中点，探究BG与AB的大小关系并说明 理由. 23重雅点手册九年级教学下册则 17.答案不唯一，如将原直角梯形各边同时扩大2倍，如图 需器 所示 器c 器品 18.如图所示. 8.(1).AFDE,AG⊥BC, 图1 图2 图3 .∠AFE=90°，∠AGC=90°. 如图1，均匀分成3个小矩形，设小矩形的短边长为 .∴∠AEF=90-∠EAF,∠C=90°-∠GAC 由大矩形与小矩形相似得}兰，解得x=士所 又，∠EAF=∠GAC, 以上+1+上=a,解得a=3 .∠AEF=∠C a 又'∠DAE=∠BAC, 如图2，分别以1,2为长边分成3个小矩形，设以1 ∴.△ADE∽△ABC (2)△ADE△ABC. 为长边的矩形的短边长为，以号为长边的矩形的短 .∠ADE=∠B. 边长为则由大矩形与小矩形相似得是一兰一士， 又：∠AFD=∠AGB=90°， ,∴.△AFD∽△AGB, 所以+六=，解得a= 解得x=1, 流品 如图3，分别以1为长边，以号为短边分成3个小矩 AD=3,AB=5, 形，设以1为长边的矩形的短边长为，以号为短边 治是 9.(1)四边形ABCD是矩形， 的矩形的长边长为y,则由大矩形与小矩形相似得 ∴.∠B=90°，AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAF 。-=，解得x==所以日十号- a-T-y .DF⊥AE.,∴.∠DFA=90°， .∠B=∠DFA,△ABE∽△DFA 解得a=√2.从以上方法中任取两种即可. 提示：根据相似的定义，只需使新画出的三面矩形彩 (2):△ABEO△DFA. 漂怨 旗和原绸布的对应边成比例即可，对应角相等这一点 ,BC=4,E是BC的中点， 不用考虑，因为矩形的内角都相等.] ∴BE=2BC=号×4=2 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 ∴.在R1△ABE中，AE=√AB+BE=√6+2= 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.D 2v10. 7.如图，连接ED.,D,E分别是边BC,AB的中点， DE/AcR=合， AD==4,源-2厘， 4 ,.△DEGc△AG, ·DF=60 5 8 练习册参考答案与提示收组 10.(1)在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， 又AC∥BQ,∴.四边形ABQC是平行四边形， .在R△BFE中，∠1+∠BFE-90 .AB=CQ=10.由勾股定理.得AC十BC=AB, 又：EF⊥DE,.∠1+∠2=90 .AC+(2AC)=10,.AC=25. ∴∠2=∠BFE..Rt△BFE∽R△CED. ∴.BC=45, 器器即80 x m n .CM-ACXBC-2/5X4/5-4. AB 10 （2②)当m=8时y=8。,化成顶点式y= 8(r ∴.CR=CM+MR=4+10=14.] 4)2+2. .当=4时，y的值最大，最大值为2 11.(1).AB=2CD.AB=2BE...CD=EB. 又，CD∥AB,.CD LEB. .四边形BCDE为平行四边形. ∴.DE∥BF ∴.∠DEM=∠EFB,∠EDM=∠DBF, [提示：在题图1中，：DE/BC,∴铝 ∴.△EDMC∽△FBM. 怎由勾股定理得AC-V正+-V8+- (2)由于F为BC的中点， 10.在题图2中，由旋转的性质得∠BAD=∠CAE.又 所以由1别器-架=2. 0把÷△ABD△AE、畏-0- ∴.DM=2MB. :BM=号BD=号X9=3 品-知 12.B[提示：设正三角形ABC的边长为3k,则AD=k, [提示：AB∥CD,.∠ACD=∠A,∠D AE-,CD-2k,-k,可是-品且∠A ∠ABD..△CDGn△ABG, 恶器 ∠C,∴.△AED∽△CBD.] 是 “GH/AB.熙票即四 13.C 14.A[提示：连接EC,CH,如图，设CR与AB交于点 4GH-.] M.易得∠ECA=∠BCH=45°. n品 [提示：如图，过点B作BG∥AN交FE的 又，∠ACB=90°， 延长线于点G,得等腰Rt△GBP,从而BG-BP.由于 .E,C,H三点共线。 '∠ACB=∠1CB=90°， 照-=，得-瞿=，所以Bp=AM由 .A,C,I三点共线，∴.BH∥AI∥DE, “赵爽弦图”可知DM=PB.故DM=kAM,所以QM= ,△EPCo△HQC 需瓷需时器器 -1AM.从面含-品.] 又，PQ=PC+QC=15,.PC=5,QC=10. 易证△ACE∽△BCH, G 瓷-器名C-2AC CR⊥FG,FG∥AB,∴.CR⊥AB. k2 又CR⊥PQ,,.PQ∥AB. 18.2-E· [提示：如图，连接BF,交DE于点G,,点B 9 重雅手册九年级教学下册凡则 和点F关于DE对称，∴.DE⊥BF,DB=DF, 'OP=21,∠B0℃=60°， .∠BGD=90°.AD=DF,DF=BD,.AD=BD ..OD=1,PD=/3t,AD=2+4,BD=1-t. =DF,点A,B,F共圆，且AB为该圆的直径 在R△BPD和R△APD中，由勾股定理得BP=(1一 ZAFB=0,DE/AC品是AD t)+3,AP2=(2+1)2+32」 BD,.BE=CE,.CE=EF,∴∠C=∠CFE BP+AP=AB, 设AB=AC=2,CF=x,则BC=2k,.BE=CE=k ∴.(1-1)2+32+(2+t)2+32=9, 易i证△△Ch,货-爱.或=台， 即4r+1-2=0, =,即CF=,累门 解得1=一1+ ,=1(舍去. 8 只 综上可得，当△ABP是直角三角形时，/=1或女国 (3):AP=AB,∴.∠APB=∠B. 如图2.过点O作OE∥AP,交BP于点E. .∠OEB=∠APB=∠B. 19.(1)BF⊥AE,CG∥AE, .CG⊥BF 在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°， ∠CBG+∠BCG=90°，∠BAH+∠ABH=90°， .∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,AB=BC. 图2 ,.△ABH≌△BCG,.CG=BH. AQ∥BP, (2)'∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°， ∴.∠QAB+∠B=180 ∴.△CFG∽△BFC 又：∠3+∠OEB=180°， 第宽即PC=F.GR ∴.∠3=∠QAB. (3)由(2)同理可知，BC=BG·BF, 又：∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,∠B= AB=BC.∴.AB2=BG·BF, ∠QOP, 器：器品需 .∠1=∠2，.△Q4O∽△OEP, 20a,3y 部品即AQEP-B0AQ (2),∠A<∠BOC=60°， ,OE∥AP, ∴∠A不可能为直角.分以下两种情况讨论： ,∴.△OBE∽△ABP, ①当∠ABP=90时， 隱器黑 ∠B0C=60°，.∠OPB=30°， ∴.OP=20B,即21=2， ∴OE=3AP=1,BP=2EP, .t=1. ②当∠APB=90时，如图1，过点P作PD⊥AB,垂 ∴AQ·BP=AQ·是EP=号A0.OE=号×2X 足为点D,则∠ADP=∠PDB=9O°. 1=3. C 2L.(1):四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90. ,AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90 O D B :∠AEB+∠BAE=9O°，∴∠BAE=∠CEF, 图1 .△ABE△ECF. 10 练习册参考答案与提示收组 (2)△ABH∽△ECM Sm-含ADPH-合 BGLAC,∴.∠ABG+∠BAG=90. …=分=2 1 又：∠BAG+∠ECM=90°， ∴.∠ABH=∠ECM. y>0,y=2.即y的最小值为v2. 由(1)知，∠BAH=∠CEM,∴.△ABH∽△ECM 23.(1D由旋转的性质可知，AB=AD,∠BAD=90°， (3)如图，作MR⊥BC,垂足为点R. △AB≌△ADE. D .在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°， ∴.∠ADE=∠B=45. ∴.∠BDE=∠ADB+∠ADE=9O, .AB=BE=EC=2. (2)①DF=PF.证明如下： ..AB:BC=MR RC=1:2,/AEB=45, 由旋转的性质可知，AC=AE,∠CAE=90°， ∴.∠MER=45°，CR-2MR, ∴.在R△ACE中，∠ACE=∠AEC=45, AMR=ER=号RC=号， :∠CDF-∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°， ∴.∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD.即∠FDP= EM=22 3 ∠FPD. ∴DF-PF 22.(1)过点A作AE⊥BC于点E. ②如图，过点P作PH∥ED交DF于点H, 在R△AEB中，AE=AB·sm5-要 i∠HPF-∠DEP,器-器 SN-AD AE- x (2):∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP. ∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,∠DPF 又∠APD=∠B=45,∴.∠BAP=∠CPD. =∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC. 四边形ABCD是等腰梯形， ,.∠DEP=∠DAC ∴∠B=∠C.AB=DC, 又：∠CDF=∠DAC, ∴∠DEP=∠CDF,∴.∠HPF=∠CDF. △ABPn△PCD,虎- 又，FP=FD,∠F=∠F, ,PB·PC=AB·DC=AB2】 ∴.△HPF2△CDF, 当y=1时，x=√2，即AB=2. ∴HF=CF,.DH=PC .PB·PC=(2)=2. 儡器器器 (3)取AD的中点F,连接PF.过点P作PH LAD于 24.(1):MN∥AG,∴∠G=∠BNM. 点H. 又∠B=∠B,.△ABG∽△MBN, 当PF=PH时，PF有最小值. 又：∠APD=90°， 票温器端… PF=号AD=,PH= 八_.脚瑞 BN MB 11 重雅手册九年级教学下册凡) 同理，在△ACG和△0CN中，长品， 26① 品器 (2)如图，取BC的中点H,连接DH. O为AC的中点， .AO=CO,∴.NG=CN 微端 :D是AC的中点， 2由1可得杀-”品器 ∴DH∥AB,DH=AB 批··器·部- .AB=AC, ∴.DH=DC. (3)在△ABD中，P是AD上一点，过点P的直线与 ∴.∠DHC=∠DCH. AB,BD的延长线分别交于点F,C .BD=DE, 由公可利常·器·片1 ∴.∠DBH=∠DEC, 在△ACD中，P是AD上一点，过点P的直线与AC, ∴.∠BDH=∠EDC, CD的延长线分别交于点E,B ,.△DBH2△DEC, 由2可得瓷·需·背=1 BH=C歸-是 蒂·器既瓷腸既 *DH∥AB, .△EDH∽△EFB. 蒂·器·器带·0青× 鼎需 25.(1)EP=EQ. (2)如图，过点E分别作EG⊥BC,EH⊥AB,垂足为点 需 G.H. 温 另解1：证明∠ADF=∠ABD,得△ADF∽△ABD也 可求解. 另解2：取AB的中点M,证明△ECD≌△DMB也可 G 求解. D AB=BC,∠ABC=90, 32 ∴.∠A=45.在△AHE中，有AH=HE 27.(1D如图1，四边形ABCD是矩形， 同理可得，EG=GC ∴.∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°. :∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3. ,点E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF 又，∠EHP=∠EQ=90°，.△EHPU∽△EQ, 翻折，使点A的对称点P落在DC上，∴∠EPH= 贯器 ∠A=90 又：△AHE△EGC, 避腮器 贯 1 12 练习册参考答案与提示收组 ,∠1+∠2=90°，∴.∠3=∠2， 在R△PCH中，CH=VPH-PC-号 ,.△EDP∽△PCH. (2)如图1，：四边形ABCD是矩形， ∴.BC=2CH=5y,∴.AD=BC=5y. ∴.CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90. 在R△APD中，AP=√AD+PD=√6y :P为CD的中点，DP=CP=2×2=L BG∥AP,.△BMG△MAP. 设EP=AP=x,∴.ED=AD-x=3-x 器微号G=. 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, 即2=(3-)+1，解得x=寻 能瓷-6，AB=0 28.如图，连接CP并延长交AB于点F,过点F作FG∥ EP=AP==号，ED=AD-AE=京 BE,过点C作C℃∥DA,FG与CG相交于点G. :△EDPn△PCH,PCP丽 ED EP 4 P解得PH= 3 3 4” 在△APE和△ACD中，∠APE=∠BPD=∠ACD, :PG=AB=2,GH=PG-PH=￥ ∠EAP=∠DAC,.△APEc∽△ACD. (3)如图2，延长AB.PG交于一点M,连接AP. '-品∠ABP=∠AC 又，D,E分别为BC,AC的中点， AE=CE,cD-m需品 H :∠AEP=∠ADC,:∠BEC=∠ADB. .△CEP∽△ADB,∴.∠BAD=∠PCE 料2 又，GC∥AD.∴.∠DAC=∠GCA, 点E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF ∴.∠BAD+∠DAC=∠PCE+∠GCA,即∠GCF= 翻折，使点A的对称点P落在CD上， ∠CAB. ,.AP⊥EF,BG⊥EF,,BG∥AP 又：FG∥BE,GC∥AD,∠BPD=∠FGC. AE=EP,∴∠EAP=∠EPA, ·∠ACD=∠FGC.即∠BCA=∠FGC, .∠BAP=∠GPA.△MAP是等腰三角形， ∴.△ABC△CFG. ,∴.MA=MP 27,2.2相似三角形的性质 P为CD的中点，设DP=CP=y, 1.B2.A3.B ..AB=PG=CD=2y. 4.D[提示：：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC= :H为BC的中点，∴BH=CH. ACD,E,F分别是AB,BC,CA的中点，∴.DF= :∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH, 吉C.DE-AcE=子AB、既-哭-器 ∴.△MBH≌△PCH(ASA). ，△BFD△ABC,且相似比为宁，∴Sm 1 ..BM=CP=y.HM=HP. ∴.MP=MA=MB+AB=3y, 子sm=×1=子] 1 HP=PM=x 5.D 13