29.1 投影(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

29 第二十九章 投影与视图 29.1投影 重点和难点 课标要求 重点：投影的概念 1.了解投影、平行投影、中心投影及正投影等概念。 难点：投影的作图及应用. 2.会运用投影知识进行几何作图或计算 口01必备知识梳理一。 知识点1投影 例①一位小朋友拿一个等边三角形木框 1.投影 在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子 般地，用光线照射物体，在某个平面（地 不可能是( ). 面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影.照射 光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 2.平行投影 由平行光线形成的投影叫作平行投影，如 答案B 物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行 例②如图所示是两个物体不同时刻在太 投影，如图所示。 阳光下的影子，按照时间的先后，正确的排列 光线互相平行 顺序是( 4北 LL」J 平行投影 A.A→B→C→D B.D→B→C→A 3.中心投影 C.C-D-A→B D.A-C-+B-+D 由同一点（点光源）发出的光线形成的投 解析影子的方向与太阳的方位相反， 影叫作中心投影.如物体在灯泡发出的光的照 答案C 射下形成的影子就是中心投影，如图所示. 知识点2正投影 光线柑交十一点 1.线段的正投影 平行 B倾斜BA A 直 B■ 巾心投彬 B A. B.A(B 4.正投影 如图所示，我们不难发现线段的正投影的 在平行投影中，如果投影线垂直于投影 规律： 面，那么所产生的投影叫作正投影. 平行，长不变：倾斜，长缩短：垂直，成一点， 85 国雕白手细九年级教学下册则 2.平面图形的正投影 交线AB是一条十分明显的轮廓线，因此在投 D平行C 倾斜C 垂直，D 影的过程中必须标出，所以在所得的投影矩形 CD'F'G'中标出AB的投影线段AB. 如图所示，我们不难发现平面图形的正投 影的规律： 平行，形不变：倾斜，形改变；垂直，成线段， 3.几何体的正投影 几何体的正投影与它相对于投影面的位 例B如图，若箭头表示投影的方向，则图 置有关，其正投影的形状、大小的规律服从线 中圆柱体的投影是( 段和平面图形的正投影的规律. 如图，将正方体的一个面ABCD倾斜于投 影面P,上底面ADEF垂直于投影面P,并且 上底面的对角线AE垂直于投影面P 此时正方体在投影面P上的投影是矩形 A.圆 B.矩形 C.梯形 D.圆柱 C'D'FG',但由于两个面ABCD与ABGF的 答案B 02关键能力提升。 题型1运用投影规律作图 例④某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图 作图一般按中心投影或正投影规律进行. 所示.你能作出乙木杆的影子吗（用线段表示）？ 、A 如图是两棵树在同一时刻被同一点光源 D 照射留下的影子，请在图中画出形成树影的光 线，并确定光源所在的位置， 甲 之 点拨阳光下的投影是平行投影，所以可 以利用平行线的作法来找到乙木杆的影子 解析设甲木杆的顶端为A,底端为B,影 子的顶端为C.乙木杆的顶端为D,底端为E 点拨光源的位置就是位似变换的位似中 如图，连接AC,过点D作AC的平行线与地面 心，在作图中常常采取两线交会法。 交于点F,则线段EF即为乙木杆的影子」 解析设两棵树的顶端分别为A,B,它们 ◆变式1小聪早晨8时观察到太阳位于东 投影后的对应点分别为A',B.连接A'A, 偏南25°，他和班上同学外出越野拉练.下午4时， BB,并分别延长交于点P,则点P就是光源所 他把队旗旗杆垂直于地面竖立，观察到太阳位 在的位置 于南偏西48°，此时旗杆的影子位于(). 86 第二十九章 投影与祝国么9 A.西偏南42 B.北偏东42 (1)请在图中画出形成影子的光线，并确 C.北偏东48 D.南偏东48 定路灯灯泡所在的位置G. 例如图所示为一圆台，试按下列指定 (2)求路灯灯泡的垂直高度GH. 的投影方向画出圆台的投影： (3)如果小明沿线段BH向小颖（点H)走 去，当小明走到BH的中点B,处时，求其影子 B,C的长；当小明继续走剩下路程的到B 处时，求其影子BC2的长；当小明继续走剩下 路程的到B处时，…按此规律继续走下 (1)投影方向为垂直于底面的方向： (2)投影方向为沿BC的指向. 去，当小明走剩下路程的，十到B处时其影 点拨圆台的上底面平行于下底面且小于 子BC.的长为 m(直接用含n的代 数式表示). 下底面，故投影面和下底面相同： 点拨可运用中心投影以及相似三角形的 解析(1)当投影方向垂直于底面时，其投 性质求解，问题(3)需要从特殊到一般猜想 影为内径16、外径32的圆环（如图1） 结论. 16 解析(1)如图所示. 20 (2)由题意得△ABC∽△GHC 32 32 鼎品品 图1 图2 ∴.GH=4.8. (2)其投影为上、下底分别为16,32，高为 故垂直高度GH为4.8m. 20的等腰梯形（如图2）. (3).△AB,C△GHC, 题型2与投影有关的计算 46 B.C ”GH HC' 中心投影一般运用“ A ”型计算：平行投 设BC的长为xm,则8千g: 影一般可以直接运用“物高（长）与影长成正 比”这个结论，在具体的问题中可以找相似三 解得x=昌：即BC= 角形 同理可得B,C-1,则B,C,=弄m 例6学习投影后， ◆变式2如图，这是圆桌正上方 小明、小颖利用灯光下 的灯泡（可看作一个点）发出的光线 自己的影子长度来测 H B.BC.B 照射桌面后，在地面上形成阴影（圆 量一路灯的高度，并探 形)的示意图.已知桌面的直径为 究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身 1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡距 高为1.6m的小明(AB)的影子BC的长是 离地面3m,则地面上阴影部分的面积为( 3m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H A.0.36rm2 B.0.81πm 点，并测得HB=6m. C.2πm D.3.24πm2 87 国避手册九年级数学下册] 例7在生活中需要测量一些球（如足球、 一部分在教室地面所形成的影长PE为 篮球等)的直径，某校研究性学习小组通过实 3.5m,窗户的高度AF为2.5m.求窗外遮阳 验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平 篷外端一点D到窗户上缘的距离AD(结果精 的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB, 确到0.1m). 设光线DA,CB分别与球相切于点E,F,则EF 即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm, ∠ABC=37°，请你计算出球的直径（精确到 30p E 1cm). 解析如图，过点E作EG∥AC交BP于 点G. H EF∥DP, ∴.四边形BFEG是平行四边形. ,在Rt△PEG中，PE=3.5,∠P=30°， A 点拨将实际问题转化为数学问题后，问 tan∠EPG= EG EP' 题归结于求直角梯形ABFE的高. ∴.EG=EP·tan∠EPG=3.5×tan30 解析由光线知识知AD与⊙O相切，且 AD∥BC 202(支G-7g9). .四边形AEFB是直角梯形. 又，四边形BFEG是平行四边形， 如图，过点A作AH⊥BF交BF于点H, .BF=EG=2.02, 得Rt△ABH. ∴.AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48(或 六在R△AHB中，mB-铝 AB=15-73). 6 .AH=AB·sinB=41.5·sin37°≈ 41.5×0.6=24.9≈25cm. 又.AD∥PE,∴.∠BDA=∠P=30, .'EF=AH=25 cm. 在R△BAD中，m80-8, 故球的直径为25cm. AB 例⑧如图，某一时刻太阳光从教室窗户 ..AD= an30=0.48×v3≈0.8(m), 射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的 ∴.，点D到窗户上缘的距离AD为0.8m 口03热点考向聚焦，， 考向1投影的性质 例日（经典·贵阳中考）下列四幅图中， 能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的 B 图是(). 解析同一时刻太阳光下树的影子是平行 88 第二十九章投影与祝围么组 的，影子方向相同，且影长与树高成正比，选项 ◆变式3（经典·北京中考）如图，小军、 A,B中的两棵树的影子方向都相反，故可排 小珠之间的距离为2.7m,他们在同一盏路灯 除：选项D中影长和树高不成正比，故可排除 下的影长分别为1.8m,1.5m,已知小军、小珠 答案C 的身高分别为1.8m,1.5m,则路灯的高为 例10（经典·江西中考）如图，一根直立 m. 于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子， 当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面 时，影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时 的影长为AC(假定AC> 例☑（经典·武汉中考）如图所示，一测 AB),影长的最大值为m, 最小值为n,那么下列结论：C 量小组发现8m高的旗杆DE的影子EF落在 ①m>AC:②m=AC:③n=AB:④影子的长度 了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开 先增大后减小.其中正确结论的序号是 展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高 1.6m,测得其影长为2.4m,同时测得EG的 解析可以尝试作出不同情形下AB的投 长为3m,HF的长为1m,测得拱高（弧GH的 影，发现正确的序号是①③④。 中点到弦GH的距离，即MN的长)为2m,求 答案①③④. 小桥所在圆的半径， 考向2与投影有关的计算 例1①(2021·毕节中考)学习投影后，小 华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯 的高度.如图，身高1.7m的小华从路灯灯泡 H A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到 达点D处，测得影子DE长是2m,则路灯灯泡 解析如图，设GH所在圆的圆心为O,连 A离地面的高度AB为 m. 接OG,OM.由题意易知O,M,N三点共线. 在同一时刻，平行光线下的实物长与影 长比例相等， 器-则EF-8g-2 1.6 E 又，EG=3,HF=1, 点拨由AB⊥BE,CD⊥BE,得到AB∥ ∴.GH=EF-EG-HF=12-3-1=8. CD,推出△ECDP△EAB,根据相似三角形的 性质列方程即可得到结论。 根据垂径定理，得GM=GH=4, 解析：AB⊥BE,CDI BE. 在Rt△OMG中，设圆的半径OG=r(≠0)， .AB∥CD,.△ECD∽△EAB, 则OM=r-MN=r-2. 思器品 根据勾股定理，得OM2十GM=OG, 即(r-2)2十4=2， 解得AB=8.5. 解得r=5(m). 答案8.5. 故小桥所在圆的半径为5m. 89变式参考答案与提示么组 在Rt△DEF中，∠E=30°， .DF=32(m).在Rt△DFA中，AD= 所以tmE器=品- DF=62(m.] sin a 解得EF=2V3. 在Rt△ABE中，BE=BC+CF+EF=6+ 23+2w3=6+43, mE能- 第二十九章 投影与视图 6+4√53 29.1投影 解得AB=(4+2v3)m. [变式1]C 即电线杆的高度是(4十2v3)m [变式2]B[提示：画出几何图形（如图），其 [变式7](1)如图，过点A作AE⊥CD于 中AB,CD分别是两圆的直径，PF是CD边 点E. 上的高 ,AB∥CD,.△PAB∽△PCD C 在R1△ABC中，，BC=30V3,AB=30, ·PEAB m∠AcB提-景 …PFCD 3-1=1.2 .∠ACB=30°，∴.∠CAE=30 3CD' .CD=1.8. 又.∠DAE=45°， ∴地面上阴影部分的面积为x(:) ∴.∠CAD=∠CAE+∠DAE=30°+45°=75. 0.81π(m).] (2在R△ABD中，m∠DAE- [变式3]3.[提示：如图，CD∥AB∥ :∠DAE=45°，AE=BC=303, MN, ∴.DE=AE=30W5. '.△ABE∽△CDE,△ABFC∽△MNF, 又.EC=AB=30, .CD-DE MN_FN AB BE'AB FB' .CD=CE+DE=30+303. 1.8 1.5 1.5 故楼CD的高度为(30+303)m. 即8DA带5时27-BD 联立解得AB=3.故路灯的高为3m.] [变式8]62.[提示：如图，过点C作CE AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,则 四边形CEFD为矩形，∴.CE=DF.在 Rt△CEB中，CE=BCsin B=3v2(m). 105