28.1 锐角三角函数(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

28 第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 重点和难点 课标要求 1,理解锐角三角函数的概念，能够正确运用三角函数表示直角三角 形中两边的比 重点：锐角三角函数的定义 2.记住30°，45°，60的正弦、余弦和正切的函数值，并会根据一个特 难点：锐角三角函数的运用。 殊角的三角函数值说出这个角. 3.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已 知三角函致值求出相应的锐角。 -01必备知识梳理。 知识点1正弦、余弦和正切的定义 (2)simA,cosA,lanA分别是正弦、余弦、正切 如图，在Rt△ABC中， 的数学表示符号，各自是一个整体，不能写成si·A, ∠C=90°，锐角A的对边与斜 cos·A,tan·A,不能理解为sin与A,cos与A, 边的比叫作∠A的正弦，记作 dc tan与A的乘积. sin A. (3)锐角三角函数是一个比值，它随角度的变 即sinA=∠A的对边=a 化而变化，与该角的两边长的大小无关，与锐角的 斜边 终边上所取点的位置无关. 在R1△ABC中，锐角A的邻边与斜边的 (4)锐角三角函数是正实数，没有单位，避免“sinc 比叫作∠A的余弦，记作cosA. -40”和“若1am。=是，则两直角边长分别为3和 即cosA=∠A的邻边_b 斜边 4”等错误 在R1△ABC中，锐角A的对边与邻边的 例①(2024·武汉第一初级中学月考)若 比叫作∠A的正切，记作tanA. 把Rt△DEF的各边都扩大n倍，得到对应的 即tanA= ∠A的对边_4 R△ABC,则锐角A的正切tanA=(). ∠A的邻边b1 锐角A的正弦、余弦、正切都叫作∠A的 A.ntan D B.tan D 锐角三角函数.锐角三角函数的自变量是∠A. C.tan D D.tan D 0果0 解析在Rt△ABC中，设∠C为直角， (1)从定义中可以看出，正弦、余弦、正切都是 BC nEF EF 在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角 则anA-AC-5票=tanD. 形随便套用定义 答案D 62 第二十八章锐角三角函教么组 例②以直角坐标系的原点O为圆心，以1 答案C 为半径作圆.若P是该圆上第一象限内的点， 例④求下列各式的值： 且OP与x轴正方向所成的角为a,则点P的 (1)(1+sin30°+sin45°)×(1-cos45°+ 坐标是 cos60°)： 解析如图，过点P分别作PA⊥y轴于 (2)tan30°tan60°-tan45°cos60°； 点A,PB⊥x轴于点B, (3)tan60°-tan30° 则线段PA的长度即为，点P的横坐标，线 1+tan60°tan30. 段PB的长度即为点P的纵坐标。 点拨将特殊角的三角函数值代入并化简 因为PA⊥y轴于 计算。 点A,所以PA∥x轴， 解析①原式=(1+号+)×(1-号+2》 所以∠OPA=a, B 即在Rt△OAP中， (侵+×（侵受 sm∠OPA-80 故OA=OP×sin∠OPA=1×sina sin a. (2)原式=×5-1x2=1-- 同理可求得OB=OP×cosa=1×cosa= v33 23 cos a. (3)原式 3 1+5×号 2 3 所以，点P的坐标是(cos&,sina). 答案(cosa,sina). 知识点3锐角三角函数的性质 知识点2特殊角的三角函数值 1.三角函数关系 锐角a sina cos a tan a 定义 表达式 取值范围 关系 30 2 ③ sin A= sin A 0<sin A 2 正 ∠A的对边 4 <1(∠A为 45 斜边 2 2 1 锐角) sin2A十cosA cos A= cos A 0<COs A =1 60 2 3 ∠A的邻边 6 <1(∠A 斜边 c 为锐角) 例3(2024·武汉武昌实验寄宿学校月 tan A= tan A tan A0 考)计算tan60°+√2sin45°-2cos30°的值是 正 ∠A的对边 (∠A为 tan A=sin A cos A b (). ∠A的邻边 锐角) A.2 B.2 2.任意锐角的正弦值等于它余角的余弦值 D.1-2③ sin A=cos B. 由，∠A+∠B=0 sinA=cs(90°-A), C.1 3 cos A=sin B 得∠B=9T-∠A cosA=sin(90°-A) 解析原式=5+，2×号-2X停 -3+1 3.三角函数的增减性 当0°<a<90时，sina随a的增大而增大； -5=1. cosa随a的增大而减小；tana随a的增大而 63 重雅点手细九年级数学下册2) 增大 A.总小于1 B.总等于1 例如图，a为锐角，则sina十cosa的值 C.总大于1 D.以上都有可能 ）. 解析由三角函数的定义知 sina十cosa=g+b=a+b c e c :a+b>c, ∴.sina+cosa>l. 答案C 曹口-02一关建能力提。 题型1运用定义求三角函数值 73 5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90. 12C sinA=名： 解析1)，∠C=90°，AC=12,BC=5, cos A=6 ∴.AB=wAC+BC=√122+5=13. anA=号 2)mA=%=品aA-6-是 例6如图，在正方形网格中，∠AOB按如 mA-%-是mB-6-最osB-福 图所示放置，则cos∠AOB的值为(). ●变式1在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)计算sinA十cos2A的值； (2)比较sinA与cosB,sinB与cosA的 A号 B26 5 大小关系： (3)试探求sinA,cosA,tanA之间存在的 c D.2 般关系，并说明理由. 解析如图，设OD=1,则CD=2. 题型2运用参数法求三角函数值 ∴.0C=√1+22=√5 已知一个锐角三角函数值，求这个角的另 cos∠AOB=cos∠COD=OD-1=5 外两个三角函数值.一般先构造一个直角三角 0C55 形，根据三角函数的定义，结合参数，设出有关 答案A 边的长，运用勾股定理求出第三边的长，再用 例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC 三角函数的定义求出所要求的三角函数值. 12,BC=5. (1)求AB的长； 例8已知锐角A满足asA=高，求mA (2)求sinA,cosA,tanA,sinB,cosB的值.的值. 64 第二十人章锐角三角函散收组 解析如图，∠C=90°， 径为R,求证：BC=2R·sinA. “osA-高： ,设AC=5k,AB=13kB (k>0). 由勾股定理，得BC=√AB一AC=12k, 证明如下： 如图，作直径BD,连接CD, 血A俗-器-是 在R△BCD中，sinD- BD 例9已知a为锐角，且tana=3,求 sina一2一的值。 ∠A=∠D, sinA-Bc 2cos a+sin a B .BC=2R·sinA 点拨作辅助直角三角形，用 该定理揭示了在同圆或等圆中，圆周角确 参数表示三边的大小，再运用三 定，则它所对的弦也确定，即定角对定长问题 角函数的定义求解 3是 例10求tan15的值. 解析如图，作Rt△ABC,使 点拨由含30°角的直角三角形作奠基，构 ∠C=90°，AC=k,BC=3k,则 造含15°角的直角三角形，再运用三角函数的 ∠A=x(tanA=3) 定义求解 ,AB=√AC+BC=√R+(3k)=√/10k, 解析如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，延长CA至，点D,使AD=AB, ∴.sina= =3310 √10k√10 10 则∠D=2∠BAC=15, cos a=- k=1=10 √10k√1010 设BC=k,则AB=2k,AC=√3k,AD=2k, .CD=(2+3)k. sin a-2 30-2 10 3-210 k c0s a sin a 2X10,31d :.tan 15=tan D=CD-(23) 10 10 1 3 2+√3 -2V8 ◆变式2已知sina=后，a为锐角，求 B 地背的值 D 题型3构造直角三角形求三角函数值 ◆变式3求tan22.5的值 在一些非直角三角形中求三角函数值，必 例1I如图，AB是⊙O的直径，弦AC, 须将非直角三角形转化为直角三角形.所用的 BD相交于点E,则常等于( 方法是作斜三角形的高，在处理圆中的三角函 A.tan∠AED 数问题时用得最多的方法是作直径。 3T 1 [拓展] B.an∠AED 正弦定理 C.sin∠AED 如图，已知锐角△ABC的外接圆⊙O的半 D.cos∠AED 65 国避食手细九年级数学下册？] 点拨求器的值关键是将两条线段集中 會变式4将一副三角板按如图所示摆放 在一起，连接AD,试求∠ADB的正切值. 起来，联想到相似三角形的对应边的比相等， 转化为从选项看，处理三角函数值的问 题，必须在直角三角形中解决，由AB是直径这 一条件可以构造直角三角形 例13已知17cosA+13cosB=17, 解析如图，连接DA. 17sinA=13sinB,且∠A,∠B都是锐角，求 .∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.△CDE∽△BAE. 器 号∠A+∠B的值 点拨观察已知条件中的三角函数，联想 ,AB是⊙O的直径， 到它的几何模型，从而构造出符合题意的几何 Cos∠AED=DE_CD AE AB 图形，将“数”转化成“形” 答案D 解析如图，作△ABC,使AC=17,BC-13. 例12如图，在等腰Rt△ABC中，∠A 过点C作CD⊥AB于点D, 90°，AB=AC,D为AC上 则CD=17sinA=13sinB. 点，AD=号AC,求∠DBC的 AD=17cos A,BD=13cos B. .'17cos A+13cos B=AB=17, 余弦值 ..AB=AC, 点拨求一个角的三角函数值一般转化为 .∠B=∠ACB. 17 在直角三角形中求解，可通过作高，将非直角 .∠A+2∠B=180°， 三角形（△BDC)转化为两个直角三角形 (Rt△BDE和Rt△CDE). 2∠A+∠B=90 解析如图，过点D作DE⊥BC于点E. 题型4用计算器求锐角三角函数或 :AD=3AC,六可设AD=k,AC=3k, 锐角 则CD=2k 利用计算器可以由已知锐角求它的三角 又，∠A=90°，AB=AC,.∠C=45 函数值，同时，也可以由已知锐角的三角函数 CE-号DC-号.2k=2k,=2AC 值求出这个锐角的度数， 2 例14用计算器求sin24的值， 3√2k. 解析依次按健sm,②，4，就可以得到 ∴.BE=BC-CE=32k-√2k=2√2k. 0.4067,故sin24°≈0.4067. 在Rt△ADB中， 注意：如果求sin24°36'的值，则必须将 BD=VAB+AD=√(3k)+k=√10k, 2436化为24.6° 又如：已知tana=3,求锐角a ∴eos∠DBC BE_22k25 BD√I0k5 解析依次按键2nd正，tan,3,便得到 66 第二十人章锐角三角函散收0 71.56505118≈71.57°， sin20°≈0.3420，c0s20°≈0.9397； 故a≈71.57° cos51°≈0.6293，tan5010'≈1.1988： 例15用计算器求值，并比较大小： sin21°≈≈0.3584，c0s68°≈0.3746， (1)sin209 cos20°： 故sin20°<cos20°； (2)cos519 tan5010'; cos51°<tan5010': (3)sin21 cos68°. sin21°<cos68. 解析用计算器容易求出： 答案(1)<.(2)<.(3)<. 03热点考向聚焦。 考回1三角函数的定义 一点连接BD.若anA-2am∠ABD- 例16（经典·南充中考）如图1，点A,B,C 则CD的长为( 在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( A号 R爱 C②6 D.13 13 13 图1 图2 A.25 B.3 C.5 D.2 H H B 解析如图2，过，点D作DE⊥AB于点E. “mA-之：m∠ABD-距-号 ..AE=2DE,BE=3DE. 图1 图2 解析如图2，过点B作AC的垂线，垂足 ∴.2DE+3DE=5DE=AB. 为点H.不妨设小正方形的边长为1， 在R△ABC中，tanA=,BC=5, 则AC=3√2，AB=√13. 又因为S△A= ×1X3=多 %-是是，∴C=25. ∴.AB=√AC+BC=5. 所以BH=S匹= 2 ∴.DE=1,.AE=2. ∴.AD=√AE+DE=√22+1平=√5. 2 所以sin∠BAC=BE-2 =v√26 ∴.CD=AC-AD=5. AB√3 26 答案C 答案B ◆变式5.(2021·宜昌中考)如图，△ABC 例17(2022·乐山中考)如图1，在 的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,D是AC上值为(). 67 重雕点手细九年级数学下册风则 (1)如图1，分别过A,C两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为点M,N,求证： △ABM△BCN: (2)如图2，P是边BC上一点，∠BAP= ∠C,an∠PAC=2,求amC的值： c D2 (3)如图3，D是边CA延长线上一点，AE= 考同2三角函数与相似全等三角形 AB,∠DEB=90,sm∠BAC-号，A把-号，直 例18（经典·无锡中考）如图，已知点E 是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方 接写出tan∠CEB的值 形EFGH的顶点G,H都在边AD上，若AB 3,BC=4,则tan∠AFE的值( A等于 H M B B P 图1 图2 且等于9 D C等于 D.随点E位置的变化而变化 H B 解析设EH=HG=GF=x. 图3 四边形ABCD是矩形，∴∠D=90 解析(1)，'∠M=∠ABC=90°， ,'四边形EFGH是正方形， ∴.∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA .∠EHG=90°， =90°， ∴.∠AHE=90°，∴.∠AHE=∠D '.∠MAB=∠NBC 又∠HAE∠DAC,.△AHE△ADC., 又∠M=∠N=90°，∴.△ABM∽△BCN 恕器 (2)如图2，过，点P作PM⊥AP,交AC于 点M,过，点M作MN⊥PC于点N, 4 3, .AG=7 , 则△PMNc△APB tam∠PAG-8 GF-I-3 沿-Y=m∠PAC-25 AB AP 5 设PN=2t,则AB=√5t, EF∥HG, .∠FAG=∠AFE, ,∠BAP=∠MPN,∠BAP=∠C, ∴tan∠AFE=tan∠FAG=g. ∴∠MPC=∠C,∴.CN=PN=2. .△ABP∽△CBA, 答案A 说器 ∴.AB=BP·BC, 例19（经典·武汉中考）在△ABC中， ∠ABC=90. 即(5t)2=BP·(BP+4t), 68 第二十人章锐角三角函教么9 解得BP=t,∴.BC=5t, .∠MAD=∠MDA,∠MDB=∠MBD. ∴mC-说-5 :在△ABD中，∠MAD+∠MDA+ ∠MDB+∠MBD=180°， (3)如图3，过点A作AH⊥EB于点H, ∴.∠ADB=∠MDA+∠MDB=90°， 过，点C作CK⊥EB,交EB的延长线于点K, 即∠ADB的大小为90°， 则△AHB∽△BKC,CK∥AH. (2)①，EM⊥AD且∠ADB=90°， :m∠BAC-是 .EM∥BD. ,.在Rt△ABC中，AB:BC:AC=4: ,ED∥BM, 3:5, ∴.四边形EMBD为平行四边形. 龈脱册品 .'DE=BM=AM. 文.DE∥AM, .AE=AB,AH⊥EB,∴.EH=BH, ∴.四边形EAMD为平行四边形. 六EK-号BH. ,EM⊥AD, am∠CEB--0·B盟3 ∴.四边形EAMD为菱形， EK BH EK 14 ∴.∠CAD=∠BAD 例20(2023·安微中考)在Rt△ABC 又，∠ACB=∠ADB=90°， 中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M ∴A,C,D,B四点共圆. 旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接 ,∠CAD=∠BAD,∴.BD=CD. AD,BD. ②如图3，过点E作EH⊥AB于点H, (1)如图1，求∠ADB的大小 在R1△ABC中，AB=VAC+BC=10. (2)已知点D和边AC上的点E满足 ∴.AM=BM=5. ME⊥AD,DE∥AB, ,四边形EAMD为菱形， ①如图2，连接CD,求证：BD=CD: ∴.AE=AM=5. ②如图3，连接BE,若AC=8,BC=6,求 tan∠ABE的值. n∠CAB-%-是 ∴.EH=AE·sin∠CAB=3, '.AH=√AE-EH=4, ∴，BH=AB-AH=6, M 图1 图2 ·tan∠ABE= EH1 BH 2' 即n∠ABE的值为 HM 图3 考向3三角函数与圆的综合 解析(1)，M为AB的中点 例21(2023·威海中考)如图1，在平面 ∴.AM=BM. 直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴 由旋转得MD=AM=BM, 相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0, 69 国雕白手册九年级教学下册则 2),连接AC,BC. (2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值. (1)求点P的坐标； (2)求cos∠ACB的值. 解析(1)：∠ABD与∠ACD都是AD所 C 对的圆周角，·∠ABD=∠ACD 图1 :∠CAD=∠ABD,·∠ACD=∠CAD, 解析(1)如图2，过点P作PD⊥AB,垂足 ∴.AD=CD. 为点D.连接PB,PC (2),·AF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， 点A,B的坐标分别为(0,8)，(0,2)， ∴.∠FAB=∠ACB=∠ADB=∠ADF=90. .OA=8,OB=2,∴.AB=6. ∠FAD+∠BAD=90°，∠ABD+ ,PD⊥AB, ∠BAD=90°， BD-2AB=3,0D=5. .∠FAD=∠ABD ,⊙P与x轴相切于点C, 又，'∠ABD=∠CAD,.∠CAD=∠FAD. .∠OCP=90°. 又AD=AD :∠COD=∠ODP=∠OCP=90, ∴.△ADE≌△ADF, ∴.四边形OCPD是矩形， ∴.AE=AF,ED=FD. ∴.PC=OD=5=PB. 在Rt△BAF中，由勾股定理得AF= 在Rt△BDP中，BD+DP=BP, √52-4=3， .DP=4, ..AE=AF=3. .点P的坐标为(4,5). AB,AF=BF·AD, (2)如图2，连接PA. ,PA=PB,PD⊥AB. ∴AD=AB·AF_12 BF 5 ∠BPD-∠APB. 图2 在R△ADF中，FD-√AF-AD=g ∠ACB=3∠APB= ∴BE=BF-ED-DF=5-号X2=号 ∠BPD. ,'∠BEC=∠AED,∠ECB=∠EDA, 在R1△BDP中，COs∠BPD=4 .△BEC∽△AED, ∴cos∠ACB= 器器 BC-28 5 例22（经典·贵阳中考）如图，AB为 ,∠BDC与∠BAC都是BC所对的圆周角， ⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,对角线 ∴.∠BDC=∠BAC AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， 长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD. (1)求证：AD=CD: ∴血∠BAC%-磊即s血∠BC-号 70变式参考答案与提示么组 3x=3-x,解得x=（km. (2)由定义可证sinA=cosB,sinB=cosA. (3)同理，运用三角函数定义可以证明tanA 在Rt△CEF中， =sin A R=√CE+CF=√P+(-m. cos A' 在Rt△BDF中， [变式2] 构造直角三角形可求cosa= BF=VFD+BD-√3+( -5(kam), 3× A tan a= ,则sing二Cosa 5 192 “水管总长为7+5=5(km. tan'a+1 3 +1 625 ÷水厂与点C相距子km时可使铺设水管的 [变式3]√2-1. [变式4门如图，过点A作DB的延长线的垂线 费用最省， AE,垂足为点E .水管铺设的总费用S=5×2=10(万元). [变式2]5.[变式3]C 27.3位似 [变式1]D[提示：分别过点B,B作BD⊥ x轴，BD'⊥x轴，垂足分别为点D,D.由题 在等腰Rt△BDC中，∠1=45°， 意知号瓷-子设点B的城坐标为， 设BD=DC=1,则BC=√2 在Rt△ABC中，∠4=30°， ∴。二二壳2解得x=-2a+30.] 则AB=BC·tam30°=V2X5-6 33 [变式2]B[提示：：以点O为位似中心， 在Rt△AEB中，∠2=180°-（∠1+∠3） 相似比为3，而A(4,3),点C与点A在点O 180°-(90°+45)=45°， 的两侧， .点A的对应点C的坐标为 则EB=EA=AB·sim45°-6×2-3 323 第二十八章锐角三角函数 在R△DEA中，DE-BD+EB=号+1， 28.1锐角三角函数 则tan∠ADB= AE 3 3-1 [变式1](1)如图，在Rt△ABC DE 2 中，∠C=90°， [变式5]B[提示：过点A作AD⊥BC于点 sin A-4,cosA=b D,在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD A+oA=()'+(伯) =3,∴.AB=√AD+BD=√3+32= - 3区is∠Ac-器2号] 103